《概率论与数理统计》实验训练方案.doc

概 率 论 与 数 理 统 计实验训练方案一、实验指导随着计算机的广泛应用以及数学软件的日臻完善，为了提高学生使用计算机解决数学问题的意识和能力，我们把数学软件的使用融进教材，尝试将概率论与数理统计的教学与计算机功能的利用有机结合起来，并配合教材编写了概率统计实验讲义。这些实验与专门的数学实验教材中的实验内容有较大区别：一是这些实验题紧密结合教材内容，是学生学习概率统计的组成部分和延伸补充；二是内容简单且比较有趣，能激发学生的学习兴趣，又容易理解和上手，不需占用很多课内时间例如把随机事件的概率、区间估计、假设检验、因素分析等内容放入实验中，这样做既介绍了有关理论，又通过编写简单程序在计算机上进行绘图和数值计算，在演示和实验过程中完成这些内容的教学我们对所有实验都写出了详细的步骤和有关命令，打印出相应的结果。这些实验既可以依靠进口的数学软件Matlab和Mathematica，也可以使用我们自己编写出版的DASC软件。作为数学教学改革的内容，数学实验课的目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不仅把数学看成先验的逻辑体系，而且把它也视为一门“试验科学”，从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律，从而达到解决实际问题的目的。数学实验课的教学与过去的课堂教学不同，它把教师的“教授记忆测试”的传统教学过程，变成“直觉探试思考猜想归纳证明”，将信息的单向交流变成多向交流。根据我们初步试点的结果看，这样做有利于提高学生学习的主动性，改进教学效果，并能带动教学方法和教学手段的改革。二、目标要求教学目标：通过实验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本方法，以及获得建立某些实际问题的模拟能力， 并深刻理解概率论与数理统计的思想方法。教学要求：本实验是数学与应用数学专业教学计划中概率论与数理统计相配套的数学实验，所以，实验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论指导下开展数学实验。在实验供应结合生产科研的实际问题， 进行解决实际问题能力的实践性环节的培养。 引入符合我校教学实际条件和本科学生特点的具有情景化、交互式特性的案例教学法，并初步建立了案例教学库。 明确提出以应用性和实践性为基本特点，以实验、实习、实训相结合，通用职业能力与专业能力相结合，校内、校外相结合的实践教学体系构架。 设计开发了管理学课程案例教学网页，用现代教育技术激发学生学习兴趣与动机，增加模拟技能训练强度，实现因材施教，降低教学成本，最终提高现代企业管理课程实践教学的教学效果。学生应利用实践课的生动、具体、形象，在愉快的教学气氛中掌握教学要求内容，通过模拟训练，实际操作，学会如何将理论应用到实践中去，为以后运用数学解决实际问题树立自信。 三、实验课题 我们结合我系实际情况，制定以下实验：实验一 Excel的基本使用方法和技巧实验二 随机事件的模拟-模拟掷均匀硬币的随机试验实验三 随机模拟计算的值-蒲丰投针问题实验四 综合实验-敏感性问题调查实验五 正态分布综合实验实验六 产生服从任意分布的随机数实验七 产生服从二维正态分布的随机数实验八 随机变量综合试验实验九 定积分的近似计算实验十 参数的点估计实验十一 区间估计实验十二 非参数假设检验(-检验)实验十三 方差分析实验十四 一元回归分析实验十五 多元回归分析实验十六 零件参数的设定实验一 Excel的基本使用方法和技巧1、实验目的要求 （1）学习和掌握Excel的调用程序.（2）学习和掌握Excel的基本命令.（3）学习和掌握Excel的有关技巧.（4）掌握基本统计命令的使用方法2、实验内容在各种电子表格处理软件中,Excel以其功能强大、操作方便著称，赢得了广大用户的青睐.本实验学习一些经常使用的技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效率. （一）基本命令(1) 快速定义工作簿格式(2) 快速复制公式(3) 快速显示单元格中的公式(4) 快速删除空行(5) 自动切换输入法(6) 自动调整小数点(7) 用“记忆式输入”(8) 用“自动更正”方式实现快速输入(9) 用下拉列表快速输入数据（二）基本统计函数 （1）描述性统计 （2）直方图3、实验过程：（一）基本命令(1) 快速定义工作簿格式首先选定需要定义格式的工作簿范围，单击“格式”菜单的“样式”命令，打开“样式”对话框；然后从“样式名”列表框中选择合适的“样式”种类，从“样式包括”列表框中选择是否使用该种样式的数字、字体、对齐、边框、图案、保护等格式内容；单击“确定”按钮，关闭“样式”对话框，Excel工作簿的格式就会按照用户指定的样式发生变化，从而满足了用户快速、大批定义格式的要求.