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文档简介
第 5 1 卷第 1 9期 2 0 1 5 年1 0 月 机械工程学报 J OURNAL 0F MECHANI CAL ENGI NEERI NG V01 51 0c t NO 1 9 2 0 1 5 DoI 1 0 3 901 JM E 2 0 1 5 1 9 0 01 平面多杆机构杆组 自动生成方法水 韩建友 袁玉芹 吕翔宇 张倩倩 卢天齐 北京科技大学机械工程学院北京 1 0 0 0 8 3 摘要 阿苏尔杆组理论指出 通过对不同运动链选取不同的机架和原动件 能够得到各种可能的阿苏尔杆组与机构构型 基 于这一理论提出一种阿苏尔杆组的自动生成方法 针对杆组的结构特点 提出简单易行的杆组同构判别方法 该判别方法也 适用于平面多杆机构运动链的同构判别 联合应用运动链的邻接矩阵与关联矩阵 使得自动生成算法与计算机编程相结合 实现了平面多杆机构杆组的 自动生成 该自动生成机构杆组的方法理论简单 编程可操作性强 能够实现多杆运动链在构成 机构时杆组的准确快速的拆分 该方法将杆组的拆分过程与由杆组搭接形成机构的过程相联系 对拆分得到的所有杆组与机 构构型进行同构判别 得到了六杆以内的 l 3 种杆组 以及由八杆运动链构成的 1 5 3种机构 关键词 拆分杆组 同构判别 邻接矩阵 关联矩阵 中图分类号 T H1 1 2 M e t h o d o l o g y f o r t he Au t o m a t ic Ge ne r a t io n o f As s u r Gr o u ps f r o m Pl a na r M u l t i ba r Linka g e s HA N J i a n y o u YU AN Y u q i n L O Xia n g y u Z HANG Qi a n q i a n L U T i a n q i S c h o o l o f Me c h a n ic a l E n g i n e e r in g Be i j in g Un iv e r s i t y o f S c ie n c e a n d T e c h n o l o g y B e i j in g 1 0 0 0 8 3 Ab s t r a c t Th e t h e o r y o f As s u r g r o u p s i n d ic a t e s t h a t t h e p o t e n t ia l As s u r gro u p s a n d l in k a g e t y p e s C an b e o b t a i n e d b y s e l e c t in g d i ffe r e n t g r o u n d l ink s a n d d r i v in g l i nk s o f u n i q u e k i n e ma t ic c h a i n s A me tho d o l o g y o f a u t o ma t i c a l l y g e n e r a t i n g As s u r g r o u p s i s p r o p o s e d b a s e d o n t h is t h e o r y Ai min g a t the s t r u c t u r e c h a r a c t e r is t i c s o f As s u r g r o u p s an e ff e c t i v e a n d s i mp l e me tho d o f is o mo rph is m id e n t ifi c a t io n o f As s u r gro u p s i s a l s o p r o p o s e d Th is me tho d is a l s o a p p l ic a b l e t