CAU 考研资料包 考研数学1st 概率论 试题 第七章

参数估计是利用从总体抽样得到的信息估计总体的某些参数或参数的某些函数 估计废品率 估计新生儿的体重 估计湖中鱼数 估计降雨量 仅估计一个或几个参数 第七章参数估计 参数估计问题的一般提法 依据样本估计参数 或估计 的某个函数g 这类问题称为参数估计 设总体的分布函数为F x 其中 为未知参数 可以是向量 从该总体抽样 得样本X1 X2 Xn 1 651 671 681 781 69 例估计18岁男子的平均身高 从总体选取容量为5的样本 估计 为1 68 这是点估计 估计 在区间 1 57 1 84 内 这是区间估计 一 点估计概念及讨论的问题 例1已知某地区新生婴儿的体重X 随机抽查100个婴儿得100个体重数据 问题 1 如何估计未知参数呢 1 点估计 2 如何评价估计结果的优劣 3 证明某特定估计量在某标准下最优 为估计 需要构造适当的样本的函数T X1 X2 Xn 每当有了样本值 就代入该函数中算出一个值 用来作为 的估计值 把样本值代入T X1 X2 Xn 中 得到 的一个点估计值 T X1 X2 Xn 称为参数 的点估计量 注意 被估参数 是未知常数 估计量T X1 X2 Xn 是随机变量 由大数定律 用样本平均值估计总体期望 用样本方差S2估计总体方差 二 数字特征法 三 矩估计 总体k阶原点矩为 用样本矩去估计相应的总体矩 样本k阶原点矩为 总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为 设总体分布函数中含k个未知参数 1 2 k 则它的前k阶矩 1 2 k一般 都是这k个参数的函数 记为 i gi 1 2 k i 1 2 k 解出 j hj 1 2 k j 1 2 k j 1 2 k 解 由矩估计法 样本矩 总体矩 从中解得 即为 的矩估计 数学期望是一阶原点矩 例2设总体X的概率密度为 是未知参数 其中 X1 X2 Xn是取自X的样本 求参数 的矩估计 解 由密度函数知 例3设X1 X2 Xn是取自总体X的一个样本 其中 0 是未知参数求 的矩估计 服从具有均值为 的指数分布 故E X D X 2 即 E X D X 2 用样本矩估计总体矩 矩估计优点 简单易行 不需要知道总体的分布 缺点 当总体分布已知时 未充分利用分布提供的信息 矩估计量不唯一 其原因在于建立矩法方程时 选取哪些总体矩用相应样本矩代替有一定的随意性 矩估计法 1 将待估参数表示为总体矩的连续函数2 用样本矩替代总体矩 从而得到待估参数的估计量 四 最大似然估计 极大似然法 在总体分布类型已知条件下使用的一种参数估计方法 首先由德国数学家高斯在1821年提出 英国统计学家费歇1922年重新发现此方法 并首先研究了此方法的一些性质 例 某位同学与一位猎人一起外出打猎 一只 野兔从前方窜过 一声枪响 野兔应声倒下 推测 是谁打中的呢 例4设X B 1 p p未知 但知道p只有两种可能 p 0 7或p 0 3 如今重复试验3次 问 应如何估计p 得结果 0 0 0 因为3次试验中出现 1 的次数 k 0 1 2 3 就不同p计算结果列表如下 p值P Y 0 P Y 1 P Y 2 P Y 3 0 70 0270 1890 4410 3430 30 3430 4410 1890 027 应如何估计p 若 只知0 p 1 实测记录是Y k 0 k n 如何估计p呢 注意到 是p的函数 故求使f p 达到极大值的p则可 又因f p 与lnf p 在同一点达到极大值 故问题可转化为求lnf p 的极大值点 f p 0 解得 极大似然法的基本思想是 一次试验中出现的事件其概率最大 对于连续型总体 已知样本的联合密度为 f X1 X2 Xn 若使样本值落在样本点 x1 x2 xn 附近的概率最大 只要选取 使 f x1 x2 xn 最大则可 以n 2为例若使样本值落在样本点 x1 x2 附近的概率最大 只要选取 使 f x1 x2 最大则可 极大似然估计原理 当给定样本x1 x2 xn时 定义似然函数为 设X1 X2 Xn是取自总体X的一个样本 样本的联合密度 连续型 或联合概率分布 离散型 为f x1 x2 xn L f x1 x2 xn 4 在最大值点的表达式中 用样本值代入就得参数的极大似然估计值 求极大似然估计 MLE 的一般步骤是 1 由总体分布导出样本的联合概率分布 或联合密度 2 把样本联合概率分布 或联合密度 中自变量看成已知常数 而把参数 看作自变量 得到似然函数L 3 求似然函数L 的最大值点 常常转化为求lnL 的最大值点 即 的MLE L p P X1 x1 X2 x2 Xn xn p 例5 设x1 x2 xn是取自总体X B 1 p 的一个样本 求参数p的极大似然估计 解 似然函数 对数似然函数为 即为p的MLE 