(2) 快速复制公式复制是将公式应用于其它单元格的操作，最常用的有以下几种方法： 一是拖动制复制。操作方法是：选中存放公式的单元格，移动空心十字光标至单元格右下角。待光标变成小实心十字时，按住鼠标左键沿列（对行计算时）或行（对列计算时）拖动，至数据结尾完成公式的复制和计算。公式复制的快慢可由小实心十字光标距虚框的远近来调节：小实心十字光标距虚框越远，复制越快；反之，复制越慢。也可以输入复制。此法是在公式输入结束后立即完成公式的复制。操作方法：选中需要使用该公式的所有单元格，用上面介绍的方法输入公式，完成后按住Ctrl键并按回车键，该公式就被复制到已选中的所有单元格。还可以选择性粘贴。操作方法是：选中存放公式的单元格，单击Excel工具栏中的“复制”按钮。然后选中需要使用该公式的单元格，在选中区域内单击鼠标右键，选择快捷选单中的“选择性粘贴”命令。打开“选择性粘贴”对话框后选中“粘贴”命令，单击“确定”，公式就被复制到已选中的单元格。(3) 快速显示单元格中的公式如果工作表中的数据多数是由公式生成的，如果想要快速知道每个单元格中的公式形式，可以这样做：用鼠标左键单击“工具”菜单，选取“选项”命令，出现“选项”对话框，单击“视图”选项卡，接着设置“窗口选项”栏下的“公式”项有效，单击“确定”按钮。这时每个单元格中的公式就显示出来了。如果想恢复公式计算结果的显示，再设置“窗口选项”栏下的“公式”项失效即可。(4) 快速删除空行有时为了删除Excel工作簿中的空行，你可能会将空行一一找出然后删除，这样做非常不方便。你可以利用“自动筛选”功能来简单实现。先在表中插入新的一行（全空），然后选择表中所有的行，选择“数据”菜单中的“筛选”，再选择“自动筛选”命令。在每一列的项部，从下拉列表中选择“空白”。在所有数据都被选中的情况下，选择“编辑”菜单中的“删除行”，然后按“确定”即可。所有的空行将被删去。插入一个空行是为了避免删除第一行数据。(5) 自动切换输入法当你使用Excel编辑文件时，在一张工作表中通常是既有汉字，又有字母和数字，于是对于不同的单元格，需要不断地切换中英文输入方式，这不仅降低了编辑效率，而且让人不胜其烦。在此，笔者介绍一种方法，让你在Excel 2000中对不同类型的单元格，实现输入法的自动切换。新建或打开需要输入汉字的单元格区域，单击“数据”菜单中的“有效性”，再选择“输入法模式”选项卡，在“模式”下拉列表框中选择“打开”，单击“确定”按钮。选择需要输入字母或数字的单元格区域，单击“数据”菜单中的“有效性”，再选择“输入法模式”选项卡，在“模式”下拉列表框中选择“关闭（英文模式）”，单击“确定”按钮。之后，当插入点处于不同的单元格时，Excel能够根据我们进行的设置，自动在中英文输入法间进行切换。就是说，当插入点处于刚才我们设置为输入汉字的单元格时，系统自动切换到中文输入状态，当插入点处于刚才我们设置为输入数字或字母单元格时，系统又能自动关闭中文输入法。(6) 自动调整小数点如果你有一大批小于1的数字要录入到Excel工作表中，如果录入前先进行下面的设置，将会使你的输入速度成倍提高。单击“工具”菜单中的“选项”，然后单击“编辑”选项卡，选中“自动设置小数点”复选框，在“位数”微调编辑框中键入需要显示在小数点右面的位数。在此，我们键入“2”单击“确定”按钮。完成之后，如果在工作表的某单元格中键入“4”，则在你按了回车键之后，该单元格的数字自动变为“0.04”。方便多了吧！此时如果你在单元格中键入的是“8888”，则在你结束输入之后，该单元格的数字自动变为“88.88”。(7) 用“记忆式输入”有时我们需要在一个工作表中的某一列输入相同数值，这时如果采用“记忆式输入”会帮你很大的忙。如在职称统计表中要多次输入“助理工程师”，当第一次输入后，第二次又要输入这些文字时，只需要编辑框中输入“助”字，Excel2000会用“助”字与这一列所有的内容相匹配，若“助”字与该列已有的录入项相符，则Excel2000会将剩下的“助理工程师”四字自动填入。按下列方法设置“记忆式输入”：选择“工具”中的“选项”命令，然后选择“选项”对话框中的“编辑”选项卡，选中其中的“记忆式键入”即可。(8) 用“自动更正”方式实现快速输入使用该功能不仅可以更正输入中偶然的笔误，也可能把一段经常使用的文字定义为一条短语，当输入该条短语时，“自动更正”便会将它更换成所定义的文字。你也可以定义自己的“自动更正”项目：首先，选择“工具”中的“自动更正”命令；然后，在弹出的“自动更正”对话框中的“替换”框中键入短语“爱好者”，在“替换为”框中键入要替换的内容“电脑爱好者的读者”；最后，单击“确定”退出。以后只要输入“爱好者”，则整个名称就会输到表格中。(9) 用下拉列表快速输入数据如果你希望减少手工录入的工作量，可以用下拉表来实现。