由一道不等式的证明题引起的思考[文档资料]

由一道不等式的证明题引起的思考 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 在高三教学中，如何做到高效复习是每一位教师时时探讨的话题 .其中精选精练典型例题是有效教学的重要环节之一 .每一道典型的数学例题，无论从方法上还是内容上都起着 “ 固体拓新，嫁接成林 ” 的功效，同时可培养学生提出问题和解决问题的能力，并使学生探究能力和创新能力得到发展 .在高三复习中，老师可以选择一些典型习题让学生开展一题多解，一题多变等方面的变式探究，以达到复习知识、巩固方法、培养能力的目 的 在复习不等式的证明时，我选出了下面一道习题 题目设 p0,q0，且 p3+q3=2，求证： p+q2. 此题有哪些证法？学生很快用综合法、分析法得出了答案 . 法 1（综合法） 由 p3+q2=2 得 (p+q) (p+q)2-3pq =2. 因为 p0,q0,所以 p+q2pq0, 所以 pq(p+q)24. 所以 (p+q) (p+q)2-34(p+q)2 2, 即 (p+q)38. 不等式得证 . 法 2（分析法） 要证明 p+q2, 由于 p0,q0，只需证明 (p+q)38. 即证明 p3+q3+3(p2q+pq2)8. 由于 p3+q3=2，只需证明 p2q+pq22=p3+q3. 即证明 (p-q)2(p+q)0 ，最后不等式显然成立，不等式得证 以上二种方法都是不等式的常用证法 由于比较法也是常用方法，此题能否用比较法证明呢？经过分析条件与结论的差距，有部分学生尝试成功 法 3（作差比较） (p+q)3-23=p3+q3+3pq(p+q)-8=3 pq(p+q)-2 =3 pq(p+q)-(p3+q3) =-3(p+q)(p-q)20 ，即证： （ p-q)2(p+q)0. 如果教学就此止步，那就错过了培养学生探究能力、创新意识的绝好机会，此题的教育功能就会大打折扣不等式的证明还有其他方法吗？能不能用它们证明这个不等式呢？一石激起千层浪，学生陷入了沉思摸索之中，下面是学生在老师的引导下，经过艰辛的探索得出的结果： （一）换元法： 法 4（均值换元） 设 p3=1+t,q3=1-t，则 -10， 令 p=mcos2,q=msin2 ，代入 p3+q3=2 得 m3=2cos6+sin6 =2(cos2+sin2)(cos4+sin4 -cos2sin2) (cos2+sin2)2 -3cos2sin2 = 21-34sin22 21 -34=8. 所以 m2, 即 p+q2. （二）反证法 法 6 假设 p+q2,则 (p+q)38,p3+q3+3pq(p+q)8.反复使用 p3+q3=2，则2+3pq(p+q)8pq(p+q)2pq(p+q)p3+q3pq(p+q)(p+q)(p2+q2-pq)=pqp2+q2-pq0(p-q)2.这不可能，故 p+q2. （三）构造法 法 7（构造函数） 不妨设 pq. 由 p3+q3=2 知 q=32-p3，则 p+q=p+32-p3,0p1. 引进辅助函数 f(x)=x+32-x3(00,f(x) 在 (0,1上单调递增， 则 f(x)f(1)=2, 即 p+q2. 法 8（构造方程） 设 p、 q 是方程 x2-mx+n=0 的两根，则 p+q=m,pq=n.由p3+q3=(p+q) (p+q)2-3pq得 m(m2-3n)=2,所以 n=m3-23m. 由 =m2 -4n=m2-4m3-83m0, 解得 m2 即 p+q2. 法 9 （构造均值不等式） 结论中等号成立的条件是 p=q=1. 由 p0,q0 得 ： p3+1+133p3=3p ， q3+1+133q3=3q. 两式相加得： p3+q3+43p+3q, 即 p+q2. 