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高斯积分 1 在进行有限元分析时 一般需要大量的数值积分 通常都是通过坐标变换把被积函数全部化为局部坐标的函数 经过这样的变换 计算将会变得简单 若被积函数不是多项式函数 比如采用等参单元就是这样 此时就需要求助于数值积分 在有限元分析中 经常采用的就是高斯数值积分 2 对于积分区间 a b 通过变换可化为区间 1 1 所求积分则化为 不失一般性 取a 1 b 1 讨论区间 1 1 上的积分即可 则有其中为权函数 3 求积公式的代数精度最高不超2n 1次 证明 分别取f x 1 x x2 xn时代入公式 并让其成为等式得A1 A2 An ab1dx b ax1A1 x2A2 xnAn abxdx b2 a2 2 x1rA1 x2rA2 xnrAn abxrdxr br 1 ar 1 r 1 上式共有r个等式 2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解 应有方程组中方程的个数等于变元的个数 即r 2n 这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n 1 下面证明代数精度只能是2n 1 如果事先已选定 a b 中求积节点xk如下a x1 xn b 上式成为n个未知数A1 An的n元线性方程组 此时要r n时方程组有唯一解 4 事实上 取2n次多项式g x x x1 2 x x2 2 x xn 2代入求积公式 有左 右 0左 右 故不成立等式 定理得证 定义 使求积公式达到最高代数精度2n 1的求积公式称为Guass求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点 系数Ak称为Guass系数 因为Guass求积公式也是插值型求积公式 故有结论 插值型求积公式的代数精度d满足 n 1 d 2n 1 5 定理 若f 2n x 在 a b 上连续 则高斯求积公式的余项为其中 a b w x x x1 x x2 x xn 高斯求积公式的系数Ak恒为正 故高斯求积公式是稳定的 Guass求积公式有多种 他们的Guass点xk Guass系数Ak都有表可以查询 6 Gauss Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点Ln x 对于一般有限区间 a b 用线性变换x a b 2 b a t 2使它变成为 1 1 7 nxk n Ak n Rn1022 0 57735031 0 577350313 0 77459675 9 0 5555556 0 77459675 9 0 555555608 9 0 88888894 0 86113630 3478548 0 33998100 6521452 0 33998100 6521452 0 86113630 34785485 0 90617990 2369269 0 53846930 478628700 5688889 0 53846930 4786287 0 90617990 2369269 Gauss Legendre点及系数表 8 例题 利用高斯求积公式计算 解 令x 1 2 1 t 则用高斯 Legendre求积公式计算 取n 5积分精确值为I ln2 0 69314718 由此可见 高斯公式精确度是很高的 9 2 Gauss Chebyshev求积公式其中高斯点为Chebyshev多项式T