振动力学(新).ppt

振动力学 参考书目 1 王伟等 振动力学与工程应用 郑州大学出版社 20082 胡少伟等 结构振动理论及其应用 中国建筑工业出版社 2005 课程特点与学习方法 课程性质 力学专业课课程特点 理论繁杂 工程应用性强 与多门学科紧密相关 数学基础 微积分 微分方程 线性代数 复变函数 积分变换 计算方法 级数等 力学基础 理论力学 分析力学 材料力学 弹性力学 结构力学 有限元等 第1章导论 振动的概念振动研究的问题及其分类振动分析的力学模型振动问题的研究方法 1 什么是振动振动Vibration 就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动 我们只研究物体在静平衡位置附近所作的往复微小弹性运动 1 1机械振动概述 2 机械振动现象机械振动是自然界非常普遍的运动现象 广泛存在于工程技术和日常生活中 如 日常生活中 心脏的跳动 钟摆的摆动 琴弦的振动 车箱的晃动 大海波涛桥等等 工程技术领域 桥梁与建筑物的振动 飞行器与船舶的振动 机床与刀具的振动 各种动力机械的振动 以及地震 风振 噪声等等 都是属于机械振动的范畴 3 产生振动的原因一是由外界干扰引起 二是结构本身固有的原因引起 4 研究振动问题的目的工程和日常生活中 振动现象和振动问题既有有用的一面也有不利的一面 利用振动原理设计出很多常用的物品和机械结构 如摆钟 振动筛 振动物料传送带 振动打桩机械等等 而大多数情况下 振动会产生不良 甚至严重 灾难性的后果 由于振动 降低了机器的动态精度和其它使用性能 由于振动 机器在使用过程中产生巨大的反复变动的荷载 导致使用寿命的降低 有时候振动甚至酿成灾难性事故 如大桥因共振而倒塌 烟囱因风振而倾倒 飞机因颤振而坠落等等 5 研究振动问题的总目标研究振动产生的原因和它的运动规律 寻求控制和消除振动的方法 振动检测 分析事故原因及控制环境噪声 振动技术的应用 1 振动问题中的名词概念振动系统 在振动问题中所研究的对象 如机器或结构物等 激励或输入 外界对振动系统的作用或引起机器运动的力 激励或输入是随时间变化的 将引起振动的发生 1 2振动系统及参量1 3振动系统的分类及研究方法 确定性激励 可用时间的确定函数来描述的激励 随机激励 不能用时间的确定函数表示的激励 随机激励具有一定的统计规律性 可以用随机函数和随机过程描述 响应或输出 机器或结构在激励作用下产生的动态行为 确定性激励下的响应不一定是确定的 但随机激励下的响应一定是随机的 2 工程振动分析的类别振动分析 研究振动系统 激励 输入 和响应 输出 三者之间的关系 理论上讲 只要知道两者就可以确定第三者 这样 工程振动分析所要解决的问题可以归纳为下面几类 1 响应分析已知系统和输入参数 求系统响应 包括位移 速度 加速度和力的响应 这为计算和分析结构的强度 刚度 允许的振动能量水平等提供了依据 2 系统设计已知振动系统激励 输入 和所要满足的动态响应 输出 的要求 设计合理的系统参数 对机器和结构的设计而言 这类问题更为重要 通常系统设计要依赖于响应分析 所以在实际工作中 响应分析和系统设计这两个问题是交替进行的 3 系统识别已知振动系统的激励 输入 和响应 输出 求系统参数 以便了解系统的特性 系统识别包括物理参数识别 确定系统的物理参数 质量 刚度 阻尼等 和模态参数识别 确定或估计系统的固有特性 固有频率 振型等 4 环境预测在已知系统响应 输出 和系统参数的情况下确定系统的输入 以判别系统的环境特征 对结构进行振动分析 首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型 这种力学模型不但要简单 而且在动态特性方面 应尽可能地与原始结构等效 实际工程结构力学模型的建立 是振动分析中很关键很难的一步 本课程只学习一些基本的概念 振动系统的力学基本模型中包括三个基本 元件 质量 弹性和阻尼 3 振动分析的力学模型 质量 和理论力学的概念一样 是物体惯性大小的度量 在振动模型中简化为刚体 弹簧 表示振动系统弹性的理想模型 简化为无质量的线弹性元件 即弹簧弹性力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比 阻尼 任何振动在没有外界干扰 激励 时都会逐渐消失 因此 系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力 这种阻力称为阻尼 简化为无质量的阻力元件 阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多 弹簧表示力与位移的关系 阻尼表示力与速度的关系 质量表示力与加速度的关系 4 振动过程的机理分析任何结构 之所以能产生振动 是因为它本身具有质量和弹性 从能量关系看 质量可以储存动能 弹性可以储存势能 当外界对系统作功时 质量就吸收动能而具有运动速度 进而发生位移 使弹性元件储存变形能 因而就具有使质量恢复原来状态的能力 这样 能量不断地变换就导致系统质量的反复运动 振动 5 振动系统的分类 1 按产生振动的输入 激励 特性分类分为自由振动 强迫振动和自激振动 自由振动 系统受到初始激励作用后 仅靠其本身的弹性恢复力 自由地 振动 其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性 质量和刚度 如摆钟 受迫振动或称强迫振动 系统受到外界持续的激励作用而 被迫地 进行振动 其振动特性除决定于系统本身的物理特性外 还决定于激励的特性 工程中的大部分振动都属于此类振动 振动机械 转子偏心引起的振动等 自激振动 在系统自身控制的激励作用下发生的振动 在适当的反馈作用下 系统会自动地激起定幅振动 一旦振动被激起 激励也随之消失 例如 桥梁受风载作用后激发的振动 电线在风载作用线的舞动等 2 按振动的输出特性分类分为简谐振动 非简谐振动和随机振动 简谐振动与非简谐振动 是否可以用简单的正弦函数或余弦函数表述其运动规律 随机振动 不能用简单函数或简单函数的组合来表述其运动规律 