《导数与微分》单元复习.doc

第二章 导数与微分学习目标：1.了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念2.理解导数和微分的概念3.掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则2.1导数的概念2.11问题的引入（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）1 .变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为s=s(t)，求该物体在 时刻的瞬时速度.设在 时刻物体的位置为s( ).当经过+ 时刻获得增量 时，物体的位置函数s相应地有增量于是比值 就是物体在到 +这段时间内的平均速度,记作 ，当很小时，可作为物体在 时刻的瞬时速度的近似值. 且越小，就越接近物体在 时刻的瞬时速度，即就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限. 产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从变到时，总成本的平均变化率当时，如果极限存在，则称此极限是产量为时总成本的变化率。212导数的定义1. 函数在一点处导数定义 设函数在内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率如果极限不存在，我们说函数在点处不可导.如果固定，令，则当时，有，故函数在处的导数也可表为 .例题1 求函数在，处的导数.解 当由1变到时，相应的函数增量为 于是 ，则 当由2变到时，相应的函数增量为 于是 ，则定义：如果函数在区间（a,b）内每一点都可导，称在（a,b）内可导2. 函数在一点处导数导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有, 或 求导举例：求函数的导数 的步骤：（1）求增 ,（2）算比值： ,（3）取极限： .1、常数函数的导数 函数（是常数）的导数.解 (1)求增量：因为，即不论 取什么值，的值总等于 ，所以；(2)算比值：；(3)取极限：. 即常数函数的导数等于零.2、幂函数的导数：函数(n为正整数)在处的导数解 把以上结果中的换成得。 更一般地，对于幂函数(为常数)，有这就是幂函数的导数公式。这公式的证明将在以后讨论。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数例如3、正弦函数与余弦函数的导数 ：函数的导数.解 （1）求增量：，由和差化积公式有： （2）算比值：.（3）取极限：用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为： .4、对数函数的导数.解（1）求增量：,（2）算比值：,（3）取极限： ,即 .特别地，当时，得自然对数的导数 .例如：的导数 解： 5、指数函数的导数 解 即 特别 上式表明，以e为底的指数函数的导数就是他自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性。例如：214导数的几何意义设曲线的方程为 , 是曲线上的一点，求曲线在点处的切线方程（1） 在曲线上另取一点，如图3所示，连接,两点，得割线割线对轴的倾角为，其斜率为 ； 图3（2）当时，点沿曲线趋向点，割线的极限位置为曲线在点处的切线此时 =，其中是切线关于轴的倾角从而曲线在点处的切线斜率为=由此可知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即 其中是切线的倾角因此曲线在点处的切线方程为； 例题 求在点(1,1)处的切线方程解 因为，由导数的几何意义又知，曲线,在点(1,1)处的切线斜率为.所以，所求的切线方程为 即 .215函数可导与连续的关系 1.可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得 由此可见，当时， 即函数在点连续 2. 连续未必可导例如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导 因为,所以在点的右导数:.而左导数是:.左右导数不相等，故函数在该点不可导.所以，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件.同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导 图1 图2另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。2.2导数基本公式与运算法则221导数的四则运算法则设都在处可导，则有； ；. (此处负号容易出错 )我们现在只证明.证 设则= = =+=注意：1、对于积商的求到法则,容易出现 ,的错误,建议初学时不要省略套公式的过程,这样既可以熟记公式,又可以减少不必要的错误.2、积的求导法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形，例如例1 ，求.解，例2 求的导数.解 . 例3 求 例4 已知求解：例5 设求.解：先化简，得例6 ，求 解 即 例7 ，求 解 即 在交替运用四则运算法则和初等函数求导公式时,更要特别注意函数乘积和商的求导法则的正确运用.222复合函数求导法则法则：设是由复合而成.若在处可导， 而在处可导.则在处可导且证 在处可导，则有， ，其中. 可以推得 用除以式有，所以=.这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形.复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：求导法则也称锁链法则，有点“顺藤摸瓜”的味道欲求对的导数，先求对的导数，再求对 的导数，最后将它们相乘。弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式：，求 引入中间变量，设，于是变量关系是 ，由锁链规则有：用锁链规则求导的关键:引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变“例7 求下列函数的导数（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）解：（1）由定理得（2）设由定理得（3）设由定理得（4）设由定理得（5）设由定理得（6）设由定理得（7）设由定理得 注：1、在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果.2、复合函数的求导法则是函数求导的核心.因为利用复合函数的求导不仅可以解决复合函数的求导问题,它又是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法的基础.3、复合函数求导的关键在于弄清复合关系,从外层到内层逐层求导,不能遗漏.当既有四则运算,又有复合函数运算时,要根据函数表达式决定是先用四则运算法则还是先用复合函数求导.例题:求下列函数的导数(1) (2) (3) 解:分析：(由外向内逐层求导) (1) 设：由定理得(2) (3) 例9：求下列函数的导数（1） （2）解：（1）（2）例10求函数的导数解：由对数性质，有，则223隐函数求导1 隐函数的定义：形如的函数为显函数.而由方程或 所确定的函数为隐函数2 隐函数求导法：将方程两端对求导（看成的函数），然后解出对由确定的方程y=f(x)的求导法可用两种以下方法求得:(1) 方程两边对x 求导,注意y是x的函数,要用复合函数求导法;(2) 利用微分不变性,对两边求微分,然后解出.例题1分析：,求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两边对x求导,得 即 解出得： 例2 求由方程所确定的隐函数的导数解：因为是的函数，所以是的复合函数，将所给方程两边同时对求导，得解出得例3 求曲线在点处的切线方程解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率就是函数的导数 把方程的两边分别对求导，有从而 当时，代入上式得 于是所求的切线方程为，即224对数求导法（多用于求幂指函数与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导）例1 解：,所以 例2 求的导数解 ： 这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数，先在两边取对数，得 上式两边对求导，注意到是的函数，得于是 幂指函数的一般形式为其中是的函数，如果都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数如下：现在两边取对数，得 上式两边对求导，注意到都是的函数，得于是 幂指函数也可表示为 这样，便可直接求得常数和基本初等函数的导数公式 例题 求下列函数的导数（1） （2）解：（1）（2）23高阶导数我们知道，变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即 或 而加速度又是速度对时间的变化率；即速度对时间的导数： 或 这种导数的导数或叫做对的二阶导数，记作 或 所以，直线运动的加速度就是位置函数对时间的二阶导数一般地，函数的导数仍然是的函数。我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即 或 相应地，把的导数叫做函数的一阶导数。 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作 或 函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导。如果函数在点处具有阶导数，那末在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数例1 求下列函数的二阶导数（1） （2）解：（1） （2）例2 设求 例3 求下列函数的阶导数（1） （2）解：（1） （2） 补充例题：例1求指数函数的阶导数 解 一般地，可得即 例2 求正弦与余弦函数的阶导数 解 一般地，可得即 用类似地方法，可得例3 求对数函数的阶导数 解 ,一般地，可得即 通常规定，所以这个公式当时也成立。例4 求幂函数的阶导数公式 解 设(是任意常数)，那末一般地，可得即 当时，得到而 如果函数及都在点处具有阶导数，那末显然及也在点处具有阶导数，且但乘积的阶导数并不如此简单。由首先得出用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式。这公式可以这样记忆：把按二项式定理展开写成即 然后把次幂换成阶导数(零阶导数理解为函数本身)，再把左端的换成，这样就得到莱布尼茨公式 例 ，求 解 设，则 代入莱布尼茨公式，得在求n阶导数的过程中.关键是找规律，最后归纳到一般.24函数的微分241微分的定义1.实例：一个正方形的边长由变到，面积改变了多少？用表示正方形的边长，A表示面积A=，当=，=.所以 =，可见，当很小的时候，.2.定义： 若在处的增量可表示为，其中A为不依赖于的数，则称在处可微，称为的微分.记为，即.3.可微与可导的关系： 可微可导证 必要性：若在处可微； 则 .充分性：若在处可导在处可微由此可见，若在处微分. 注：是的高阶无穷小 例1 求在，的改变量与微分. 解：记，=， ，又 所以. 为了方便起见，通常规定，故也有微分的几何意义 所以几何上表示曲线在点处切线的增量242微分计算1.运算法则； ； .例 求下列函数的微分（1） （2）解：（1）所以（2） 243 一阶微分形式不变性设，不论是自变量还是中间变量都有.证 若是自变量，则； 若是中间变量，则.例1 ，求.解法一： 则解法二： .例2 已知，求.解：= 所以244微分用