创建下拉列表方法为：首先，选中需要显示下拉列表的单元格或单元格区域；接着，选择菜单“数据”菜单中的“有效性”命令，从有效数据对话框中选择“序列”，单击“来源”栏右侧的小图标，将打开一个新的“有效数据”小对话框；接着，在该对话框中输入下拉列表中所需要的数据，项目和项目之间用逗号隔开，比如输入“工程师，助工工程师，技术员”，然后回车。注意在对话框中选择“提供下拉箭头”复选框；最后单击“确定”即可。（二）基本统计函数EXCEL是一个设计精良、功能齐全的办公软件。它除了具有我们常用的办公功能，如通过电子表格的形式对数字数据进行组织和计算；将数字数据转化为可视化的图表和数据库管理功能外. 它还是一个十分强大而且非常易用于使用数据统计和预测工具. EXCEL的统计功能分为基本统计和预测两部分. 下面重点介绍EXCEL的基本统计功能. EXCEL提供的基本统计主要包括描述性统计、频数统计、等级和百分数等方法. 这些统计方法主要利用EXCEL统计函数或数据分析中的描述统计过程来实现.(1) 描述统计特征值 描述性统计可通过EXCEL提供的统计函数或加载宏来完成，下面我们分别介绍EXCEL的描述性统计功能。A. 用EXCEL统计函数进行特征值计算 EXCEL描述性统计函数主要包括一般统计函数，集中趋势函数和变异统计函数：如图11所示，单元格区域B4:B56是某校某班某门课的成绩. C4:C15是一些描述性统计量的说明。D4:D15是一般统计结果。其做法有如下两种。a在单元格D3中输入公式“=COUNT （B4:B56）”并回车，得到B4:B53区域中非空数值型数据的个数统计；在单元格D4中输入公式“=SUM（B3:B53）”并回车，得到53名工人日加工零件数的总和；同样，在D5:D15单元格中中分别输入MAX、MIN、AVERAGE、MEDIAN、GEOMEAN、HARMEAN、AVEDEV、STDEV、VAR、KURT和SKEW 函数，分别得到50个数据中的最大值、最小值、平均值、中位数、几何平均数和调和平均数及变异统计的平均差、标准差、方差峰度和偏度。图11 统计函数b首先在EXCEL的系统工具栏中选择“插入”中的函数，其次在函数对话框中选择所计算的函数，然后根据函数向导提示一步步的完成。其具体操作如图12（AC）。（2）宏程序进行特征值计算除了利用上述统计函数完成统计数据分析外，EXCEL还在数据分析宏程序中提供了一个描述性统计过程. 对于上例，我们也可以利用这个“描述性统计”宏过程来计算，其方法更为简单.我们选取主菜单上【工具|数据分析】菜单项，弹出【数据分析】对话框，选取“描述性统计”选项，“描述性统计”过程的菜单如图12A，12B，12C 所示. 我们在“输入区域”中输入数据所在单元格区域“B3:B56”，选择输出“汇总统计”和“平均数值信度”，在“K个最大值”和“K个最小值”选择中，选择系统默认值“1”，表示选择输出第1个最大值和第1个最小值。输入“输出区域”为E1单元格，然后按“确定”，即得到图所示特征值计算结果，该结果与图中利用统计函数计算的结果是一致的。图12A 数据分析宏程序图12B 描述性统计过程对话框图1-2C描述性统计结果（1）直方图“直方图”分析工具可计算数据的分组次数、累积频数分布、绘出分布图表.yc对于上述例子，人们想把学生成绩分成五组，第一组为59以下，第二组为6069，第三组为7079，第四组为8089，第五组为90100.用“数据分析”宏中提供的“直方图”宏过程进行统计分组的步骤如下：首先，选取主菜单上【工具|数据分析】菜单项，弹出【数据分析】对话框，选取“直方图” （如图13所示）.图13 弹出【直方图】，单击确定（如图14）图14 在“直方图”中的“输入区域”输入B3:B56，“接收区域”输入“D3:D8”，选定“输出区域”为同一工作表中的由D1为起点的区域，然后选择“图表输出”并点击“确定”即完成统计分组和直方图的制作过程。输出结果如图313A，313B所示。 图15实验二 随机事件的模拟-模拟掷均匀硬币的随机试验1、实验目的要求（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）了解均匀分布随机数的产生 （3）理解掌握随机模拟的方法.（4）体会频率的稳定性.2、实验内容抛硬币试验：抛掷次数为. 对于n=20,50,100,1000,10000各作5次试验.观察有没有什么规律，有的话，是什么规律.3、实验原理与数学模型假设硬币是均匀的，由概率的定义知，出现正面的概率与出现反面概率都是0.5.所以我们可以利用计算机中的Excel软件来产生0,1上随机数，若随机数小于等于0.5就赋值为“正面”，否则，就赋值为“反面”. 这样，我们利用计算机就模拟了抛均匀硬币的试验.我们还可以利用Excel软件整理试验结果,从而发现试验结果与试验次数的关系，两次相同的试验结果未必相同，多次试验结果的频率具有稳定性等规律4、实验过程 （1）产生随机数l 打开Execl,选取主菜单栏上【工具|数据分析】，弹出【数据分析】对话框，选取“随机数发生器”选项，然后单击确定，弹出【随机数发生器】对话框，如图21.