只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动 3 按振动系统的自由度数目分类单自由度 多自由度和弹性体的振动 4 按振动微分方程或系统的结构参数特性分类线性振动 振动系统的惯性力 阻尼力 弹性恢复力分别与加速度 速度 位移成线牲关系 能够用常系数线性微分方程表述的振动 非线性振动 振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质 只能用非线性微分方程来表述 5 按振动的周期性分类周期振动系统 非周期振动 瞬态振动 系统 简谐振动属于周期性振动 非简谐振动也可能是周期性振动 6 振动问题的研究方法解决振动问题的方法有理论分析 数值模拟与计算 实验研究等 本课程主要学习振动的基本理论与分析方法 为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下良好的基础 第2章单自由度系统自由振动 单自由度系统 可以用一个独立坐标来确定系统的位置及其运动规律的振动系统 单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统 许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统 单自由度振动系统的一些概念 特征和研究方法 是研究复杂振动系统的基础 2 1引言 根据振动系统结构形式的不同 建立振动微分方程的方法也不同 主要采用牛顿定律 动力学基本定理 动量定理 动能定理 动量矩定理 以及拉格朗日方程等 振动微分方程 P6 20 2 2自由振动系统 2 2自由振动系统 m k系统的自由振动 P6 m k系统虽然非常简单 但却是许多实际结构振动问题的力学模型 已知质量为m 弹簧的刚度系数为k 取质量的静平衡位置为坐标原点 当重物偏离x时 利用牛顿定律可得到运动微分方程 2 2自由振动系统 扭转振动 P9 圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附近作扭转振动 设q为圆盘相对静平衡位置转过的角度 J为圆盘对轴的转动惯量 kt为使轴产生单位转角所需施加的扭矩 即轴的扭转刚度 则 2 2自由振动系统 复摆 P12 设物体对悬挂点O的转动惯量为JO 利用定轴转动微分方程可得到用转角f 表示的转动微分方程 2 2自由振动系统 纯滚动圆盘 P15 已知m r R 利用功率方程 动能定理 或拉格郎日方程可得到用角度f表示的运动微分方程 2 2自由振动系统 梁的横向振动质量为m的重物放在简支梁的中部 不计梁的质量 设梁长为l 材料的弹性模量为E 截面惯性矩为I 则利用材料力学的概念可得到 2 2自由振动系统 dst 振动微分方程的统一形式比较前面几种不同系统的振动微分方程 2 2自由振动系统 可以写成统一的数学形式 meq和keq分别称为等效质量和等效刚度 x为广义坐标 为方便起见 以后将等效质量和等效刚度直接写为m和k 则方程变为 因此只讨论此方程的解即可 2 2自由振动系统 1 方程的解设 振动微分方程的解 P6 则方程变为 通解为 或 2 2自由振动系统 设系统的初始条件为 t 0时 x x0 则可确定上述解中的常数为 2 2自由振动系统 2 概念与名词 P6 7 一阶线性振动微分方程的解是时间t的简谐函数 因此这种振动为简谐振动 方程的解中wn只决定于系统本身的参数m和k 而与系统的初始条件无关 是系统本身所固有的特性 所以称为固有频率 或称圆频率或角频率 方程解中的A称为振幅 是质量偏离静平衡位置的最大距离 f称为初相位 2 2自由振动系统 从方程的解中还可以看出 系统属于周期振动 振动的周期为 周期是系统振动一次所需要的时间 单位为秒 s 周期的倒数称为频率 是系统每秒钟振动的次数 单位为1 秒 1 s 或赫兹 Hz 记作f 2 2自由振动系统 固有频率wn和频率f只相差常数2p 因此经常通称为固有频率 是振动分析中极其重要的参数 显然 2 2自由振动系统 因此wn的物理意义是在2p时间内振动的次数 单位为弧度 秒 rad s 圆有频率 振幅和初相位是简谐振动的三个重要特征量 1 直接计算法即直接利用固有频率的公式进行计算 求出振动系统微分方程后 利用等效刚度和等效质量 即可求出固有频率 固有频率的计算 2 2自由振动系统 2 静位移方法 P7 m k系统是所有一阶线性微振动系统的模型 利用此模型得出的结论具有一般性 质量在静平衡位置时弹簧的位移为 则固有频率为 2 2自由振动系统 复摆系统的固有频率用转角f 表示的转动微分方程 mg 则固有频率 2 2自由振动系统 纯滚动圆盘系统用角度f表示的运动微分方程 则固有频率 2 2自由振动系统 扭转振动系统转动方程为 则固有频率 2 2自由振动系统 梁的横向振动系统利用振动方程 固有频率 或利用材料力学公式计算出静位移 固有频率 2 2自由振动系统 dst 对无阻尼自由振动系统 能量 机械能 是守恒的 设系统的动能和势能分别用T和V表示 则能量方程为T V 常数或 2 3能量法 2 3能量法 系统在静平衡位置的速度最大 动能也最大 势能取为0位置 在质量偏离静平衡位置最大时 速度为0 动能也为0 而势能达到最大 利用能量守恒关系得到Tmax Vmax同时还有下面的关系利用上面两式可以直接求固有频率 2 3能量法 例利用能量法求纯滚动圆盘系统作微幅振动的固有频率 2 3能量法 一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的影响 当这些质量不可忽略的时候 瑞利法 的思想是 将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去 从而变成典型的单自由度振动系统 遵循的原则是 简化后系统的动能与原系统的动能相等 但并不考虑重力势能的影响 这种简化只是一种近似方法 但误差不大 2 4瑞利法 2 4瑞利法 P17例2 4 1质量 弹簧系统 集中质量为m 弹簧长度为l 刚度为k 质量为m1 求考虑弹簧质量影响时的固有频率 2 