o t h e i s o mo r p h i s m i d e n t i fi c a t i o n o f p l a n a r mu l t i b a r k in e ma t ic c h a in s T h is me tho d o l o gy c o mb in e s t h e a u t o ma t ic g e n e r a t io n a l g o r i t h m a n d c o mp u t e r p r o gra mmi n g t o r e a l iz e the a u t o ma t ic g e n e r a t io n o f As s u r gro u p s a n d l i nka g e s b y u s i n g the a d j a c e n c y ma t r i c e s a n d the r e l e v anc e ma t r ic e s o f the k i n e ma t i c c h a in s T h is me t h o d o l o gy ma k e s s p l it t i n g t h e As s u r gro u p s f r o m p l anar mu l t i b a r ki n e ma t i c c h a ms wh e n f o r mi n g l ink a g e s q u i c k and a c c u r a t e T h e a u t o ma t io n p r o c e s s h a s o b t a in e d a l l t h e 1 3 As s u r g r o u ps fro m f o u r b a r a n d s i x b a r a n d e ig h t b ar k i n e ma t i c c h a in s and t h e 1 5 3 u n i q u e l i n k a g e t y p e s f o r me d b y e ig h t b ar ki n e ma t i c c h a i n s j u s t b y i s o mo rph is m id e n t ific a t i o n Ke y wo r d s s p l i t t i n g As s u r gro u p s is o mo r p h i s m id e n t ific a t io n a d j a c e n c y ma t r i c e s r e l e v anc e ma t r ic e s 0 前言 阿 苏尔杆组法将 机构看成 是 由一个或若干个 自由度 为零的不可再分解 的运 动链依次连接 到机 架 原动件或已搭接 的运动链上组成的L 1 J 这种 自 由度为零的运动链即被称为杆组 杆组既具有运动 确定性又具有静力确定性 只要杆组外部运动副的 运动参数已知 所有内部运动副的运动参数都可求 得 因此可将不同级别的杆组进行模块化的运动与 国家 自然科学基金资助项I 5 1 2 7 5 0 3 4 2 0 1 4 1 0 2 4收到初稿 2 0 1 5 0 6 0 2 收到修改稿 动力分析 现有的机构分析方法大多与杆组无关 如 P A R RI S Ht 3 1 的建立回路方程法 该方法使用邻接 矩阵与邻接图来寻找最小回路 最终得到八杆运动 链可构成 1 5 3种机构的结果 但是这种方法构成的 机构只能编程 自动给 出位置回路方程 不能直接进 行运动与动力分析 也不能对所得到机构的回路与 分支等特性进行 自动分析 A DAMS软件可以进行 单个构件搭接并进行自动分析 但仍不能对所得到 机构的回路与分支等特性进行 自动分析 只能给出 一 个回路和一个分支的数值解 因此 使用阿苏尔 杆组法分析机构 能够直接判定机构 的级别 并可 用模块化分析完毕的杆组搭接出任意机构 实现对 