中级微观补充讲义6

中微补充讲义（6）（4月23日课堂用）平新乔第七讲：第二节 短期成本函数与长期成本函数二、平均成本函数与边际成本函数我们已知在AC（w1，w2，y）最低点，必有AC（w1，w2，y）=MC（w1，w2，y）反过来，如AC（w1，w2，y）=MC（w1，w2，y），必是AC最低点。在这里，我们再讲两点：1MC*（w1，w2，y）=*，即边际成本函数是成本最小化问题的拉氏函数中的拉氏乘子。为什么？我们看成本极小化问题：对应的拉氏函数为=w1x1+w2x2+yf(x1，x2)该问题的一阶条件是： w1=*f1 ， w2=*f2 （1）将最优解与代入成本的定义，有 （2）由边际成本的定义，可知 （3）把（1）式代入（3）式，有 （4）只需证：我们从约束条件：f（x1，x2）y出发，在成本最小时必应 f（x1，x2）=y （5）由于（5）式在x1=（w1，w2，y）与x2=（w1，w2，y）时也成立，从而 f（(w1，w2，y)，(w1，w2，y)）=y （6）让（6）式两边对y求导，用复合函数求导法，不难知道，从而， （7）2边际成本函数对平均成本函数的影响由于让AC的表达式两边对y求导，可得 （8）由于MC*=，从（8）式中解出MC*，可获即 （9）（9）式表达了多生产单位产出所化的成本对原平均成本的影响，其中，为影响系数，可正可负。若0，为“伤害效应”；若0，为“贡献效应”。为什么多生产单位产出的成本增量对AC的效应中要乘上y？这是由于AC*是与产出y有关的，现在y的影响为（AC*），这也会让所有的y都多承担（AC）*。1925年，芝加哥大学经济系的Frank Night（奈特）（他为芝加哥经济学派的创始人）举了一例，说明边际成本与平均成本的上述关系。奈特说，设想一段公路上原有10辆车行驶，路上无堵塞，每辆车只需驶30分钟就可到达目的地。现在出现了第11辆车，它的出现使道路出现拥挤，结果让每辆车的行驶时间增加2分钟。这样，第11辆对交通的边际成本应为MC=32（分钟）+2（分钟）10=52（分钟）这里，AC*（w1，w2，y）为新的平均成本。三、规模报酬、平均成本与单位成本我们已经看到：（1）如生产函数是：f(x1,x2)=minx1,x2，则成本函数为：c(w1,w2,y)=y.(w1+w2)（2）如生产函数是：f(x1,x2)=x1+x2，则成本函数为：c(w1,w2,y)=y.minw1,w2（3）如生产函数是：f(x1,x2)=，则成本函数为：c(w1,w2,y)=( ) y（K是关于w1与w2的一个函数）在上述三个例子中，生产函数都具有一次齐次性，即f(tx1 tx2)=t f(x1，x2)对1成立。即生产函数是规模报酬不变。而成本函数就可以分两部分的乘积，一是关于要素价格（w1，w2）的函数A（w1，w2），另一部分就是y。这种情形实质上具有一种普遍性的规律。我们给出下列定理：定理：如果生产函数f(x1,，xn)具有k次齐次性，则成本函数可以分解为C（w1，wn，y）=yA（w1，wn）这里，A（w1，w2，wn）只是要素价格（w1，wn）的函数。推论：（1）如生产函数f（x1，xn）呈不变的规模报酬，（具有一次齐次性(k=1)），则平均成本函数为单位成本：AC（w1，wn，y）=C（w1，wn，1）；（2）如生产函数呈递增的规模报酬（k1），则平均成本小于单位成本：AC（w1，wn，y）C（w1，wn，1）；（3）如生产函数呈递减的规模报酬（k1），则平均成本大于单位成本：AC（w1，wn，y）C（w1，wn，1）。证明：（只考虑两种要素，一种产出的情形），由于成本函数C(w1，w2)为给定）是C（w1，w2，y）=w1（w1，w2，y）+w2（w1，w2，y）又由成本极小化的问题的一阶条件w1=*f1，w2=*f2，从而C（w1，w2，y）=*（f1+f2）但由于生产函数具有k次齐次性，所以，f1+f2=k f（x1，x2）=k y所以，C（w1，w2，y）=* k y又由于*是成本最小时的边际成本，即*=，于是对上述偏微方程作变量分离，有由于偏微符号表示在（w1，w2，y）中只变y，（w1，w2）未变，从而不要忘了常数项含K（w1，w2），对上述方程两边积分，这样就有从而两边取以e为底的指数函数，就有C*（w1，w2，y）=yA（w1，w2）下面再来证明推论：（1）当k=1（规模报酬不变）时，就有C*（w1，w2，y）= y A （w1，w2）于是有这说明A（w1，w2）是一种与y无关的平均成本AC（w1，w2），它只与要素价格（w1，w2）有关，AC（w1，w2）实质上是一种不随y变化而改变的生产一单位产出的成本，叫“单位成本”，记为C（w1，w2，1）。单位成本的概念并不是生产第一单位的产出的成本，而是指不随y改变而改变的每单位产出的成本，它可以指最后一单位产出的成本，只不过，这种单位成本C（w1，w2，1）一般不等同于平均成本AC（w1，w2，y），AC（w1，w2，y）=是会随y变化而变化的，AC（w1，w2）中不含y，AC（w1，w2）独立于y，无论y有多大，AC（w1，w2）与y =1时生产的平均成本一样。而由于y=1时，平均成本AC（w1，w2，1）=C*（w1，w2，1），所以，我们用C*（w1，w2，1）来记“单位成本”。由以上讨论可知，当k=1（规模报酬不变）时，AC（w1，w2，y）=C（w1，w2，1）二单位成本。（2