图21l 通过这个对话框，我们可以在指定的单元格区域生成按一定统计分布的随机变量，这里主要包括均匀分布、正态分布、贝努里分布、二项分布、泊松分布、模式分布和离散分布，点击均匀分布.l 在图31对话框中“变量个数”文本框指定输出表中数值列数,输入1. “随机数个数”文本框中用来输入要查看的数据个数，输入100. 分布“下拉列表用来选择创建随机数的方法”. “随机数基数”文本框输入用来构造随机数的可选项，可在以后重新使用该数值来生成相同的随机数.l 点击确定，就得到100个均匀分布的随机数，如图22.图22（2）统计频数和频率l 用“直方图”进行统计. 方法步骤看实验一，结果如图23.图23输出结果表示：抛100次硬币，有54次出现“正面”，46次出现“反面”.实验三 随机模拟计算的值-蒲丰投针问题1、实验目的要求本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题,并由此发展起来的随机模拟法,从中体学会到新思想产生的过程.（1）学习和掌握Excel的有关命令（2）掌握蒲丰投针问题（3）理解随机模拟法（4）理解概率的统计定义2、实验内容蒲丰投针问题： 下面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意投一枚长为的针，求针与任一平行线相交的概率. 进而求的近似值.对于=50,100,1000,10000,50000各作5次试验,分别求出的近似值，写出书面报告、总结出随机模拟的思路.设计一个随机实验,使一个事件的概率与某个未知数有关,通过重复试验,以频率估计概率,求得未知数的近似解。试验次数越多，近似解就越精确。3、实验原理与数学模型设表示针的中点与最近一条平行线的距离,又以表示针与此直线的交角,不难得出样本空间满足针与平行线相交（记为事件A），其充要条件是因此， 若做了次试验，有次相交，则即， 4、实验过程 设，我们可以认为服从0，1/2上的均匀分布，服从0，上的均匀分布.(1) 分别产生两列随机数（）如图31.(2) 计算，在公式行中输入C4“=($C$2*SIN(B4)/2”，确定，然后，复制即可， 如图32.(3) 比较大小，若，则赋值“TRUE”，否则赋值“FALSE”,如图33.(4) 统计频数，用函数命令“COUNTIF”,在参数选项内选 “TRUE”,如图34.(5) 在公式行输入，即输入=(2*$C$2*$A$2)/($B$2*$E$4) 就可得到结果，如图35.图31图32图33图34图35从结果来看精度较差，同学可以增大容量和改变取值来提高精度。实验四 综合实验-敏感性问题调查1、实验目的要求（1）学习和掌握利用概率统计解决实际问题的技能.（2）学习和掌握对敏感性问题调查的基本方法和措施.（3）学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧.2、实验内容 确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某社区居民参加赌博的比率、或某社区居民吸毒的比率、或某城市经营者偷税漏税户的比率、或某学校学生考试作弊的比率。调查方案的设计及操作程序：调查问题的设计、调查操作程序，调查样本容量的确定,调查结果分析。3、实验原理与数学模型对于敏感性问题，若采用直接调查的方法，调查者将难以控制样本信息，得不到可靠的样本数据。为了得到敏感性问题的可靠的样本数据，有必要采用一种科学的可行的技术随机化回答技术(Randomized Response Technique简记为RRT)。随机化回答，是指在调查中使用特定的随机化装置，使得被调查者以预定的概率来回答敏感性问题.。这一技术的宗旨就是最大限度地为被调查者保守秘密，从而取得被调查者的信任. 比如在调查学生考试作弊的问题中，设计外形完全一样的卡片个，其中个卡片上写上“你考试是否作过弊?”个卡片上写上另外的问题.。然后放在一盒子里, 调查时，由被调查者从盒子里任抽一卡片，根据卡片上的问题做出回答，回答完毕再把卡片放回盒子. 至于卡片上具体是什么问题，调查者无权过问。这样就起到了为被调查者保密的作用，因而相对于直接问答调查，易于得到被调查者的合作。模型的设计及参数的估计：模型的基本设计为：制作一个能产生两种实验结果的随机化装置，如两套外形一样的卡片，一套卡上写有敏感性问题“你属于A吗?”(比如“你在考试中作弊了吗?”)不妨称为1号卡片。另一套片上写有无关问题“你属于吗?”,其中Y是与A无关的非敏感性问题，如你是四月份出生的吗?”, 称此卡片为2号卡片. 将1号卡片与2号卡片按预定比例混合后，放入一盒子中，调查时，被调查者只需从盒子中任意抽取一张卡片，根据卡片上的问题做出真实的回答，当然调查员无权知道卡片上写的究竟是哪一个问题。