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 机械工程学报 第 5 1 卷第 1 9期 机构的 自动运动与动力分析 为多杆机构综合过程 中的各种缺陷判别提供了完整的分析基础 生成平面杆组的方法中 最具代表性的是曹惟 庆 的平面杆组类型综合方法 该方法使用 1 3个参 数来表示杆组的结构属性 通过建立杆组结构属性 方程式来约束结构属性之间的关系 根据封 闭矢量 与外部运动副总数 组合 出杆组中封闭结构和外链 分配方案 再经过 内链结构综合确定内构件结构方 案 最终综合外封闭矢量 去除导致杆组分解 产 生局部过度约束以及 同型结构的情况 得到 了八杆 以内的所有杆组 这种 由参数生成杆组的方法实质 上是一种杆组的综合方法 该方法涉及的理论复杂 生成步骤繁复 P E I S AK Ht S l 将该杆组综合方法与计 算机技术结合 实现了八杆 以内杆组的 自动生成 但其使用 了 1 3个参数关系方程与 内链综合 外链综 合 同构判别三大生成步骤 并没有改变该方法 的 复杂性 最终还要将对应杆组的图论中的图转化为 运动链结构型式 并且该杆组综合方法与构成机构 无关 为了得到不同的机构还要另外选取不同的方 法 罗榕青 o 使用拆掉刚性子链 中任一构件的方法 获得杆组 但并没有实现使用计算机自动生成 并 且也与机构的构成无关 由于平面多杆运动链容易获得 本文使用通过 对不同运动链选取不同的机架和原动件来得到各种 可能的杆组与机构构型 但使用人工观测法进行拆 分时容易出错且效率低下 尤其是对能拆出 1 7 3个 八杆组的 2 3 0个十杆运动链而言 杆组与机构的生 成都非常困难 为了正确分解杆组 后续出现 了基 于阿苏尔杆组法的改进拆分方法 J 但都没有对拆 分杆组实现 自动化 系统化 的操作 本文利用运动 链的邻接矩阵判断构件之间的连接关系 利用关联 矩阵判断运动副与构件 的连接关系 使得该方法与 VC 6 0编程相结合 克服 了因拆分顺序不定与杆组 构型多变导致的拆分 困难 形成了平面机构杆组 自 动生成系统 本 文的杆组生成算法与曹惟庆 的杆组 生成 方 法相 比 减少了判别参数 简化了生成步骤 避免 了杆组分解与局部过度约束的情况 并且将搭接机 构的过程与拆分过程相联系 只需要对拆分得到机 构根据杆组的构型与搭接顺序进行简便的同构分析 即可得到所有不同构的机构 本文给出了杆组同构 判别方法 实现 了十杆及 以内运动链的 自动杆组拆 分 由 1种四杆运动链综合得到了 1种二杆组与 1 种四杆机构 由2种六杆运动链综合得到了 2种 四 杆组与 9种六杆机构 由 l 6种八杆运动链综合得到 了 1 0种六杆组和 1 5 3 种八杆机构 其中机构构型数 目与文献 3 的机构构型结果相同 本文所提出的方 法同样可 以应用于运动链的 自动生成 由于运动链 的构型容易获得 本文限于篇幅只讨论杆组的 自动 生成方法并给 出示例 1 运动链 的矩阵表达 1 1 邻接矩阵与关联矩阵 在 已有 的参考文献中 运动链大多都是应用图 论中的图来表示和进行同构判别的 最后再把 图转 换为运动链 本文采用邻接矩阵与关联矩阵来表达 运动链 并在杆组拆分 杆组同构判别 机构同构 判别过程 中 使用这两个矩阵进行运算与判断 由 于邻接矩 阵仅能表示运动链构件之间的连接关系 因此增加关联矩阵来表示运动副与构件之间的连接 关系 如表 1为运动链邻接矩阵与关联矩阵举例 其中数字代表构件 字母代表运动副 表 1 运动链邻接矩阵与关联矩阵举例 运动 构简 邻接矩阵 关联矩阵 1 2 3 4 5 6 c 1 e 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 1 0 O 0 O 0 l l 1 0 0 O O l 0 O O 1 O 1 l 1 0 0 0 0 O 1 0 l 0 0 0 O 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 邻接矩阵中 