法 10（构造数列） 由 p3+q3=2 得 p3,1,q3 成等差数列，不妨设 pq ，公差 d=1-p3=q3-10 ,1-p=1-p31+p+p2=q3-11+p+p2q3 -11+q+q2=q-1，即p+q2. 法 11（构造向量） 令 a=(p,q),b=(p3,q3) .因为 |a|b|a b|,所以 p2+q2p+q p3+q3=2p+q, 再令 m=(p,q),n=(1,1),由 |m|n|m n| 得 p+qp2+q222p+q2. 所以 (p+q)48(p+q), 即 p+q2. 法 12（构造立方体） 构造 4 个棱长为 p 和 4 个棱长为 q 的立方体不妨设 ，将这 8 个立方体按下图拼接成棱长为 p+q 的立方体，拼接过程中，将多余部分（图中阴影）挖去，显然有4p3+4q3(p+q)3 即 p+q2. 法 13（构造曲线） 在直角坐标系中作出直线 x+y=2、圆 x2+y2=2，并借助几何画板或图形计算器作出三次曲线 x3+y3=2 令 A=(x,y)|x+y2,x0,y0 ， B=(x,y)|x2+y22,x0,y0 ， C=(x,y)|x3+y3=2,x0,y0. 如图 2， CBA,则 p3+q3=2p2+q22 p+q2. 法 14（构造分布列） 由于 p3+q3=2，设离散型随机变量 的分布列为： 1p1q Pp32 q32 E=p 2+q22， E2=p+q2 ，由 D=E2 -(E)2)0 得 E2(E)2,p+q2(p2+q22)2(p+q4)4 ， 所以 (p+q)38 ，即 p+q2. 在探索解法过程中，你有哪些启示，你还有那些不同的解法？你还能变换条件或结论得出其它问题吗？你能类比或联想得一些不等式吗？你能证明或否定它们吗？ 下面是学生们所得的一些变式题 . 变式 1：（改变结论）若 a,bR+,a3+b3=2, 则 ab1. 变式 2：（改变条件）若 a0,b0,a2+b2=2,则 a+b2. 变式 3：（弱化条件）若 p,qR 且 p3+q3=2，则p+q2 变式 4：（推广）若 an+bn=2,a,bR,n2,nN ，则a+b2,ab1. 变式 5：（引申）若 a3+b3+c3=3,a,b,cR+ ，则a+b+c3,ab+bc+ca3,abc1. 变式 6：（条件、结论互换）若 a,bR+,a+b=2, 则a3+b33. 变式 7：（再引申）若 a,b,cR+,a+b+c=3, 则a3+b3+c33. 变 式 8：（再推广）若 an+bn+cn=3,a,b,cR+ ，n2,nN ，则 a+b+c3,ab+bc+ca3,abc1. 波利亚说 “ 好问题同某种蘑菇有类似的结论，大都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个 ” 本案例通过一题多解，一题多变的探究，既复习了不等式的证明方法，又加强不同章节知识间的联系，优化了学生数学的思维结构，享受到了成功的快乐 一轮复习中，学生做中档的题目应当是最有效的，这样的题目符合学生的最近发展区 .但是学生解这样的题也是经常出现一些惯性 错误，诸如审题错误、运算错误、逻辑错误、表述不规范等，特别是选择某方法解决问题时，没有考虑该方法的适用条件、适用范围，使用该方法应注意的事项等许多老师都有这样的体会，有些错误老师反复纠正，学生还是一错再错因为纠错时老师直接把正确解法授给学生，或老师包办分析错误原因，学生成了接受信息的容器，没有真正参与纠错过程，纠错效果差是理所当然的对于这类错误，老师一定要精心设计纠错过程，首先要让学生暴露自己的错误，不能由老师说这是经常出现的错误，要让学生通过观察、分析、验证、讨论、交流，老师适当引导，使学生真正看清 楚错误的地方，真正弄清错误的原因，是题目条件结论看漏还是看错？是题意不懂还是想错？是概念定理、公式不熟还是理解出了偏差？是方法选择不当还是逻辑不严密？是思维定式的影响还是考虑问题不周密？是计算问题还是规范问题？真正弄清为