已知的情况：设抽样方式是简单随机有放回的，样本容量为是具有敏感性特征A的人所占比例.是具有无关特性Y的人所占比例.是1号卡片出现的概率。则由全概率公式有：设表示回答“是”的人数，则由此得估计为：4、实验过程 略实验五 正态分布综合实验1. 实验目的要求 学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会NORMDIST命令和Excel绘图工具的使用。2. 实验主要内容(1) 利用随机数发生器分别产生n=100;1000;10000个服从正态分布N(6,1)的随机数,每种情形下各取组距为2,1,0.5作直方图及累积百分比曲线图。(2) 固定数学期望=0.05,分别取标准差为=0.01、0.02、0.03,绘制密度函数和分布函数的图形。(3) 固定标准差为=0.02, 分别取数学期望为=0.03、 0.05、0.07, 绘制密度函数和分布函数的图形。3. 实验原理与数学模型(1) 根据中心极限定理，随着试验次数的增加和组距的缩小，所产生的服从正态分布N(6,1)的随机数的频率直方图轮廓线及累积百分比曲线越来越接近于N(6,1)的密度函数曲线及分布函数曲线。(2) 对固定数学期望，标准差越大，概率密度曲线越平缓；标准差越小，概率密度曲线越陡峭。(3) 对固定标准差，当数学期望变化时，对应的概率密度曲线和分布函数曲线的形状不变，但曲线的位置发生了变化。4、实验过程 （以下Excel选项的详细操作请看帮助文件或有关Excel指导书）图51（1）以n=1000为例：在Excel工作表中的A1单元格输入N(6,1)，然后单击【工具】/【数据分析】，打开【随机数发生器】对话框，如图51填写，再单击确定，就可以在单元格A2:A1001内生成1000个N(6,1)随机数； 图 52在单元格B1内输入“接收区域”，B2内输入1，单击【编辑】/【填充】/【序列】，如图52填写，确定后就可以在B2:B12单元格内生成分组临界点1，2，11；（也可以直接在B2:B12单元格内输入1，2，11）。图 53再单击【工具】/【数据分析】，打开【直方图】对话框，如图53填写，确定后即得随机数直方图和累积百分比曲线图，对图形选项作适当调整美化可得图54。 图 54对n=100或10000以及组距为2或0.5的情形，可在随机数个数、输入区域、输出区域及步长等处作适当调整即可，类似可作出直方图和累积百分比曲线图。（2）在新的工作表中A列单元格中输入自变量x的取值Ai：-0.05;-0.04;-0.15，在B4单元格中输入命令“=NORMDIST(A4,0.05,0.01,0)”；在C4单元格中输入命令“=NORMDIST(A4,0.05,0.02,0)”；在D4单元格中输入命令“=NORMDIST(A4,0.05,0.03,0)”。再利用Excel的拖放填充命令计算B 、C 、D列上其它对应于 = 0.01、0.02、0.03的密度函数的值。注意命令NORMDIST( x, mean, standard_dev, cumulative ) 中，当cumulative0时，该命令给出正态密度函数的值；当cumulative1时，该命令给出分布函数的值。计算结果见图55和图 56.图 55图 56图 57图 58 （3）类似于（2），对固定的标准差=0.02, 分别取数学期望为=0.03、0.05、 0.07, 可分别计算正态分布的密度函数和分布函数在不同的x处的值，并绘制密度函数和分布函数的图形，只需要注意x的范围随着的增大要相应地右移调整即可，计算结果见图 57和图 58。 实验六 产生服从任意分布的随机数1、实验目的要求学会产生分布函数为预先指定的分布函数F(x)的随机数；利用所产生的随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。2、实验主要内容（1）分别产生1000、10000个分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数分布Exp(3)和Gamma(2,2)的随机数，然后对Exp(3)作组距为0.1的直方图，对Gamma(2,2)作组距为1的直方图，观察它们轮廓线的形状。（2）用命令EXPONDIST计算Exp(3)在x = 0、0.1、0.2、3处的值；用GAMMADIST命令计算Gamma(2,2)在x = 0、1、2、15处的值；并画出指数分布Exp(3)和Gamma(2,2)；的密度函数的图形，与（1）中的直方图的轮廓线进行比较。3、实验原理与数学模型 实验原理见教材p121。定理2.6.5 若X的分布函数为严格单调增加的连续函数，的反函数存在，则服从(0,1)上的均匀分布。由此得到产生分布函数为预先指定的分布函数F(x)的随机数一般方法：第一步： 产生(0,1)上的均匀分布随机数；第二步： 令.