4瑞利法 题2 13 a 求图示系统的固有频率 与P15例2 3 1对比 举例 单自由度自由振动举例 用定轴转动微分方程 能量法 题2 15求图示系统微幅振动的微分方程 m2视为均质圆盘 作业 T2 1 4 13 举例 单自由度自由振动举例 用能量法 无阻尼系统振动过程中能量守恒 振幅保持不变 而实际情况并非如此 必须考虑阻力对振动过程的影响 实际阻力的形式很多 有滑动摩擦表面的阻力 空气或流体阻力 弹性材料的内摩擦阻力等 因此阻力的大小变化规律也各不相同 阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼 这是最简单的情况 2 5具有黏性阻尼的振动系统 2 5具有黏性阻尼的振动系统 1 振动微分方程及其解 P21 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系 可得系统的运动微分方程 其中c为粘性阻尼的比例常数 称为粘性阻尼系数 mg Fk Fc 2 5具有黏性阻尼的振动系统 令阻尼比为 则方程可写为 令其解为 代入方程得到 此特征方程的两个根是 2 5具有黏性阻尼的振动系统 不同的阻尼比x 对应的解的形式不同 运动性质也不同 2 解及运动形式的讨论 P22 26 1 x 1 大阻尼情况 此时特征方程有两个不同的实根 通解为 2 5具有黏性阻尼的振动系统 给出初始条件 t 0时 则可确定系数B和D 2 5具有黏性阻尼的振动系统 这种情况对应的运动是一种衰减运动 但不是我们所关心的振动形式 设x0 0 v0 0 则运动图形大致如下 2 5具有黏性阻尼的振动系统 2 x 1 临界阻尼情况 此时特征方程有重根 通解为 利用初始条件确定常数为 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数 记为cc 2 5具有黏性阻尼的振动系统 临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动 按不同的初始条件其运动图形如下 2 5具有黏性阻尼的振动系统 3 0 x 1 小阻尼情况 此时特征方程有一对共轭复根 通解为 或写为 利用初始条件确定出常数 2 5具有黏性阻尼的振动系统 解中有两个因子 一个是衰减的指数函数 它将使振幅越来越小 直至振动最终消失 2 5具有黏性阻尼的振动系统 另一个是正弦函数 它表示系统以相同的周期通过平衡位置 因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式 2 5具有黏性阻尼的振动系统 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式 这种衰减振动具有下列特性 1 振幅衰减由前面的解可以看出 振幅不再是常量 而是以几何级数快速衰减 2 等时性系统仍以相同的周期通过平衡位置 2 5具有黏性阻尼的振动系统 3 振动频率变小 周期变长此时系统振动的频率和周期为 因此 衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小 振动周期变大 但影响不大 特别是当阻尼很小 x 1 时 可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响 2 5具有黏性阻尼的振动系统 振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅的比值来表示 称为衰减率或减幅率或减缩率 也可以用衰减率的自然对数来表示 称为对数衰减率 2 6对数衰减率 2 6对数衰减率 利用前面给出的解 可得到衰减率为 对数衰减率为 2 6对数衰减率 若用X0表示系统最初的振幅 经过n次循环后的振幅为Xn 则对数衰减率又可以表示为 证明 相乘得 则 即 2 6对数衰减率 1 4衰减振动和对数衰减率 题2 16求图示系统振动的微分方程和固有频率 不计杆的质量 c为黏性阻尼 1 4衰减振动和对数衰减率 题2 18图示系统 在空气中振动周期为T1 在液体中振动周期为T2 试证明液体的粘性阻尼系数为 作业 T2 8 17 小结 3 无阻尼自由振动方程的解方程 或 通解为 或 小结 1 名词与概念固有频率 振幅 周期 相位角 线性阻尼系数 临界阻尼系数 阻尼比 衰减率与对数衰减率 等效质量 等效刚度 2 建立振动微分方程的方法牛顿定律 动能定理 功率方程 机械能守恒 定轴转动微分方程等 本章小结 小结 2 静位移法 4 固有频率的确定 1 按定义直接计算 3 能量法 无阻尼自由振动系统 以及 小结 5 考虑弹性元件质量时的等效质量将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去 简化后系统的动能与原系统的动能相等 小结 或 小结 6 黏滞阻尼自由振动系统的解 1 方程 或 阻尼比 2 小阻尼解 小结 3 临界阻尼系数 z 1时 4 衰减振动频率与周期 5 对数衰减率 小结 教材例题与习题 例2 2 1 2 2 3 2 3 1 2 3 22 4 1 2 4 2 2 5 2 2 5 3 2 6 12 6 2 2 6 4习题2 1 3 4 8 9 11 13 15 18 第3章单自由度系统强迫振动 系统在外部激励作用下的振动称为受迫振动或强迫振动 自由振动只是系统对初始扰动 初始条件 的响应 由于阻尼的存在 振动现象很快就会消失 要使振动持续进行 必须有外界激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量 所谓谐和激励就是正弦或余弦激励 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设激励为F t F0sinwt 这里w为激振频率 利用牛顿定律并引入阻尼比x可得到 齐次方程的通解上章已经给出 设其特解为 代入方程确定系数X0和f为 其中 为频率比 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 1 1非齐次方程的特解 