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第二章极限 数列的极限 无穷小量与无穷大量 函数的极限 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较 1 引言 微积分学乃至分析数学的基本概念之一 用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势 极限的朴素思想和应用可追溯到古代 中国早在2000年前就已能算出方形 圆形 圆柱等几何图形的面积和体积 3世纪刘徽创立的割圆术 就是用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率 的 2 第二章极限 本章学习要求 了解数列极限和函数极限的概念 在后面内容的学习中逐步加深对极限思想的理解 掌握函数极限存在与左右极限之间的关系 了解函数极限的性质 了解极限存在的两个准则 夹逼准则和单调有界准则 掌握极限的四项运算法则 会用两个重要极限求极限 理解无穷小量 无穷大量的概念 掌握无穷小量阶的比较 会用等价无穷小量求极限 3 第二节函数的极限 4 定义 想想 如何从几何的角度来表示该定义 5 6 将图形对称过去后 你有什么想法 将图形对称 7 定义 8 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 9 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 10 定义 11 由于 x X 0 x X或x X 所以 x按绝对值无限增大时 又包含了x 的情形 既包含了x 12 定理 及极限的三个定义即可证明该定理 由绝对值关系式 13 证 成立 由极限的定义可知 14 解 无限缩小 可以小于任意小的正数 因而应该有 下面证明我们的猜想 证明过程怎么写 15 这里想得通吗 16 证 17 由图容易看出 分析 需要证明之处 请同学们自己证一下 18 19 f x 在点x0 0处有定义 函数f x 在点x0 1处没有定义 20 21 定义 22 23 证 这是证明吗 非常非常严格 24 证 25 证 26 这里 x 2 没有直接的有界性可利用 但又必须设法去掉它 因为x 1 所以 从某时候开始x应充分地接近1 0 x 2 1 1 1 1 1 分析 结论 27 证 证毕 28 在极限定义中 1 与 和x0有关 即 x0 一般说来 值越小 相应的 值也越小 2 不等式 f x a 0 同时也要对x x0以任何方式进行都成立 3 函数f x 以a为极限 但函数f x 本身可以不取其极限值a 29 y a y a y a x O y x0 x0 x0 曲线只能从该矩形的左右两边穿过 30 在以后的叙述中 如果函数f x 极限的某种 性质与运算对任何一种极限过程均成立 则将使 表示对任意一种极限过程的函数 用符号 三 函数极限的性质 极限 31 2 有界性定理 若limf x 存在 则函数f x 在该极限过程中必有界 1 唯一性定理 若limf x 存在 则极限值必唯一 3 保号性定理 32 该定理也称为第一保号性定理 33 极限值正负与函数值正负关系的推论 34 该定理也称为第二保号性定理 35 第二保号性定理成立 运用反证法 设f x 0 f x 0 时 有a0 则由第一保号性定理将推出 f x 0 的矛盾 该矛盾就证明了 36 注意 当f x 0 f x 0 时 按照第二保号性定理也只能得到 a 0 a 0 结论 37 考虑两个问题 38 39 y a y a y a x O y x0 x0 函数在x0的左边可以无定义 想想这种情形下 函数有极限吗 如何描述这种情形 40 想想这种情形下 函数有极限吗 y a y a y a x O y x0 x0 函数在x0的右边可无定义 如何描述这种情形 41 定义 42 定义 43 1 左 右极限均存在 且相等 2 左 右极限均存在 但不相等 3 左 右极限中至少有一个不存在 找找例题 函数在点x0处的左 右极限可能出现以下三种情况之一 44 y f x x O y 1 1 在x 1处的左 右极限 解 45 对此有什么想法没有 左右结合 46 定理 利用0 x x0 x x0 0或0 x x0 和极限的定义 即可证得 47 解 48 解 49 50 思考与练习 1 若极限 存在 2 设函数 且 存在 则 是否一定有 51 三 极限定义及定理小结 52 极限定义一览表 53 极限定义一览表 54 55 内容小结 1 函数极限的 或 定义及应用 2 函数极限的性质 保号性定