则X的分布函数为F(x).4、实验过程注意命令EXPONDIST( x, lambda, cumulate ) 和GAMMADIST( x, alpha, beta, cumulate ) 中，当cumulative0时，该命令给出相应分布的密度函数值；当cumulative1时，该命令给出相应分布的分布函数值；当alpha1时，GAMMADIST即为参数为1 (即lambda1alpha)的指数分布；当n2, =2时，GAMMADIST即为自由度为n的卡方分布。对指数分布Exp(3)，其反函数计算公式为x = LN( 1y )/3；对伽玛分布Gamma(2,2)，其反函数用命令x = GAMMAINV( y, 2, 2 )。具体操作可参见图61、图62及图63： 图 61图 62图 63实验七 产生服从二维正态分布的随机数 1、实验目的要求 二维正态分布是最常用的多维连续型分布。设二维随机向量（X,Y）服从二维正态分布，由二维正态分布的性质知，相关系数0或0对应于X与Y独立或相关两种情形。(1) 学会用计算机产生分量相互独立的二维正态分布随机数；(2) 学会用计算机产生分量不独立的二维正态分布随机数。2、实验主要内容(1) 产生服从二维正态分布的随机向量（X,Y）；(2) 产生服从二维正态分布的随机向量（X,Y）。3、实验原理与数学模型 (1) 产生分量相互独立的二维正态分布随机数 若随机变量X与Y相互独立（即0）且，则 ，于是只要在Excel工作表中A列上产生随机数X，在B列上产生随机数Y，则由X和Y组成的二维随机向量（X,Y）服从二维正态分布。 (2) 产生分量相关的二维正态分布随机数 此时情形要复杂得多。先讨论一般情形，设n维正态分布随机向量的联合密度函数为，其中；是X的均值向量，是X的协方差阵，这里为正定阵，。由于为正定阵，故存在下三角阵C，使得；若设，的各个分量相互独立均服从分布，那么可以证明 服从以为均值向量，以为协方差阵的n维正态分布。 由上述讨论可得产生分量相关的n维正态分布随机数的方法如下：l 产生独立同分布的随机变量；l 对正定阵作Cholesky分解（即下三角上三角分解）：；其中 ；l 令，这样就可以得到服从的n维正态分布随机向量。4、实验过程(1) 只要由随机数发生器分别产生且随机数X和随机数Y，则由X和Y组成的二维随机向量（X,Y）就服从二维正态分布。(2) 由于二维正态分布的协方差阵可作如下分解：，故得到变换公式 ， 即 。操作过程如图71：图71由于Excel 作三维图形的功能有限，可用其它统计软件，如MATLAB、SPLUS等作出上述二维正态随机数的直方图以及二维联合密度的图形。图72、图73、图74分别是的密度函数及的密度函数和直方图的图形：图72图73图74实验八 随机变量综合试验1、实验目的要求(1) 学会用Excel产生服从上述四大统计分布的随机数并能画出对应随机数的直方图；(2) 会用Excel 计算上述四大统计分布的分布函数值和分位点。2、实验主要内容(1) 产生2 (6)、2 (10)、F(6, 10)和t (6)四种随机数，并画出相应随机数的频数直方图；(2) 在同一张图中画出了N (0,1)和t (6)随机数频数直方图，比较它们的异同；(3) 写出计算上述四种分布的分布函数值和相应上侧分位点命令。3、实验原理与数学模型由定义知，若独立同分布随机变量，则；又若，且X与Y相互独立，则；再者，若，且X与Y相互独立，则。（参见教材p270-p272定义），据上述原理，4、实验过程标准正态分布的分布函数值和反函数的值可分别使用命令NORMSDIST(x) 和NORMSINV(probability)来计算。一般正态分布可使用命令NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative )，当cumulative0或1时，该命令分别给出相应分布的密度函数值或分布函数值；而命令NORMINV(probability, mean, standard_dev )计算正态累积分布函数的反函数的值。由上面的分析可得出在Excel工作表中产生四大分布的随机数的方法如下如图81：l 在A列上利用随机数发生器产生U (0,1) 随机数Ai；l 在B列上使用命令CHINV(1-Ai,6)得到2 (6) 随机数Bi；l 在C列上利用随机数发生器产生N (0,1) 随机数Ci (它们与诸Bi相互独立)；l 在D列上利用公式Ci /SQRT(Bi /6)得到t (6)随机数Di；l 在E列上利用随机数发生器产生U (0,1)随机数Ei (它们与诸Ai相互独立)；l 在F列上使用命令CHINV(1-Ei,10)得到2 (10) 随机数Fi (它们与诸Bi相互独立)；l 在G列上利用公式SQRT(Bi /6)/SQRT(Fi /10)得到F(6, 10)随机数Gi。我们给出了2 (6)、2 (10)、F(6, 10) 和t (6) 四种随机数的频数直方图，参见图82和图83。