P33 34 稳态响应分析 P34 39 1 稳态响应xp X0sin wt f 的性质 P34 1 在谐和激振条件下 响应也是谐和的 其频率与激振频率相同 2 谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小和频率 与初始条件无关 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 2 幅频特性曲线 P35 对于稳态响应 定义动力放大系数R为响应的振幅X0与最大干扰力F0所引起的静位移的比值 以x为参数 画出R r曲线即幅频特性曲线 表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 强迫振动振幅X0的大小 在工程实际中具有重要的意义 如果振幅超过允许的限度 构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏 或影响机械加工或仪表的测量精度 因此在振动工程中必需控制振幅的大小 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 讨论 r 1时 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 振幅的大小主要决定于系统的惯性 这就是高速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因 r 1 激振频率接近固有频率 时 R迅速增大 振幅很大 这种现象称为共振 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 阻尼比x的影响 阻尼越小 共振越厉害 因此加大阻尼可以有效降低共振振幅 共振位置 将R对r求导数 令其等于0得 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 而r 1时 由此看出 当x很小时的R和Rmax相差很小 所以在工程中仍认为当w wn时发生共振 以x为参数 画出f r 曲线即相频特性曲线 表明了阻尼和激振频率对相位差的影响 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 相频特性曲线 P37 4 品质因子 P36 工程上通常把共振时的动力放大系数称为品质因子 记为Q 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 讨论 从图中可以看出 无阻尼情况下的曲线是由f 0和f p的半直线段组成 在r 1处发生间断 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 有阻尼时f为在0 p之间变化的光滑曲线 并且不论f取值多少 当r 1时都有f p 2 即曲线都交于 1 p 2 这一点 这一现象可以用来测定系统的固有频率 r 时 f p 激振力与位移反相 系统平稳运行 r 0时 f 0 激振力与位移同相 近似静位移 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 求出动力放大系数对应于两点q1 q2的两个用x表示的根 由 得 当x 1时 略去x2以上小量得 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 则 则 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 级数展开后近似为 所以 利用上式可以估算系统的阻尼比x 当Q 5或x 0 1时其误差不超过3 通常把共振区取为 共振区内的频率响应曲线称为共振峰 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 例 总质量为M的振动机支承在弹簧k和阻尼器c上 两个偏心质量m 2绕相反方向以等角速度w转动 试讨论振动机在其平衡位置附近的运动 举例 解 用动量定理求振动方程 x方向的动量为 代入公式求得响应为 利用动量定理得 举例 讨论 r 时 则 MX ml sin wt f sinwt 举例 由于sin wt f sinwt MX ml 则 xC 0 这表明 当r 即高速旋转 时 振动机的质心几乎保持静止 即机器运行非常平稳 举例 而振动机质心的位移为 的全解为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 3 1 2非齐次方程的通解 瞬态振动和稳态振动的叠加 P39 40 方程 系数A1和A2由初始条件确定 设t 0时 则 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 所以线性阻尼振动系统在正弦激励作用下的响应 解 最终表示为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 上述解的第一部分代表由初始条件引起的自由振动 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 第二部分 代表由干扰力引起的自由振动 这两部分都是衰减振动 随时间的推移而消失 称为瞬态响应或暂态响应 最后只剩下第三部分 代表与激振力同形式的等幅的强迫振动 称为稳态响应 这才是我们最关心的 若为余弦激励 则响应 解 为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 系数X0和f为与正弦激励相同 无阻尼系统的响应 解 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 余弦激励 正弦激励 的全解 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 谐和激励作用下的共振响应分析 P40 利用前面已经得出的方程 共振时 r 1 wn w 且 