随机过程-习题-第5章.doc

随机过程习题 第5章5.1设有周期信号如图题5-1所示，求它相关函数和功率谱密度。T/2-1解：首先，于是，所以，该信号的时间相关函数为确定性周期信号的功率谱密度是其时间相关函数的傅氏变换，即或者5.25.35.4设有二平稳随机过程，它们的功率谱密度分别为，（1）（2）求其相应的相关函数及其均方值。(1) 解：因为所以，相关函数为均方值为(2) 解：因为所以相关函数为： 均方值为：5.5 设一平稳随机过程的功率谱密度如图题5-5所示，即，求其相关函数及其均方值。图题 5-5解：参见教材348页图5-10，将其中的用代替，得相关函数于是均方值为5.6 设有线性时不变动态系统，其冲激响应为。如果输入为一平稳随机过程，它的相关函数为，协方差函数为，试证输出过程的相关函数可以表示为其中，。称为系统的相关函数，并证明(1) 证明：输出过程为作变换：则上式 =(2) 证明：因为而 = =及而。所以原式得证。5.7 设有一“平均电路”如图题5-7所示，即当输入为时，平均电路的输出为 图题 5-7平均电路(1) 试证该电路的冲激相应为(2) 求第6题所定义的系统的相关函数为（1） 如果该电路的输入为一平稳随机过程，其协方差函数为用上题的方法求输出过程的方差解：(1) 由给定的输入和输出之间的关系可得：对上式两边取拉氏变换得：于是得系统的传递函数为它对应的冲激函数为(2) 第6题中所定义的系统的相关函数为即(3) 由第6题的结论可知于是，当时当时5.8 设有线性时不变系统，它的冲激响应为其中，为常数，U(t)阶跃函数。如果系统的输入为一宽平稳随机过程，它的相关函数为 (0)。求输入输出间的互 相关函数，设，画出，问是否对称于=0的轴。解：输入输出间的互相关函数为因此， 当=3，=1时，如下图所示。显然，不对称于=0的轴。解决这个问题的另一种方法是功率谱方法。首先，输出和输入的互谱密度函数为其中，于是，互谱密度函数为其对应的互相关函数为因此，输入和输出的互相关函数为5.95.105.11 有实平稳随机过程，其相关函数为，试证明证明：因为又因为，所以，5.12 试证明表5-12中相应的功率谱密度表达式的正确性。表中代表平稳随机过程，代表的相关函数，代表的功率谱密度。表5-12 过 程相 关 函 数功 率 谱 密 度（已知）（已知）（1）（2）（3）（4）解：(1) 显然的相关函数为，于是的功率谱密度为(2) 于是的功率谱密度为=（3）利用分步积分，递推过程同（2），推导略。（4）5.13. 设有平稳随机过程，它的样本函数如图题5-13(a)所示。每个脉冲的宽度为，幅度为，即每个脉冲的面积为1，而脉宽；脉冲的出现规律符合泊松分布，即单位时间内出现的平均脉冲个数为l，不相交叠的时间间隔内出现的脉冲数是相互统计独立的，n=1，2，3，；每个脉冲极性可正可负，出现正或负的概率各为，不同脉冲出现正或负是相互统计独立的。(1) 求此随机过程的相关函数(2) 求它的功率谱密度(3) 若把该随机信号送入积分电路，求其输出的样本函数。输出随机信号的功率谱密度为何？（电路如图5-13(b)所示）图题5-13(a)图题5-13(b)解：（1）在图5-13中，脉宽时得到的是一个复合泊松脉冲过程，也就是一个复合泊松过程的微分过程。因此可以先求复合泊松过程的相关函数，然后再求复合泊松脉冲过程的相关函数。由其产生的复合泊松脉冲过程，有：此处，故（2）功率谱密度函数为相关函数的傅立叶变换：（3）积分电路的传递函数为故输出的功率谱函数为：=样本函数如图题5-14。5.14 设有平稳随机过程，它的样本函数如图5-14所示，每个脉冲的波形为负指数波形即，为脉冲的出现时刻，它符合泊松分布规律，且单位时间内出现的脉冲平均个数。求证的功率谱密度为现有二个线性系统，它们的转移函数分别为 ， 其中，如图5-14所示。随机信号分别送入这两个线性系统，得到的输出分别为和。求输出功率谱密度和，并问和内各脉冲的波形为何？0t图5-14解：由于随机过程中的每个脉冲的波形相同，只不过极性和出现时刻不同，且出现时刻符合泊松分布规律。因此可以看作是以5.13题的复合泊松脉冲过程作为输入，以脉冲的基本波形作为冲激响应的系统的输出，即如下图所示。复合泊松脉冲过程其中，系统的冲激响应对应的系统传递函数为由5.13题可知输入的复合泊松脉冲过程的相关函数为，即功率谱密度函数为。于是可得的功率谱密度函数为分别送入图5-14所示的两个线性系统，输出的随机过程和的功率谱密度分别为输入随机过程的一个基本脉冲波形通过两个系统的输出分别为和由此可见，输出的随机过程和的功率谱密度函数虽然相同，但是时间波形相差一个相位(如图示)。所以，功率谱密度函数不包含相位信息。5.15 设有图题5-15所示的线性反馈系统，其中h (t)，k (t)分别为两个方块图的冲激响应，H(if)，K(if)为其相应的转移函数，e (t)代表误差信号，即输入信号与输出信号之差。如果在输入端送入的信号是一平稳随机过程(t)，在系统中又 进入一平稳随机过程n (t)（即噪声）,若(t)，n (t)是相关的，又是联合平稳的。求：(1) 输出端的(t)功率谱密度S(f)；(2) 在相减器输出端获得的误差信号e (t)的功率谱密度Se (f)。解：系统的时域方程为 解此方程得将上式简写成。上述关系的系统框图为A(jf)B(jf)(t)- e(t) h(t) +n(t) k(t)= e(t) (3)(if)- E(if)H(if) K(if)+N(if)K(if)=E(if) (4). (if)-(if)=E(if) (5)所以，(if)= 1-1+ H(if) K(if)(if)+ K(if) 1+ H(if) K(if)NifE(if)= 1+ H(if) K(if) (if)- K(if)1+ H(if) K(if)Nif令: A=1+ H(if) K(if),B= K(if) 1+ H(if) K(if),C=1-1+ H(if) K(if)(t)= (t) +(t)S(f)=S(f) +S (f) +S(f)+S(f)式中S(f)