直方图的作法同实验五和实验六，还在同一张图中画出了N (0,1) 和t (6) 随机数频数直方图，以便比较它们的异同，见图84。思考题：能否使用命令FINV得到F分布随机数？能否使用命令TINV得到t分布随机数？又问能否使用命令GAMMAINV得到2分布随机数？四大分布的上侧分位点分别用下面四条命令来计算：； ； 。图81 图82 图83图84实验九 定积分的近似计算1、实验目的要求(1)掌握Excel的有关命令. (2)进一歩理解大数定律.(3)掌握随机模拟的方法.2、实验主要内容(1)用随机投点法和平均值法计算定积分: (2)比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000.对每一个n重复做5次) 3、实验原理与数学模型 （1） 随机投点法 设 其中在0，1上连续，且有.设服从0,1;0,1上的均匀分布，则可知服从0,1上的均匀分布，且独立.因为所以，定积分的值就是事件的概率.这样，根据大数定律，我们可以用频率来近似概率. 具体做法如下：先产生2上均匀的随机数：.然后 的次数，最后的估计值，即 注：为了计算一般的定积分，我们可以这样来解决.设其中有界，不妨设. 令 则有 我们只要求即可.（2） 平均值法设 其中在0，1上连续. 设服从0,1上的均匀分布，则的数学期望为所以估计的值就是估计的数学期望的值.由辛钦大数定律，可以用的观察值的平均值去估计的数学期望.具体做法如下：先产生上均匀的随机数：.然后对每个计算，最后的估计值，即4、实验过程 问题1（随机投点法）：估计定积分 令 当. （1）从主菜单中选择【工具|数据分析】，在【数据分析】对话框中滚动列表框，选择“随机数发生器”选项，如图91图91 （2）重两次可得100对随机数，作变换，然后进行比较，如图92，最后进行数数，得.图92估计定积分下面我们估计，从上面不难得到，所以 3.039.问题2（平均值法）：估计定积分令 .由上表可以算得：0.401估计定积分因为所以我们首先产生（1，1）的均匀随机数.其它类似. 如图93.所以，.从上述结果可以看出，误差较大，必须加大容量.实验十 参数的点估计一、实验目的要求：实验目的：通过本实验，使学生以Matlab为工具掌握参数点估计的计算方法的计算机实现；对常见分布，掌握生成点估计量值的模拟方法，通过观察不同样本量下估计量的值在真实参数周围的分布情况，获得估计量的值在真实参数周围分布情况及其随样本量增加所发生变化的数值经验。实验要求：1）学生在实验前应该掌握参数估计的相关理论，阅读实验本次实验的指导，了解Matlab中的相关计算工具；2）独立准备好一个点估计问题和相关样本数据，独立完成从设计到求出结果的全部实验过程。3）独立撰写实验报告，实验报告要附上相关Matlab程序。二、实验内容：1、选择一个分布（建议选择正态分布或Weibull分布等）。2、编制求参数点估计的矩法和最大似然法的Matlab程序。3、用随机数生成方法在不同样本量下产生多个样本。4、用所生成的样本计算参数的估计量的值。5、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况，总结出相关数值经验。6、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况如何随样本量不同而变化，总结出相关数值经验。三、实验原理与数学模型：数理统计的基本问题是根据子样所提出的信息，对母体的分布以及分布的数字特征等作出统计推断的问题，这个问题中的一类是母体分布的类型为已知，而它的某些参数却为未知，例如，已知母体服从正态分布，为未知，只要对作出了推断，也就对整个母体分布作出了推断，这类问题称为参数估计问题。本实验重点在于研究这类问题计算机实现。依据的数学原理是参数点估计的数学概率理论和方程与方程组求解的数值计算方法。1、点估计的概念设母体的概率函数的类型为已知的，参数除了只知道它的可能取值范围其它一无所知，今后我们称为参数空间，这样有一族概率函数例如是取实数值的一族正态分布，现在的任务是：如何根据子样提供的信息，在分布族中选定一个分布作为母体的分布，用统计语言就是根据信息估计出未知参数的值，这样就能使母体的分布从不明确变成明确的了。设是取自这一母体的一个子样，我们看成一个统计量为参数的估计，称这个估计量为参数的一个估计量，若是子样的一组观测值，则称就是的一个点估计值或简称估计值。如果分布族中含有k个未知参数即则需要构造k个统计量分别作为的估计量，这种问题称为参数的点估计问题。2、 矩法估计由辛钦大数定律知，若母体存在，因为子样独立同分布，必有。即子样的k阶原点矩稳定于母体k阶原点矩，甚至还有更强的结果。所以当未知时，自然会想到用子样k阶原点矩来作为它的估计量，即称上述原则为替换原则，至于其它的未知参数，只需将它表示成矩的函数，然后用子样的相应矩来代替，如此求出的估计量统称为矩估计量。