行与列均代表构件的编号 如果 行与列对应 的构件相互连接 邻接矩阵对应元素为 1 否则为 0 关联矩阵中 行代表运动副编号 列 代表构件编号 如果行与列对应的运动副与构件相 互连接 关联矩阵对应元素为 1 否则为 0 该表示 方法简单 直接 不用考虑图论中有关图的规定 与编号顺序无关 1 2 运动链矩阵的应用 运动链 同构 的实质在于两个运 动链之间存在 构件 的一一对应关系 并且对应构件的连接关系相 同 也可描述为同构运动链可通过改变构件编 号 使得两个运动链完全相 同 因此同构运动链的 邻接矩阵一定是相似的 由于邻接矩阵是实对称矩 阵 特征值相同与矩阵相似互为充分必要条件 因 此 同构运动链的邻接矩 阵特征值一定相同 但邻接 矩阵特征值相同的运动链不一定 同构 若两个运动链的邻接矩阵分别为 4 与 4 为mx m方阵 将 4的全部特征值用 表示 为 一 方阵 全部特征值用 表示 由于特征值的 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 5年 1 O月 韩建友等 平面多杆机构杆组 自动生成方法 3 个数 与矩阵 的行或列 的数 目相等 可表 示为 e i g A t i 1 2 1 w2 e i g A 2 w l 2 r 2 式中 e i g 0表示矩阵特征值 的编程计算语句 代 表 的全部特征值 w 代表 的 全部特征值 将 这些特征值按数值从小到大顺序排列 那么 4 与 两个矩 阵相似须满足维数及每个特 征值分别相 同 即 m F 江 1 2 m 3 1 江 1 2 考虑计算机计算精度 问题 若两个特征值差的绝对 值小于 0 0 0 0 1即可判定两个特征值相等 如果两个 邻接矩阵的特征值满足式 3 表明两个矩阵相似 可表示为 A1 2 在不存在外铰链 点的运动链 中 邻接矩阵的行 或列的和可用来表示构件的运动副数 目 由于杆组 中存在外铰链 点 邻接矩 阵又无法表示外铰链点信 息 因此使用关联矩阵来实现构件运动副数目的判 断 构件 的运动副数 即为关联矩阵对应的列的和 以表 1中的运动链为例 计算关联矩阵的列的和 可得构件 1 2 3 4 5 6的运动副数分别为 2 3 2 3 2 3 即构件 1 3 5为二副构件 构件 2 4 6为三副构件 2 杆组 自动生成过程简述 2 1 杆组自动生成过程 拆分杆组的过程可简述为 对于给定的运动 链 在选定机架和原动件 的情况下 首先试拆二杆 组 若试拆二杆组失败 再试拆四杆组 若试拆四 杆组失败 再试拆六杆组 以此类推 若试 拆杆组成功则仍从试拆二杆组开始试拆剩余构件 终止拆分的条件为剩余的构件仅为机架与原动件 设给定运动链的构件数为 已拆掉的杆组构件总 数为 拆分终止条件可表示为 n n 一2 4 在拆分过程 中 如果试拆 杆组 的构件 数等于 n 且满足式 4 直接将除了机架与原动件之外的 所有构件输 出作为 杆组 这是拆分得到杆组的情 况 对所有自动生成的杆组进行同构判别就可得到 不同构的杆组 这称为杆组同构判别 杆组拆分完 成后 由于机架和原动件选择的不同 得到机构 中 的杆组种类与搭接顺序也会不同 对得到的所有机 构进行 同构判别就可得到所有不同构的机构构型 这称为机构同构判别 对杆组进行拆分时 由于拆 分的顺序与方向不定 对于一对选定的机架和原动 件可能存在不同的杆组拆分顺序 这种情况下 虽 然杆组拆分顺序不同 但机构的运动与动力分析相 同 属于相同的机构 如 图 l 所示为自动生成机构 杆组系统流程图 其中n 表示试拆杆组的构件数 图 1 自动生成机构杆 组系统流程 图 2 2 杆组拆分的矩阵表达 对于给定的运动链 容易得到运动链的邻接矩 阵与关联矩阵 按以下所述的方法 用这两个矩阵 来表达杆组的拆分步骤 1 选择机架和原动件 机架和原动件 的选择 原则为 所选两个构件满足邻接矩阵对应元素为 l 将该 1元素 行对应构件设为机架 列对应构件 设为原动件 如图 2所示 的邻接矩 阵 行为 1 行为 2对应 的邻接矩 阵元素为 l 因此可将构件 l 选为机架 构件 2选为原动件 