CAU 考研资料包 高等数学 下 第十一章 116

1 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 小结思考题作业 傅氏级数Fourierseries 问题的提出 第七节傅里叶 Fourier 级数 正弦级数或余弦级数 第十一章无穷级数 2 上一节详细研究了一种重要的函数项级数 幂级数 下面研究另一种重要的函数项级数 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的 它在电工 力学和许多学科中都有很 重要的应用 傅里叶 Fourier 1768 1830 法国数学家和物理学家 法国科学院院士 英国皇家学会会员 傅里叶 级数 3 1757年 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时 1759年 拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角 1777年 欧拉在研究天文学的时候 级数时的系数 也就是现今教科书中傅里叶级数 的系数 大胆地采用了 历史朔源 三角级数表示函数 4 微分方程是分不开的 析学的发展 形所采用的三角级数方法进行加工处理 1753年 的解表示为三角级数的形式 这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础 促进了分 在历史上 丹 贝努利首先提出将弦振动方程 1822年 傅里叶在 热的解析理论 一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的 特殊的情 发展成 一般理论 三角级数的出现和发展 与求解 5 一 问题的提出 在自然界和人类的生产实践中 周而复始 的现象 周期运动是常见的 如行星的飞转 飞轮的旋转 蒸气机活塞的 往复运动 物体的振动 声 光 电的波动等 数学上 用周期函数来描述它们 最简单最基本 的周期函数是 谐函数 振幅 时间 角频率 初相 简谐波 简谐振动 正弦型函数 6 如矩形波 不同频率正弦波 除了正弦函数外 常遇到的是非正弦周期函数 较复杂的周期现象 逐个叠加 分解 7 8 9 10 11 12 设想 一个较复杂的周期运动 如矩形波 分解 为简谐振动的迭加 会给分析问题带来方便 是把一个复杂的周期函数f t 反映在数学上 的迭加 表示为各类正弦函数 谐波分析 或再利用三角恒等式 变形为 即 13 三角级数 函数f t 满足什么条件 系数 才能展为 如何确定 为简便计 先来讨论以为周期的函数f x 解决上述问题起着关键作用的是 三角函数系的正交性 orthogonality 三角级数 14 三角函数系 二 三角函数系的正交性 的正交性是指 其中任何两个不同的函数的乘积 在一个周期长的区间 而任 一个函数的自乘 平方 在 即有 orthogonality 15 16 1 傅里叶系数 Fouriercoefficient 两边积分 三 函数展开成傅里叶级数 17 18 19 则 希自己证明 20 1993 研究生考题 填空 3分 解 由傅里叶系数公式 偶 练习 21 傅里叶系数 由这些系数作成的三角级数 22 称为函数f x 诱导出 的傅里叶级数 f x f x 的傅里叶级数不见得收敛 即使收敛 级数的和也不一定是f x 不能无条件的 下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们 所以 把符号 它的傅里叶级数收敛 记为 当f x 满足什么条件时 并收敛于f x 本身 换为 23 2 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 收敛定理 24 当x是f x 的连续点时 当x是f x 的间断点时 当时 傅氏级数的和函数与函数f x 的关系 由定理可知 25 1 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 2 周期函数的三角级数展开是唯一的 就是 常说把f x 在上展开成傅氏级数 3 要注明傅氏级数的和函数与函数f x 相等 幂级数的条件低得多 其傅里叶级数 的区域 就是函数 在一个周期内的平均值 26 设函数f x 以为周期 且 其傅氏级数在处收敛于 1992 研究生考题 填空 3分 练习 27 解 可以将f x 展开为傅氏级数 因为 所以 其傅氏级数在处收敛于 设函数f x 以为周期 且 28 周期函数的傅里叶级数解题程序 并验证是否满足狄氏条件 画图目的 验证狄氏条件 由图形写出收敛域 易看出奇偶性可减少求系数的工作量 2 求出傅氏系数 3 写出傅氏级数 并注明它在何处收敛于f x 1 画出f x 的图形 29 解 u t 的图象 计算傅里叶系数 奇 奇 将其展开为傅氏级数 并按狄利克雷定理写出此级数的和 例 为周期的矩形脉冲的波形 30 偶 故u t 的傅里叶级数为 31 由于u t 满足狄利克雷充分条件 所以 得 32 解 计算傅里叶系数 例 将f x 展开为傅里叶级数 f x 的图象 33 34 故f x 的傅里叶级数 35 由于f x 满足狄利克雷充分条件 由收敛定理得 36 37 上有定义 3 F x 可展为傅氏级数 作法 对于非周期函数 如果f x 只在区间 上有定义 并且满足狄氏充要条件 也可展开成 傅氏级数 1 f x 在 周期延拓 级数收敛于 38 解 例将函数 展开为傅氏级数 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 计算傅里叶系数 所给函数在区间 满足狄氏充要条件 收敛于f x 39 偶函数 奇函数 40 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 41 42 北方交大考题95级 6分 为周期的傅氏级数的和函数S x 在上的 解 S x 练习 表达式 43 98 A 填空题 3分 已知级数则级数的和 等于 解 所以 练习 44 由奇函数与偶函数的积分性质 系数的公式 易得下面的结论 和傅里叶 此时称傅里叶级数为 sineseries 正弦级数 sineseriesandcosineseries 四 正弦级数和余弦级数 它的傅里叶系数为 45 此时称傅里叶级数为 将函数展为傅里叶级数时 先要考查函数 是非常有用的 是否有奇偶性 cosineseries 余弦级数 它的傅里叶系数为 46 解 函数的图形如图 电学上称为 偶函数 例 展为傅里叶级数 锯齿波 47 余弦级数 48 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 奇函数 设f x 是周期为的周期函数 它在 例 上的表达式为 将f x 展开成傅氏级数 f x 的图形 49 50 正弦级数 51 例在无线电设备中 常用电子管整流器将交流电转换为直流电 已知电压 t为时间 试将E t 展为傅氏级数 解 在整个数轴上连续 偶函数 所给函数满足狄利克雷充分条件 52 n为奇数 n为偶数 n 1时也对 53 54 奇延拓 偶延拓 两种 正弦级数 偶函数 奇函数 余弦级数 因而展开成 因而展开成 55 上有定义 作法 3 F x 可展开为傅氏级数 这个级数必定是 得到f x 的正弦级数的展开式 偶函数 的奇函数 正弦级数 余弦级数 余弦级数 其实也不必真正实施这一手续 满足收敛定理的条件 1 f x 在 2 在开区间 内补充定义 得到定义在 上的函数F x 使它成为在上 56 解 1 求正弦级数 奇延拓 正弦级数 分别展开成正弦级数和余弦级数 例 57 2 求余弦级数 又可展成余弦级数 既可展成正弦级数 其傅氏级数不唯一 余弦级数 偶延拓 上有定义的函数 58 设函数 1 把f x 展开为正弦级数 2 求级数的和函数S x 在 解 练习 1 上的表达式 59 级数的和函数S x 的周期为 如图所示 从图上看更明显 2 求级数的和函数S x 在 上的表达式 解 解 60 基本概念 三角级数 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 傅里叶级数 按狄利克雷收敛定理写