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 则共振响应变为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 若为余弦激励 则共振响应 解 为 对于无阻尼振动系统 根据前面得到的正弦激励响应 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 共振时后面项无意义 这时将sinwt在wn处进行级数展开 忽略高次项得 代入后面两项 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 所以无阻尼系统正弦激励下的共振响应为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 同理无阻尼系统余弦激励下的共振响应为 3 1 3频率域研究方法 频率响应函数和复参数 P42 45 将振动方程写为复数形式 其实部和虚部分别分别代表余弦和正弦激励 令其特解为 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 代入方程得到 令 H w 称为复频率响应函数 是系统对频率为w的单位谐干扰力的复响应的振幅 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 则 令 求得C和f为 比较系数得 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 由此得到 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 这里的X0与f和前面方法给出的结果一样 即 分别取z 式的实部和虚部就是对应于余弦和正弦激励的稳态响应 3 1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 题3 15求图示系统在位移激励下系统的响应 解 振动方程为 即 代入公式即可求出稳态响应 举例 题3 16图示系统 假定缸体与活塞杆之间的阻尼系数为c 求缸体振幅与y的关系 解 振动方程为 即 代公式即可求出振幅 举例 题3 20求图示系统质量块的振幅 解 取静平衡位置为坐标原点建立振动方程 则 代公式即可求出振幅 而 作业 T3 8 17 24 举例 假设F t 是周期为T的函数 表示为F t nT F t n 0 1 2 设函数F t 在一个周期内分段光滑 则可以表示为傅里叶 Fourier 级数 3 2 1傅里叶级数 P45 46 3 2单自由度系统在周期激励下的强迫振动 3 2周期激励下的强迫振动 其中各个系数计算分为两种情况 当F t 定义在 T 2 T 2 上时 3 2周期激励下的强迫振动 若F t 为奇函数则an 0 若F t 为偶函数则bn 0 且可分别写为 3 2周期激励下的强迫振动 当F t 定义在 0 T 上时 3 2周期激励下的强迫振动 周期激励下的振动方程 3 2 2系统对周期激励的响应 P47 50 变为 3 2周期激励下的强迫振动 无阻尼系统在周期激励作用下的响应 其中 3 2周期激励下的强迫振动 利用上节简谐激励的响应可得到 其中 3 2周期激励下的强迫振动 题3 27求无阻尼系统在图示周期激励下的稳态响应 解 激振力函数为 3 2周期激励下的强迫振动 F为奇函数 可以只在半周期内积分 也可以在0 T积分 而an 0 在0 T积分时 3 2周期激励下的强迫振动 在半周期内积分时 最终结果均为 作业 T3 26 代入公式即可得出响应 3 2周期激励下的强迫振动 任意激振力作用下的响应利用数学的卷积分方法求解 其基本思想是将任意激振力表示为无限多个常力之和 通过积分计算响应 3 3瞬态振动 任意激励下的强迫振动 3 3任意激励下的强迫振动 1 阶跃函数定义阶跃函数或称单位台阶函数为 3 3 1冲击响应 此函数无量刚 在t 0处有跳跃 3 3任意激励下的强迫振动 类似地 若在t a处有跳跃 函数可写为H0 t a 3 3任意激励下的强迫振动 d 函数 Dirac函数 或称单位脉冲函数 数学定义为 2 d 函数 P52 3 3任意激励下的强迫振动 同样可定义t a时的单位脉冲函数 3 3任意激励下的强迫振动 单位脉冲函数的重要性质 3 3任意激励下的强迫振动 单位脉冲激励下系统的运动微分方程为 3 单位脉冲响应函数 P52 53 设初始条件为0 在Dt e内对方程两端积分得 3 3任意激励下的强迫振动 说明系统受到脉冲激励后速度发生突变 而位置不变 即获得了初始速度 然后作自由衰减振动 利用上章的公式计算振幅和相位 3 3任意激励下的强迫振动 而 动量的突变 时间极短 位移无变化 因此 3 3任意激励下的强迫振动 于是得到系统对单位脉冲激励的响应为 显然对t t处的单位脉冲激励的响应为 h t 和h t t 称为单位脉冲响应函数 或简称脉冲响应函数 3 3任意激励下的强迫振动 无阻尼系统对单位脉冲激励的响应为 对t t处的单位脉冲激励的响应为 3 3任意激励下的强迫振动 设有图示任意激励F t 在时间区间 0 t 内的作用可视为一系列脉冲F t dt连续作用叠加而成 3 3 2褶积积分 卷积积分 任意激励的响应 P53 57 3 3任意激励下的强迫振动 在任意瞬时t t处 大小为F t dt的脉冲可用d 函数表示为F t dtd t t 相应的响应为dx F t dth t t 因而系统对F t 的总响应为 这就是系统对任意激励F t 的零初值响应 称为杜哈美 Duhamel 积分 3 3任意激励下的强迫振动 1 阶跃激励 例3 3 1 几种常见激励的响应 利用杜哈美积分可求得 3 3任意激励下的强迫振动 特别地 若F0 1 则上式就成为单位台阶函数H0 t 的零初值响应 单位脉冲响应函数h t 和单位台阶函数的响应g t 之间有下面的关系 3 3任意激励下的强迫振动 2 斜坡载荷激励F t at 3 3任意激励下的强迫振动 3 指数衰减函数激励F t F0e at 3 3任意激励下的强迫振动 无阻尼系统的任意激励零初值响应 