为 了在矩阵中清晰地表示机架 和原动件 本文 在代表机架 的编号下方标 记符号 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 4 机械工程学报 第 5 l 卷第 l9期 在 代 表 原动 件 的编 号 上方 标 记符 号 o l 2 3 0 0 l O 1 O l 0 l O l 图2 机架和原动件的选取与表示 2 杆组拆分条件 选定机架和原动件后 要 在运动链剩余构件 中选择可作为杆组的构件组合进 行拆分 由于杆组是 自由度为零的运动链 令杆组 的自由度为 F 构件数 目为 n 运动副数 目为 p 则杆组 的结构特性可用式 5 所示的结构方程式来 描述 F 3 n一2 p 0 5 因此 对于构件数 目已知的杆组 运动副数 目 是固定的 将程序中已得到的杆组称为基本杆组 在试拆杆组时 选择试拆的构件组合不仅要在连接 关系上与基本杆组相同 而且包含的运动副数 目也 要与对应的基本杆组相 同 也就是说 当选择试拆 的构件组合与基本杆组 同构时 所选的构件组合才 能够作为杆组拆分 将所选构件组合对应编 号的邻接矩阵和关联 矩阵元素作为与基本杆组进行同构判别的依据 如 果与基本杆组 同构 将所选构件组合作为杆组拆分 需要注意的是 每拆分出一个杆组 要将该杆组包 含的构件与运动副的对应矩阵元素去除 在以后的 试拆过程 中 选择要拆 的构件组合后 生成的对应 矩阵中不可再含有已拆除的矩阵元素 3 同构判别方法 3 1 运动链同构判别方法 运动链 的同构 判别是机构综合 中一个重要而 且难 以解 决的问题L l J 国内外许多学者在这一领 域进行 了卓有成效的研究工作 提出了许多有价值 的方法 如特征多项式法 最小码 度码 标识码 邻接度码 邻接链法 距离矩阵 支路码 邻接矩 阵幂序列法等 还有学者将神经网络与遗传算法 模糊逻辑Ll 钊 等引入到同构识别中 也取得了很好的 效果 运动链同构判定方法应具有唯一性 准确性 高效性以及复原性 以上诸多方法要么不具备准确 性而失效 要么操作复杂 运算量大 仅适用人工 判定 要么所涉及的算法复杂性高 不利于编程通 过计算机实现 使用运动链的邻接矩阵特征值进行 同构判 别 是最简便的操作方法 但使用该方法 的缺点在于邻 接矩阵特征值相等仅仅是运动链同构的必要条件而 非充分条件 随着运动链中构件数 目的增多 容易 出现邻接矩阵特征值相同但运动链 不同构的情况 对于八杆及 以内的运动链来说 邻接矩阵特征值与 运动链构件的连接关系是一一对应的 在 2 3 0个平 面单 自由度十杆运动链中存在两对邻接矩阵特征值 相 同但不同构的运动链 J 由于杆组存在外铰链点 万金保等 1 8 1 9 1 提 出的 机构运动链邻接矩阵充分必要条件并不适用于杆组 的同构判别 由于邻接矩阵特征值相同在构件数 目 较少时能够作为运动链同构的充要条件 本文结合 杆组的拆分与同构判别的特点 联合利用邻接矩 阵 与关联矩阵 提出了邻接子矩阵判别方法 这一判 别方法与构件的编号顺序无关 能够使杆组的同构 判别尤 为简便 并且也适用于平面运动链 的同构 判别 将一个运动链的邻接矩阵用 表示 用关联矩 阵判断构件的运动副数 将运动链的构件分为二副 构件 三副构件 四副构件等 并把去掉某种副数 的构件后剩余的邻接矩阵称为邻接子矩阵 分别用 A A 3 A 4 等表示 将另一个运动链对应的矩阵 分别表示为A 4 x 4 等 其中邻接子矩阵 的下标表示去除含该运动副数的构件 若两个运动链同构 包含相同运动副数的构件 组成的连接关系也必然是相同的 因此运动链同构 要满足 i 3 1 4 2 3 4 J 对于机构运动链来说 在十杆及以内的运动链 同构判别过程中 只需要满足式 6 即可判定运动链 同构 而对于十二杆甚至更高级别的运动链判别中 还需要对邻接子矩阵继续进行同构判别 将邻接子 矩阵看成一个整体邻接矩阵 使用该邻接矩阵 自动 构造新的邻接子矩阵 进而判断运动链是否同构 这种拆分式的同构判别方法 最后必能将运动链 中 不同的构件连接关系用邻接矩阵特征值表示出来 