等差数列的前n项和的最值ppt课件.ppt

2 2等差数列的前n项和 第二课时 等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值 1 等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 复习回顾 2 一 常用数列的求和方法 3 裂项法 设 an 是等差数列 公差d 0 新课讲授 3 4 倒序相加法 用于与首末两端等距离的和相等 4 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 Sn是关于n的二次式 常数项为零 d可以为零 则Sn An2 Bn 令 新课讲授 5 结论1 若数列 an 的前n项和为Sn pn2 qn p q为常数 是关于n的二次式 则数列 an 是等差数列 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 若C 0 则数列 an 不是等差数列 若C 0 则 an 为等差数列 结论2 设数列 an 的前n项和为Sn An2 Bn C A B C是常数 当d 0时 Sn na1不是二次函数 6 问题与思考 7 8 9 例1若一个等差数列前3项和为34 最后三项和为146 且所有项的和为390 则这个数列共有 项 13 例2已知数列 an 中Sn 2n2 3n 求证 an 是等差数列 10 例1 若等差数列 an 前4项和是2 前9项和是 6 求其前n项和的公式 解 设首项为a1 公差为d 则有 11 设Sn an2 bn 依题意得 S4 2 S9 6 即 解之得 另解 12 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法1 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 13 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法2 由S3 S11得 d 2 0 当n 7时 Sn取最大值49 则Sn的图象如图所示 又S3 S11 所以图象的对称轴为 14 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法3 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 15 a7 a8 0 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法4 由S3 S11得 当n 7时 Sn取最大值49 a4 a5 a6 a11 0 而a4 a11 a5 a10 a6 a9 a7 a8 又d 20 a7 0 a8 0 16 解 由S3 S11得 d 0 则d 2 0 当n 7时 Sn取最大值49 则Sn的图象开口向下 如图所示 又S3 S11 所以图象的对称轴为 例1的变式题一 等差数列 an 中 首项a1 S3 S11 问 这个数列的前几项的和最大 17 例2 已知数列 an 是等差数列 且a1 21 公差d 2 求这个数列的前n项和Sn的最大值 S11最大为121 18 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值 方法2 利用an的符号 当a1 0 d0时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为Sn的最小值 其n的值由an 0且an 1 0求得 19 练习 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 20 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 则Sn An2 Bn 令 小结 Sn是关于n的二次式 常数项为零 d可以为零 21 结论1 若数列 an 的前n项和为Sn pn2 qn p q为常数 是关于n的二次式 则数列 an 是等差数列 若C 0 则数列 an 不是等差数列 若C 0 则 an 为等差数列 结论2 设数列 an 的前n项和为Sn An2 Bn C A B C是常数 小结 22 结论 3 等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数 1 当d 0是 sn是项数n的二次函数 且不含常数项 2 当d 0是 sn na1 不是