杜哈美积分 阶跃激励 斜坡激励 指数激励 3 3任意激励下的强迫振动 题3 28 图示系统 质量为m1的物体从高h处自由落下 与悬挂在弹簧k下的质量m2碰撞后一起作微幅振动 求振动的固有频率和响应 3 3任意激励下的强迫振动 分析 碰撞前系统静止 碰撞后两个质量一起振动 解 以静平衡位置为坐标原点建立方程 而 则 固有频率 3 3任意激励下的强迫振动 利用动量定理计算碰撞后的初始速度 即开始振动时的初始条件为 因此初始条件引起的响应为 3 3任意激励下的强迫振动 利用杜哈美积分计算m1g引起的响应 即阶跃函数的响应 则总响应为 3 3任意激励下的强迫振动 P81例4 6 1求无阻尼振动系统在图示矩形脉冲激励作用的零初值响应 解 激振力函数为 直接利用杜哈美积分 t在 0 T 内就是阶跃函数的响应 3 3任意激励下的强迫振动 t在 T 内 3 3任意激励下的强迫振动 因而响应为 3 3任意激励下的强迫振动 例求无阻尼振动系统在图示三角形波干扰力作用下的零初值响应 3 3任意激励下的强迫振动 解 激振力函数为 3 3任意激励下的强迫振动 直接利用杜哈美积分 在 0 t1 内 3 3任意激励下的强迫振动 在 t1 t2 内 3 3任意激励下的强迫振动 在t2以后 作业 T3 34 3 3任意激励下的强迫振动 本章例题 全部本章习题 3 1 3 8 3 11 3 12 3 15 3 203 24 3 26 3 28 3 34 3 35 3 38 3 3任意激励下的强迫振动 第4章单自由度系统振动理论的应用 这里等效刚度的概念 是指对具有多个弹性元件 弹簧或梁的组合 的振动系统 将这些弹性元件的总刚度等效为作用在集中质量上的单个弹簧 n个弹簧并联时的总刚度为 等效刚度 n个弹簧串联时的总刚度为 等效刚度 等效弹性系数 P65 69 题4 2求图示系统的固有频率 等效刚度 方法1 直接计算静位移求固有频率 方法2 利用牛顿定律建立振动方程 方法3 利用机械能守恒建立振动方程 题2 14求图示系统的固有频率 等效刚度 方法1 直接计算静位移求固有频率 方法2 利用牛顿定律建立振动方程 方法3 利用机械能守恒建立振动方程 题2 19求图示系统的固有频率 作业 T2 2 2 10 4 1 等效刚度 方法1 利用弹性元件的串并联计算等效刚度 方法2 直接计算静位移求固有频率 方法2 利用牛顿定律建立振动方程 方法3 利用机械能守恒建立振动方程 设基础的位移为x1 质量的位移为x 基础运动引起的强迫振动 P75 81 基础运动引起的强迫振动 x1 t 则系统的振动微分方程为 若令相对位移u x x1 则 用x表示的方程适用于基础运动以位移形式给出 而用u表示的方程适用于基础运动以速度或加速度形式给出 这时求出的是相对运动u 基础运动引起的强迫振动 例求振动系统受y Ysinwt的基础运动引起的响应 解 方程为 直接代公式即可求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的总响应 基础运动引起的强迫振动 总振幅为 基础运动引起的强迫振动 题3 10 车辆上装一重为Q的物块 某瞬时 t 0 车轮由水平路面进入曲线路面 并继续以等速v行驶 该曲线路面按y dsin px l 的规律起伏 设弹簧的刚性系数为k 求 1 车轮进入曲线路面时物块的强迫振动方程 2 轮的临界速度 基础运动引起的强迫振动 解 1 系统的振动微分方程为 振幅 基础运动引起的强迫振动 相位f 0 所以 2 不能发生共振共振时w wn 即 基础运动引起的强迫振动 所以临界速度为 题3 32 图示钢梁 I 1 46 10 5m4 E 210GPa A端支座有脉动力矩M 1000sin0 9wntNm作用 物块重量为60kN 梁质量不计 求物块稳态振动振幅 题3 10图 基础运动引起的强迫振动 2 3任意激励下的受迫振动 解 利用材料力学挠度计算公式知 则 设梁中间位置相对静平衡位置自由振动的位移为y1 向下 则 2 3任意激励下的受迫振动 其中 l 3m 代公式求得振幅 Y1 0 782mm因此总振幅为 Y Y1 yMmax 0 966mm 即 作业 T3 22 3 31 基础的运动不但对系统响应有影响 而且系统也同样将力通过弹簧和阻尼传递给基础 振动向基础的传递 振动向基础的传递 P72 75 对谐和振动系统 传递到基础上的力表示为 其最大值为 将其与激振力幅值的比值定义为力传递系数 或称力传递率 振动向基础的传递 画出传递率与频率比的关系图 振动向基础的传递 由关系图和传递率的公式得知 1 当r 0即w 0和r 1 414时 传递率为1 与阻尼无关 激振力全部传递给基础 2 当r 1时 为共振区 力最大 3 当r 1 414时 传递率减小 传递的力小于激振力 且阻尼越小 效果越好 但若阻尼过小 经过共振区时将产生过大的振动 振动向基础的传递 例 汽车在5m 周的简谐波形道路上行驶 已知汽车空载质量为250kg 满载质量为1000kg k 350kN m 满载时阻尼比x1 0 5 车速v 100km h 求满载和空载时汽车的振幅比 解 基础的激振频率 振动向基础的传递 阻尼系数 振动向基础的传递 则空载时的阻尼比为 频率比 1 87 满载 0 93 空载 振动向基础的传递 振幅 满载 空载 所以满载和空载时车辆的振幅比为 P55例3 3 2弹簧质量系统放在箱子中 箱子从高h处自由落下 求 1 箱子下落过程中 质量块相对箱子的运动x 2 箱子落地后传到地面的最大压力 振动向基础的传递 解 1 设m的绝对运动为x1 箱子的运动为y 则x1 x y 运动方程为 即 利用杜哈美积分得响应 振动向基础的传递 2 落地后x和x1相同 以刚接触地面时m的运动为初始条件做自由振动 落地时间和箱子的速度为 此时m的运动情况 振动向基础的传递 因此落地后自由振动的振幅为 最大压力 振动向基础的传递 题3 36重量为3000N的机器 以刚度系数600N cm及阻尼比x 0 2的阻尼器支撑 若在机器上加以按正弦规律变换的干扰力 其频率与机器转速相同 求 1 如果传递到基础上的力大于干扰力力幅 机器转速应如何 2 