在计算机编程 中 将此种运动链 同构判别方法作为 一 个独立函数 可实现运动链方便有效的同构分析 如果基本杆组中仅存在一种运动副构件 表明 该杆组不存在邻接子矩 阵 在进行杆组同构判别时 只需要判 断组成杆组 的构件运动副情况是否相 同 即可 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 5年 1 0月 韩建友等 平面多杆机构杆组 自动生成方法 3 2同构判别方法示例 下面通 过几种不 同情 况说 明本文提 出的同构 判别方法 的判别过程及所得结果的正确性 1 两个相 同运动链 或杆组 的同构判别 如表 2所示为仅编号不 同的两个杆组 表 2中详细给出 了邻接矩 阵及其特征值 关联矩阵及各构件运动副 数 邻接子矩阵及其特征值 可以看出 编号不同 的情况下 它们的邻接矩阵及邻接子矩 阵的特征值 都相 同 说明两个杆组仍然 同构 可见编号对杆组 的同构判别没有影响 因此该判别方法与构件 的编 号 无关 表 2 编号 不同的杆组同构判别 运动链结构 6 简 图 邻接矩阵 乜 4 P b c 邻接矩阵特 一 2 2 3 6 1 一1 O 0 0 O 0 0 1 0 0 0 O 2 2 3 6 l 征 值 关联矩阵 构件运动副 数 邻接子矩阵 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 邻 篓 阵e ig 一 1 4 1 4 2 0 一 1 4 1 4 2 e ig 0 o 0 特 征 值 2 两个不 同运动链 或杆组 的同构判别 如表 3所示为两个不同构的杆组 表 3中详细给 出了邻 接矩阵及其特征值 关联矩阵及各构件运动副数 邻接子矩 阵及其特征值 可以看出 两个杆组的内 链结构完全相同 并且连接的两个外铰都为直接型 外铰 没有改变构件的连接关系 因此邻接矩阵无 法将外铰所在构件的连接关系差异表现出来 邻接 矩 阵的特征值相 同 要判别它们是否同构还需要计 算其 各 自邻 接子矩 阵的特 征值 在邻接 子矩 阵 5 中 由于将 N构件去除后 剩余 的三副构件连接 关系不 同 邻接子矩阵 的特征值不同 因此两个 杆组不同构 杆组结 构简 图 邻接矩阵 邻接矩阵特 征值 Wo 关联矩阵 构件运 动副数 邻接子 矩阵 邻接子矩 阵 特征值 表 3六杆组 同构判别 一 1 6 l 8 0 0 6l 8 O 2 1 7 53 1 1 0 1 1 2 60 2 1 7 53 0 6 l 8 O 1 6l 8 0 1 7 3 21 0 0 1 7 3 2l 3 两个十杆运动链的同构判别 如表 4所示 为两个十杆运动链 由于机构运动链不存在外铰 因此 构件运动副数 目可 以根据邻接矩阵直接判断 运动 链结 9 构简 图 邻接 矩阵 特征 值 表 4 十杆运动链同构判断 一 2 4 2 8 9 一2 0 6 9 3 1 5 2 7 9 0 9 1 8 2 0 o 4 5 2 8 l 1 1 3 5 4 1 6 0 3 7 2 7 5 2 3 6 OOO1 0 5 O1 O1 01 4 OOl O1 0 3 Ol O1O O 2lO1O10 O 1 O 1 O O O 1 l仉 2 34 56 61OOO1 0 5 O1 01O1 4 0O1OlO 3 O1 OlOO 21Ol 01O l Ol 0 0Ol 12 34 5 6 6 Ol O 00OO O1 5 OOOO1O O11 4 OO 0OO01lO 3 0OOl O11OO 2 OOl11OO O 0 11ll OOOOO0 6 c P 厂g f 6 1O 0OOOO11 5 OOOOO111O 4 OOOOlO1OO 3 0Ol11O OOO 2 OllOO1 O00 ll1 0OOO OOO 口 6 c P 厂g f 一 6 OOl O1O 510Ol 0l 4 O01 O1O 3 O1Ol O1 2 O O1O 0 0 1 0OO O1O 1 2 34 56 61OO11O 5 0OOOO1 4 O1OOO1 