例1、由替换原则，母体具有均值和方差 由此说明不论什么母体，都有母体均值与方差的矩估计量分别为子样均值与子样方差。因此如果未知参数不能用期望、方差来表示的话，可分别用及来代替期望、方差，即可立即求出未知参数的矩估计量。例2、 设母体服从参数为的两点分布，未知，求的矩估计量。解：因,又因，所以表示事件A出现的频率，可见的矩估计量就是该事件出现的频率。例3、设母体求的矩估计量解：例4、设母体为取自母体的一个子样，求的矩估计量解： 那么用矩估计得到的估计量是否好呢？下面讨论评判估计好坏的若干个 主要的标准。3、估计的优良性1）一致性用矩估计得到的参数估计有时具有一些优良性，由辛钦大数定律知：对任何，并且对任何j只要存在，同时有。由此可知，用矩法估计所得母体的均值和各阶原点矩的估计量和，当n很大时，估计量与真值很接近的可能性非常大，当时该估计量将稳定于真值，由于对同一个 待估参数可以构造许多估计量，但又不是每一个估计量都具有这种性质，显然可以作为这个估计量的好坏的标准。定义1 设母体为未知参数，的一个估计量，n为子样容量，若，则称为参数的一致估计。经过上面的讨论可知，的一个一致估计，的一致估计，可以证明为母体的方差的一致估计。2）无偏性估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在，这里我们给出另一种对任何子样容量都适用的评价估计量好坏的标准。定义2 设母体为未知参数，为的一个估计值，若对一切，关系式成立，则称为的无偏估计，否则称为有偏的。无偏性表明估计量的摆动中心为未知参数，若用作为的估计的话，该估计量没有系统的偏差。由于，所以的无偏估计，子样原点矩是母体原点矩的无偏估计，而，可见的无偏估计量，而才是的无偏估计量。一般说来，如果的有偏估计量，且这里是常数，于是我们能构造一个无偏估计量若一个估计不一定无偏的 ，但当则称的渐进无偏估计。显然的渐进无偏估计。例4、设母体，为未知 参数，记的矩估计量，并判断是否为的无偏估计解：， 而， 所以，的无偏估计。例5、设母体，为子样的次序统计量，证明。均称为无偏估计.证：令，那么由此可知均匀分布的子样所对应的次序统计量，于是的无偏估计。由上例可见，一般地未知参数的无偏估计量不是唯一，自然希望从的无偏估计中挑选一个方差尽可能小的无偏估计，这就是估计量的有效性标准。3）有效性定义3 若参数的两个无偏估计它们的方差对一切，有，则称估计比估计有效。在例5中，,均为的无偏估计，哪这n个无偏估计中哪个更有效呢？ 单调减少,可见越大方差越小，其中最有效的为,其方差为,其中方差最大的是,其方差为.例6 设母体的概率函数为未知参数,试讨论的矩估计量的无偏性，有效性及一致性。解：的无偏估计，而可见为的有效估计（注：这里用到fisher信息量和Rao-Cramer不等式，详见理论课教材。）所以为的一致性估计量4、 极大似然估计直到极大似然的思想早18世纪就为高斯和贝努里所使用，但极大似然方法的一些性质20世纪初才由费歇所研究，因此人们常常把这种方法的建立归功于费歇，极大似然估计这一名称也是费歇给的。由于极大似然估计在理论上具有很多优良性质，因此至今仍然是参数点估计中最重要的方法之一。似然函数等于样本分布列（离散总体）或样本概率密度（连续总体）的连积：极大似然估计法就是求的极大似然估计(所要求的要概率),要求出,就是要求似然函数的最大值点。要求极大似然估计，通常用三步： (1)根据已知的样本分布，列出似然函数. (2)将函数两边取自然对数 . (3)由函数对求导，令其等于0，算出的极大似然估计. 5、方程求根的数值方法本实验主要涉及非线性方程求根的牛顿法、两分法等，参见数值计算方法有关教材。6、Matlab的相关函数请同学自己查阅Matlab教程。四、实验过程：1、选择一个分布（建议选择正态分布或Weibull分布等）.2、编制求参数点估计的矩法和最大似然法的Matlab程序.3、用随机数生成方法在不同样本量下产生多个样本.4、用所生成的样本计算参数的估计量的值.5、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况，总结出相关数值经验.6、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况如何随样本量不同而变化，总结出相关数值经验.7、撰写实验研究论文.实验十一 区间估计1、实验目的要求（1）掌握Excel的有关命令.（2）掌握总体数学期望和方差的区间估计.（3）理解大数定律的思想.2、实验内容 (1) 单个正态总体数学期望和方差的区间估计从一大批袋装糖果中随机地取出内16袋，称得重量（g）如下508 507.68 498.5 502 503 511 498 511513 506 492 497 506.5 501 510 498设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值和方差的区间