若传递力的最大值小于干扰力力幅的20 机器的转速应如何 振动向基础的传递 提示固有频率为 1 力传递系数应大于1 则 解得 2 力传递系数应小于20 即 作业 3 23 振动向基础的传递 第5章两个自由度系统的振动 单自由度系统振动问题 在我们所讨论的范围内是线性定常方程 而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组 各广义坐标间存在相互 耦合 现象 所谓耦合 就是变量之间互相联系 由于这种耦合 使微分方程的求解变得非常困难 因此 分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程 解耦 然后按单自由度的分析方法求解 两自由度是多自由度系统最简单的情况 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样 但难度更大 5 2 1运动微分方程 P104 106 5 2两自由度系统的振动方程 刚度矩阵和质量矩阵 5 2振动方程 标准的m k c系统 对每一质量利用牛顿定律得 坐标原点仍取在静平衡位置 写成矩阵形式 5 2振动方程 式中 5 2振动方程 M 称为系统的质量矩阵 K 称为刚度矩阵 C 称为阻尼矩阵 x 为系统的位移列阵 F t 为外激励列阵 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵 刚度矩阵和阻尼矩阵 由于矩阵 M K C 的非对角线元素不为0 所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程 5 2振动方程 5 2 2刚度影响系数与刚度矩阵 刚度矩阵 K 中的元素称为刚度影响系数 其kij的力学意义是 仅在j坐标处产生单位广义位移 系统平衡时需在i坐标处施加的广义力 具体求解时 只假设j坐标处的位移为1 其它各坐标的位移均为0 5 2振动方程 5 2 3惯性影响系数与质量矩阵 质量矩阵 M 中的元素称为惯性 质量 影响系数 其mij的力学意义是 仅在j坐标处产生单位广义加速度 需在i坐标处施加的广义力 具体求解时 只假设j坐标处的加速度为1 其它各坐标的加速度均为0 5 2振动方程 例 用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m k c系统的刚度矩阵和质量矩阵 5 2振动方程 柔度影响系数Rij的力学意义是 在j坐标处作用单位广义力 引起i坐标处的广义位移 由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R 由材料力学的位移互等定理可知Rij Rji 即柔度矩阵是对称的 5 3位移方程 5 3两自由度系统的位移方程 柔度矩阵 5 3 2柔度影响系数与柔度矩阵 P114 117 例 用柔度影响系数求标准m k c系统的柔度矩阵 5 2振动方程 以柔度矩阵表示的方程为位移方程 对标准m k c振动系统 质量m1和m2上的静位移可以表示为 xst R F 而系统的动位移为 这就是系统振动方程的位移形式 5 3位移方程 5 3 1位移方程 P113 114 因为 R 为正定矩阵 于是位移方程又可写为 与力形式的方程比较知 K R 1 R K 1即对于正定系统 R 和 K 互为逆矩阵 5 3位移方程 例5 3 1 求系统的振动微分方程 已知梁的抗弯刚度为EI 解 用影响系数法 由材料力学挠度公式 5 3位移方程 则 而 则方程为 5 3位移方程 若写为力方程形式 则方程为 下面用影响系数法直接求 K 5 3位移方程 设x1 1 x2 0 则由材料力学公式有 同理有 求出各个刚度系数即组成刚度矩阵 K 作业 5 2 6 5 3位移方程 对于非标准的m k c多自由度振动系统 用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难 更适合使用拉格郎日方程和能量的方法 拉格郎日方程为 用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程 拉格朗日方程 其中 T为系统的动能 V为势能 Qi为非有势力的广义力 drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移 实际计算广义力Qi时 通常假设与xi对应的广义虚位移不等于零 其它虚位移都等于零 i 1 2 拉格朗日方程 例 用拉格郎日方程推导两自由度m k c系统微振动微分方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 拉格朗日方程 静平衡位置 则 拉格朗日方程 拉格朗日方程 计算广义力 设m1产生虚位移dx1 而dx2 0 则 同样设m2产生虚位移dx2 而dx1 0 则 拉格朗日方程 代入拉格朗日方程 得 整理写成矩阵形式即可 拉格朗日方程 T5 30 用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 而 则 拉格朗日方程 所以 拉格朗日方程 计算广义力 设只有x1处产生虚位移dx1 则 同样设x2处产生虚位移dx2 则 代入拉格朗日方程即可 作业 T5 29 拉格朗日方程 只给出公式 不作严格推导 1 质量矩阵的形成系统的动能可以表示为 能量法 用能量法确定振动系统的 M K C 记 则 M 即为所求的质量矩阵 显然为对称阵 2 刚度矩阵的形成势能可写为 K 即为所求的刚度矩阵 也是对称阵 能量法 3 阻尼矩阵的形成线性阻尼 黏滞阻尼 的耗能函数可写为 C 即为所求的阻尼矩阵 也是对称阵 能量法 例5 2 3 求 M 和 K 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 能量法 将余弦函数用级数展开 表示为 则 所以 作业 5 4 能量法 无阻尼自由振动系统的运动方程为 5 4 1 5 4 3固有频率与固有振型 P117 120 5 4两个自由度系统的自由振动 5 4两个自由度系统的自由振动 