得 解 似然函数为 0 xi 1 求导并令其为0 0 对数似然函数为 解 似然函数 i 1 2 n 对数似然函数 0 2 由 1 得 0 1 对 分别求偏导并令其为0 用极大似然原则无法确定 对 故使L 达到最大的 即 的MLE 取其它值时 且是的增函数 可证明极大似然估计具有下述性质 例8一罐中装有白球和黑球 有放回地抽取一个容量为n的样本 其中有k个白球 求罐中黑球与白球之比R的极大似然估计 解 设X1 X2 Xn为所取样本 则X1 X2 Xn是取自B 1 p 的样本 p是每次抽取时取到白球的概率 p未知 先求p的MLE p的MLE为 由例4已知 由极大似然估计的性质得 的MLE是 第二次捕出的有记号的鱼数X是r v X具有超几何分布 为了估计湖中的鱼数N 第一次捕上r条鱼 做上记号后放回 隔一段时间后 再捕出S条鱼 结果发现这S条鱼中有k条标有记号 根据这个信息 如何估计湖中的鱼数呢 最后 我们用极大似然法估计湖中的鱼数 求N的极大似然估计 因为用对N求导方法相当困难 考虑比值 当N为小于rS k的最大整数时 达到最大值 故N的极大似然估计为 3 怎样判定两个估计量哪个量 好 2 好的 估计量应具有什么特性 1 同一未知参数不同的估计方法所得估计量不同 哪一个估计量好呢 1 估计量的优良性准则 2估计量的评选标准 问题 常用的几条标准是 1 无偏性 2 有效性 3 相合性 1 无偏性 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 S2是总体方差的无偏估计 2 有效性 是总体期望的无偏估计 n越大越有效 最小方差无偏估计 也称最佳无偏估计 3 相合性 由大数定律知样本k阶矩为总体k阶矩的相合估计量 3区间估计 例如 1 准备知识 上 分位点 例如 2 置信区间定义 可信度与精度是一对矛盾 一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度 注意 给定样本和置信水平 置信区间不是唯一的 N 0 1 3 置信区间的求法 找一个待估参数和样本的函数 且不含其他未知参数 要求其分布已知 1 正态总体方差已知 期望的置信区间 使 简记 于是 的置信区间为 对任意a b 就得一个置信度为1 的置信区间 概率密度为单峰且对称的情形 当a b时 得长度最短的置信区间 在概率密度不对称时 如分布 F分布 习惯上仍取对称的分位点计算未知参数的置信区间 置信水平越高 相应的置信区间平均长度越长 2 正态总体方差未知期望的置信区间 因方差未知 取 知求参数 的置信度为1 的置信区间 设X1 Xn是取自N 2 的样本 2未 给定置信水平1 查t 分布表得t 2 n 1 即 期望 的置信水平为1 的置信区间为 简记 例1 某车间生产滚珠 由长期实践知 滚珠直径 单位 mm X N 0 05 从某天生产的滚珠中随机抽取6个测得直径如下 14 70 15 21 14 90 14 91 15 32 15 32 15 32 求该天生产滚珠直径均值的置信度为95 置信区间 解 由已知得所求置信区间为 z0 025 1 96 2 0 05 代入以上置信区间得 14 88 15 24 为所求 n 6 例2 用某仪器间接测温度 重复5次得 1250o 1265o 1245o 1260o 1275o 试问温度均值在何范围 设测量结果服从正态分布 解 由已知知所求置信区间为 t0 025 4 2 776 S2 570 4 代入以上置信区间得 1244 2 1273 8 为所求 n 5 非正态总体期望的置信区间取大样本按正态总体作 例3某单位要估计平均每天职工的总医疗费 观察了30天 其总金额的平均值是170元 标准差为30元 试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计 置信水平为0 95 解 设每天职工的总医疗费为X 大样本 职工每天总医疗费用平均值的置信区间为 所求置信区间是 158 8 181 2 t 0 025 29 2 0452 n 30 代入得 将 170 S 30 因为 解得 对给定的置信度1 确定分位点 3 正态总体期望未知方差的置信区间 求参数 2的置信度为1 的置信区间 设X1 Xn是取自N 2 的样本 未知 选 2的点估计为S2 满足 故 2的置信区间为 例4 冷抽铜丝折断力X N 2 从一批铜丝中任取10根测其折断力得 578 572 570 568 572 570 570 596 584 572 求方差的置信区间 代入得所求置信区间是 35 87 252 44 将 575 2 9S2 681 6 解 2的置信区间为 4 两独立正态总体期望差异的置信区间 1 2的置信度为1 的置信区间为 5 两独立正态总体方差比的置信区间 相互独立 三 单侧置信区间 上述置信区间中