3 Ol 0 OOO 21Oll0O l O1OO 01 1 2 34 56 2 5 Ol0 O 3 O1OO 2 1011 3 l 01O 0 3 12 3 5 3 3 6 O0l 0 5 00 3 1 0OO 3 2 Oll 0 3 2 3 5 6 2 6 0 O OOO O1ll 51O 00O1l0O 4 0 O OOl1 OOO 3 OO O1lO 00l 2 0Ol1 0OOO0 l ll 0OO0 00O 口 6 c P 厂g 6 0 11O 0 OOO 511 00OO OOO 4 0 OO1 0llOO 3 O 0O0O0 0l1 2 OO OO1l O1O l O O1Ol O0OO 口 6 C P 厂口 f 3 2 OO0 1 2 4 6 l1O 2 5 0Ol 3 OOl 3 56 5 O0O 3 3 0OO 1 O00 6 O1O 2 4 1Ol 2 O1O 2 4 6 m O O O 0 O O l O 1 0 9 0l0O1OOOO1 8 O 0 O0lO1O00 7 O0OOO1Ol O1 61O OOlOl0OO 5 OOO10l0l1 O 4 O01O1OOOOO 3 Ol01OOOOOO 2 l 0100OOOlO O1 0OOl O0OO 1 2 34 567 89 m O 0 OOlO 1O0O 9 OOO1110OOO 8 O0 OOlO1O OO 7 00OO0lOl01 6 1OO0OO10l0 5 01OO OOO111 4 OOl00O0O1O 3 O10l OOO00 O 2 lOl01OOOOO O10O 0l 0 0 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m 接阵 潞觯 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 6 机械工程学报 第 5 1 卷第 l 9期 续 由于构件数 目较多 这两个十杆运动链虽然邻 接矩 阵特征值相同 但属于不同构的运动链 需要 进行邻接 子矩阵特征值 的判断 邻接子矩 阵 与 的特征值均相等 但 的特征值不同 因此这 两个十杆运动链不满足 同构判别条件 属于不同的 十杆运动链 4 杆组拆分示例 运动链通过选取不同构件为机架 选取与机架 相连 的构件分别为原动件进行杆组拆分 下面分别 举例四杆运动链 六杆运动链与八杆运动链的杆组 拆分与杆组生成过程 已知 刀为运动链构件数 为 已拆杆组的构件总数 在所开发的 自动生成平面多杆机构杆组 的程 序系统 中 使用不同的颜色来区分机构的不同组成 部分 本文中也开发了以不同线型和填充图形来表 示杆组的模块 使用细实线与横线填充表示第一个 搭接杆组 使用虚线与网格线填充表示第二个搭接 杆组 使用点划线与竖线填充表示第三个搭接杆组 使用粗密虚线表示第 四个搭接杆组 4 1 四杆运动链 z 4 四杆运动链仅有一种构型 其结构简图 矩阵 表达如表 5所示 对四杆运动链的拆分仅有一种情 况 即拆分出一个二杆组 拆分步骤如下 表5 四杆运动链矩阵信息 1 选择机架和原动件 当选择构件 1为机架 时 根据邻接矩阵寻找可能的原动件 编号为 1的 行有两个 1元素 对应的列分别为 2和 4 因此 构件 2和 4可选为原动件 下面 以构件 1 为机架 构件 2为原动件的情况进行拆分 2 试拆二杆组 首先判断杆组拆分后是否满 足拆分终止条件 由于试拆 的构件组合为除了机架 和原动件之外的所有构件 因此拆分完成 得到由 构件 3 4组成的二杆组 拆分得到的四杆机构如图 3所示 构件 3与构件 4组成部分为拆 出的二杆组 本文中将机构搭接 的第一个杆组用细实线表示 图 3四杆机构 其他构件 选为机架和原动件情况下拆分得 到 的二杆组 要与该二杆组进行同构判别 由程序 自 动杆组 同构判别可得 二杆组的结构型式仅有一种 如表 6为二杆组的矩阵表达 由于二杆组仅包含二 副构件 因此不存在邻接子矩阵 在试拆二杆组时 若选择 的两个构件不全为二副构件 则可直接判定 不可拆 