假设方程解的形式为 这里 X1 X2为振动幅值 w为固有频率 a为初相位 代入振动方程可得 这是广义的特征值问题 K w2 M 称为特征矩阵 要使上式有解 必须使其系数行列式为零 若 M 为对角阵 K 为对称阵 则有 5 4两个自由度系统的自由振动 上式称为频率方程或特征方程 由此可求出w2的两个正实根 且规定w1 w2 将这两个根代入广义特征值问题 K w2 M X 0 可得到相应的振幅比值 式中X i 表示对应于第i个固有频率的振幅 i 1 2 由数学概念知道 只能求出振幅的比值 而不能确定各振幅大小 5 4两个自由度系统的自由振动 和单自由度一样 由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性 而与外部激励和初始条件无关 这表明它们都是系统的固有属性 因此把wi称为系统的固有频率或主频率 ui称为系统的固有振型或主振型 将振幅写成矩阵形式 5 4两个自由度系统的自由振动 称为振型向量或模态向量 组成的矩阵称为振型矩阵 式中的X1可以取任意值 显然两个主振动的叠加也是方程的解 即 5 4 4系统对初始激励的响应 P121 128 由前面的分析可得到系统的两组特解为 5 4两个自由度系统的自由振动 由解的形式可看出 系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动 这种运动称为固有振动或主振动 每一个主振动称为一个模态 wi和对应的ui组成第i阶模态参数 系统在主振动中 各质点同时达到平衡位置或最大位移 而在整个振动过程中 各质点位移的比值将始终保持不变 也就是说 在主振动中 系统振动的形式保持不变 这就是振型的物理意义 5 4两个自由度系统的自由振动 式中的各个X a和C均为任意常数 由初始条件确定 或写为下面的形式 5 4两个自由度系统的自由振动 将初始条件代入可得 设初始条件为t 0时 5 4两个自由度系统的自由振动 综上所述 系统对初始激励的响应求解步骤为 1 建立运动微分方程 求出质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 2 确定固有频率wi和振幅比ui 3 利用初始条件求响应 5 4两个自由度系统的自由振动 T5 21 求系统的频率方程 解 取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 5 4两个自由度系统的自由振动 将余弦函数表示为 则 所以 5 4两个自由度系统的自由振动 T5 26 求系统的固有频率 解 用牛顿定律 而 解得 则方程为 5 4两个自由度系统的自由振动 频率方程为 即 展开得 5 4两个自由度系统的自由振动 频率方程为 解得 5 4两个自由度系统的自由振动 T5 35 质量为m2的物块从高h处自由落下 然后与弹簧质量系统一起做自由振动 已知m1 m2 m k1 k2 k h 100mg k 求系统的振动响应 解 1 用牛顿定律建立方程 5 4两个自由度系统的自由振动 2 频率方程为 解得 3 求振型 利用 则 同理 5 4两个自由度系统的自由振动 4 求响应 初始条件 代入得 5 4两个自由度系统的自由振动 在二阶振动微分方程中 如果质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的各个元素都不为零 则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项 这种情形称为坐标耦合 把 M 为对角阵 K 不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合 刚性耦合 把 K 为对角阵 M 不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合 5 5广义坐标与坐标耦合 5 5广义坐标与坐标耦合 解得 响应为 作业 T5 13 26 28 5 4两个自由度系统的自由振动 方程是否耦合与广义坐标的选取有关 前面分析的标准m k c系统就是静力耦合 对于下面的振动系统 设杆的质量为m 绕质心的转动惯量为JC 5 5广义坐标与坐标耦合 若取质心位移x和转角q为广义坐标 则自由振动方程是静力耦合的 5 5广义坐标与坐标耦合 若坐标x不取在质心 而是选在满足k1a1 k2b2的O点位置 利用平面运动微分方程可得到 其中e为O点距质心的距离 这时运动方程是动力耦合的 O 5 5广义坐标与坐标耦合 C 同样 若将坐标x取在最左端A 利用平面运动微分方程得到运动方程为 这里的a和b如原图所标的位置 方程既是静力耦合又是动力耦合 5 5广义坐标与坐标耦合 从前面的分析可知 只要广义坐标形式选择合适 就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程 这时的广义坐标称为主坐标 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外 其余元素均为零 各个运动方程的坐标之间不存在耦合 5 6主坐标 5 6主坐标 其中 u 是前面得到的振型矩阵 令 将 x 代入原振动方程 化简后就可得到解耦的运动方程 下章证明 5 6主坐标 显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得 将其代入 x u P 即可得到用原始坐标 x 表示的一般解 主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义 5 6主坐标 利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为 1 求出原振动方程的固有频率和振幅比 得到振型矩阵 u 2 求出主坐标下的响应 3 利用式 x u P 得出原广义坐标下的响应 4 利用初始条件确定常系数 5 6主坐标 例 标准m k c系统中 设m1 m m2 2m k1 k2 k k3 2k c 0 求系统的固有频率和固有振型 利用坐标变换方