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21 2 4一元二次方程的根与系数的关系 第21章一元二次方程 知识小竞赛 设x1 x2是下列一元二次方程的两个根 填写下表 5 6 2 一元二次方程的两个根和 两根的积与方程之间这种关系 是这几个方程特有的呢 还是对于任何一元二次方程都具有的呢 1 根据所填写的表格 你能发现x1 x2 x1 x2与方程的系数有什么关系 公式的推导过程 结论 注意 一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是 即二次项系数 且 一元二次方程 a 0 b2 4ac 0 特例 解 设方程的另一个根为x1 那么 跟踪训练 1 已知x 1是方程x2 bx 2 0的一个根 则方程的另 一个根是 C A 1 B 2 C 2 D 1 2 方程6x2 3x 2 0的两根之和是 两根 之积是 3 已知方程x2 4x m 0的一个根为 2 求方程的另一根及m的值 思路点拨 根据根与系数的关系 可求出两根的和与两根的积 将已知的根代入即可求出另一根及m的值 解 设原方程的两根为x1 x2 则x1 x2 4 x1x2 m x1 2 x2 4 x1 6 m x1x2 12 即方程的另一根是6 m的值为 12 例2 利用根与系数的关系 求一元二次方程两个根的 1 平方和 2 倒数和 解 设方程的两个根是x1x2 那么 返回 例3 设x1 x2是关于x的方程x2 m 1 x m 0 m 0 思路点拨 本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查 因为方程有两个实数根 所以 b2 4ac 0 求出m的取 求解 解 m 1 2 0 对于任意实数m 方程恒有两个实数根x1 x2 又 x1 x2 m 1 x1x2 m 且m 0 3m 3 2m m 3 跟踪训练 4 已知关于x的一元二次方程x2 6x k 1 0的两个实 D A 8B 7C 6D 5 1 如果 1是方程2X2 X m 0的一个根 则另一个根是 m 2 设X1 X2是方程X2 4X 1 0的两个根 则X1 X2 X1X2 X12 X22 X1 X2 2 X1 X2 2 2 4X1X2 3 判断正误 以2和 3为根的方程是X2 X 6 0 4 已知两个数的和是1 积是 2 则这两个数是 X1 X2 2X1X2 3 4 1 14 12 2和 1 基础练习 还有其他解法吗 5 下列方程中 两根的和与两根的积各是多少 6 已知方程的一个根是1 求它的另一个根和m的值 7 设x1 x2是方程利用根与系数的关系 求下列各式的值 一正根 一负根 0X1X2 0 两个正根 0X1X2 0X1
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