高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算讲义新人教A版.docx

31.1空间向量及其加减运算1空间向量(1)定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度向量的大小叫做向量的长度或模(3)表示方法 (4)几类特殊的空间向量零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.单位向量：模为1的向量称为单位向量相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为a.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量2空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：ab；ab.(2)加法运算律交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大()(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()(3)0向量是长度为0，没有方向的向量()(4)若|a|b|，则ab或ab.()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是_(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简后的结果是_(3)如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量的表达式：_._._.(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点用，表示向量，则_.答案(1)球面(2)(3)(4)解析(4)()().探究1空间向量的概念例1给出下列命题：两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等；只有零向量的模为0.其中假命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4解析真命题根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同真命题根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模长也相等，应有.真命题向量的相等满足传递规律假命题空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等真命题根据零向量的定义可知答案A拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可(2)两个关系模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的但向量的模是可以比较大小的【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a，b满足|a|b|且a，b同向，则ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；向量与向量的长度相等其中正确命题的序号为_答案解析错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；错误，向量不能比较大小；错误，如但|，正确(2)给出下列命题：若|a|0，则a0；若a0，则a0；|a|a|，其中正确命题的序号是_答案解析错误，若|a|0，则a0；正确正确探究2空间向量的加减运算例2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是()()；()；()；().A B C D解析()；()；()；().因此，两式的运算结果为向量，而两式的运算结果不为向量.故选A.答案A结论探究例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量的有哪些？()；()；()；().解()；()；()；()().故式运算结果都是向量.拓展提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果2化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)【跟踪训练2】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()A.0 B.0 C.0 D.0 答案A解析0.探究3空间向量证明题例3在如图所示的平行六面体中求证：2.证明平行六面体的六个面均为平行四边形，.()()()2()，又，2.拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：(ab)ca(bc)证明作平行六面体ABCDABCD使a，b，c，如图，则：(ab)c()，a(bc)()()，所以(ab)ca(bc) 1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. 2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行. 3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误如，误写成，应为.1向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()Aab Bab为实数0Ca与b方向相同 D|a|3答案D解析因为a，b互为相反向量，所以ab，ab0，a与 b方向相反，|a|b|3.2已知空间向量，则下列结论正确的是()A.B.C.D.答案B解析.3设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是()A空间四边形 B平行四边形C等腰梯形 D矩形答案B解析，线段AB，DC平行且相等，四边形ABCD是平行四边形4已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确结论的序号为_与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量答案解析下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AD，B1C1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知2，2，又，所以命题正确由于，所以与是两个相等的向量，所以命题是不正确的同理可得命题是正确的5下图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所