引 力 场 研 究[文档资料]

引 力 场 研 究 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 物理规律的和谐、统一是科学美的体现，是众多科学家毕生追求的目标 .万有引力相互作用与电磁相互作用的统一至今依然是 “ 大统一 ” 理论构建的最大障碍 .然而，我们似乎可以从很多方面寻觅到这种 “ 统一 ” 的影子，万有引力与库仑力的相似性看起来并不是偶然那么简单 .透过场的视点，我们发现传递电磁相互作用的场与传递引力作用的场也是极其相似的，研究这种相似性应该有助于深刻理解引力相互作用与电磁相互作用的关系 . 1 引力场强度 万有引力定律可表达为 F=-GMmr3r(1) 类比电场，将质量为 m 的质点引入质点 M 周围的引力场，将场中与 M 距离为 r 的点引力场强度定义为 g，则 g=Fm(2) 将 (1)代入 (2)得 g=-GMr3r(3) 考虑质点系的场强 g=GMir3iri(4) 若空间 x 处存在质量分布均匀物体，密度为 (x).在该物体上取体积元 dV ，其质量 dM满足 dM=(x)dV,则源外一点 P 的场强可表示为 gp=-G(x)r3rdV(5) 其中 r 为场源 x 到 P 点的距离，积分遍布整个物体， (5)式即为质点引力场强度的计算式 . 2 引力场的高斯定理 如图 1，作任意包围质点 M 的闭曲面 S,在 S 上距离场源 r 处取定向面元 dS.类比静电场，将引力场通过 S 的通量定义为 =g #8226；dS, 如果令 dS与 r 的夹角为 ，则 =g #8226；dS=-gcosdS= -GMcosr2dS =-GMd= -4MG, 其中 dScos 为面元投影到以 r 为半径的球面上的面积， cosdSr2 为面元 dS对质点 M 所张的立体角元 d. 上式可精简为 =g #8226；dS=-4GM(1) 若闭球面 S 包围的是密度为 的质点系， (1)式可以写成 =g #8226；dS=-4GVdV(2) (1)式和 (2)式就是引力场高斯定理的积分形式 . 如果 S0,V0,(2) 式左边趋于 #8226；gdV，而右边趋于 -4GdV. 故 #8226；g=-4G(3) (3)式就是引力场高斯定理的微分形式 .(3)式指出：引力场是有源场，物质质量是引力之源 .在没有物质质量分布的地方 =0 ， #8226；g=0. (3)式还指出：空间某点邻域上引力场的散度只与该点上的物质密度有关，而与其他地方的物质分布无关 . 值得注意的是物质密度直接影响引力场在空间的变化率，却不决定引力场在该点的强弱 . 3 质量分布均匀球体的引力场分布 3.1 球外引力场分布 如图 2，设均匀球体半径为 R,密度为 ，质量为 M.距离球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = g #8226；dS=-4GVdV, 即 = -g4r2= -4G43R3, g=43r2GR3=GMr2(1) (1)式指出，球外一点的场强，跟它到球心的距离的平方成反比，跟场源的质量成正比 . 内能的转化 . 2.2 对系统整体进行分析 将子弹与木块看做一个系统，对整个系统应用动能定理即 (以向右为正 )： (12m0v21+12mv22)-12m0v20=-f(d+s)+fs=fd, 由于摩擦力做功与路径有关，所以系统内这一对摩擦力所做的功并不能被称之为势能 . 从公式可以知道，子弹和木块所组成的系统中一部分机械能转化成了内能，这部分内能的效果即摩擦生热，其值为 fd，即摩擦力与相对位移的乘积 . 2.3 摩擦生热中的热为系统共有 从子弹打木块这一例子可得知，摩擦中的热来源于系统机械能的部分转化 .不过这部分热是木块和子弹共享还是只有木块有热或者只有子弹有热呢？ 可以肯定的是，这部分热一定是二者共享 .因为这部分热是在子弹与木块的接触 面处产生的，然后这些热再分别传向子弹与木块，与子弹木块谁的摩擦力做功多少是没关系的 . 生活中最常见的摩擦力即一物体在粗糙平面上滑动 .粗糙面并没有位移，及其所受的摩擦力做功为零，但用手去摸粗糙平面会发现它会有一些热 .这正是摩擦的热产生于接触面，而与谁做功多少无关的最好实例 . 3.2 球内引力场的分布 如图 3，设均匀球体半径为 R,密度为 . 距离球心 r 作高斯面，由高斯定理有 = -g4r2= -4G43r3, g=43Gr(2) (2)式指出，球 内一点的引力场强，跟它到球心的距离成正比 . 3.3 质量分布均匀的薄球壳空腔内的引力场 以球壳的内表面为高斯面，由于壳内空腔没有物质分布，依据高斯定理空腔内任意点的引力场强均为零 .其引力场分布如图 4(1). 3.4 质量分布均匀球体的引力场分布 综合 (1)、 (2)两式，并令 k=43GR3 ， k=43G,得 g=kr2(rR) kr(rR)(3) (3)式可以用图象表示 (如图 4(2). 分析 (3)式可以得到如下结论： 质量分布均匀球体内部某点的引力场跟该点到球心的距离成正比 . 质量分布均匀球体外部某点的引力场跟该点到球心的距离的平方成反比 . 质量分布均匀球体中心引力场强度为零 . 质量分布均匀球体内、外部引力场在球体表面处连续但不光滑 . 题 1 若已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零 .证明：质量为 M，半径为 R 的均匀球体内距离球心 r 处的质点 m 受球体引力为 f=GMmR3r. 证明由于质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，故 m 相当于只受以原球心为中心，半径为 r 的球 (质量设为 Mr)作用 .即 F=GMrmr2 如果设球的密度为 ，则 Mr=R3r3 式代入 式得 F=43Gmr=43R3GmR3r=GMmR3r. 4 均匀球体的引力势的分布及质点的引力势能 类比静电场电势定义，如果以无穷远处引力势为零，则可以将引力场中某点 P 的引力势定义为 p=p g #8226；dl=-pgcosdl(4) (4)式是引力势的一般定义 .将 (1)、 (2)式代入 (4)式，并用 r 表示积分变数，则均匀球体的引力场中某点的引力势为 p= -rGMr2dr= -GMr(rR) -Rr43Grdr -RGMr2dr =-GMR-23G(R2 -r2) =GM2R3r2-3GM2R (rR)(5) 计算容易得出，引力势在全空间是连续且光滑的，这也解释了引力场的在全空间的连续性 .(5)式可以用图象表示(如图 5)，其中 0= -3GM2R. 若将质点 m 置于引力场中 P 点，其引力势能为 EP=mP( 6) 题 2 如果把地球看成半径为 R，质量分布均匀的球体 .假设沿地球任意直径安放一光滑管道，将一小球从地面处无初速释放进入管道 .求 : 小球到达地心时的速度多大？ 小球多长时间到达地心？ 解析 (1)设地球质量为 M,小球质量为 m.根据 (5)式 Ep=GMm2R3r2-3GMm2R. 小球从释放至到达地心，势能减少量为 Ep=GMm2R, 由机械能守恒定律得 Ep=GMm2R=12mv2. 又 m 在地面时有 GMmR2=mg, 则 v=GMR=gR. (2)根据题 1 的结论，小球在距离地心 x 处受引力为 F=GMmR3x=kx, 其中 k=GMmR3.小球将以地心为平衡位置做简谐运动，其周期为 T=2mk=2mR3GMm =2R3gR2=2Gg, 小球落至地心的时间为 t=T4=2Rg. 5 结语 由前文分析发现，引力场与静电场在基本性质方面是