表 6 二杆组 的矩阵表达 4 2 六杆运动链 n 6 六杆运动链仅有两种构型 分别为瓦特型与斯 蒂芬森型 下面以斯蒂芬森型六杆运动链进行拆分 示例 如表 7所示为斯蒂芬森型六杆运动链 的矩阵 信息 表 7 斯蒂芬森型六杆运动链矩阵信息 运动链结构简图 邻接矩阵 关联矩阵 g 1 2 3 4 5 6 国 1 2 3 4 5 6 至 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 O 0 0 1 1 0 0 0 O O 1 O l O 0 0 1 1 0 0 l O 0 1 0 0 O O O O l l 对六杆运动链的拆分有两种不同的情况 第一 种为拆出两个二杆组 第二种为拆 出一个四杆组 第一种情况的拆分步骤如下 1 1选择机架和原动件 选择 以 l为机架 2 为原动件的情况进行拆分示例 2 试拆二杆组 在选定机架和原动件的情况 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 5年 1 0月 韩建友等 平面多杆机构杆组自动生成方法 7 下 在剩余构件 中寻找与二杆组 同构的构件组合 试拆 二杆组过程 中可能 出现 的三种情 况 如表 8 所 示 表 8 试拆二杆组的三种可 能情 况 6 g 1 7 3 4 5 6 l 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 l 0 1 0 l 1 0 1 0 l 0 1 1 0 1 0 1 0 1 邻接 1 0 l 0 0 0 2 l 0 l 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 0 l 0 1 1 0 3 0 I 回 l 1固 3 0 l 0 1 1 0 矩 阵 l 0 1 0 0 0 4 l 0 l 0 0 0 4 1 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 0 1 5 0 0 1 0 0 1 5 0 0 1 0 6 l 0 0 0 1 0 6 1 0固 0 l回6 1 0 0 0 邻接矩 阵特征 1 一 1 0 0 l 一 l 值 3 4 5 6 3 4 5 6 l 0 0 0 0 r a l O 0 0 0 l 1 1 0 0 0 0 b l 1 0 0 0 0 关联 0 1 l 0 0 0 C 0 1 1 0 0 t 矩 阵 0 0 1 0 1 0 d 0 0 l 0 1 0 0 0 l 1 0 0 e 0 0 1 1 O 0 l 0 0 1 0 0 j 1 0 0 1 0 0 g 0 0 0 0 l 1 g 0 0 0 0 l 1 嚣 存 在 一 不 融 构 竺 一 二 一 一 N 副 构 件 动 副 个 三 副 构 件 试拆 与基本二杆组不 与基本二杆组 与基本二杆组 结果 同构 不可拆 不 同构 不可拆 同构 可拆 试拆构件 3 6时 由于邻接矩阵特征值与基 本杆组不 同 无须进行邻接子矩阵的判断 由第一 次试拆得到了由构件 5 6组成 的二杆组 计算 的 值 由于不满足拆分终止条件 继续试拆杆组 3 试拆二杆组 每次试拆杆组成功后 都要 从二杆组开始继续拆分剩余构件 这时 仅剩余构 件 3 4 判断构件 3 4是否与基本二杆组同构 如表 9所示 表 9 试拆构件 3 4 试拆 邻徽阵 关黼阵 值 于 矩 阵 功 副 1 3 4 4 蕊 函 l b D 0 不 存 在 I 1 1 l 0 I I l 十e e 十 1 f 0 1 I 一 L皿 由于铰链点 a d g为已拆二杆组 5 6的 铰链点 因此在计算构件 3 4铰链点数 目时将其排 除 试拆二杆组成功 计算 n 的值 满足拆分终止 条件 拆 分结束 拆分所得的六杆机构如图 4所示 构件 5与构 件 6部分为第一次拆分得到的二杆组 构件 3与构 件 4部分为第二次拆分得到的二杆组 本文将机构 中搭接的第二个杆组使用虚线表示 6 Q 6 5 图 4 六杆机构 1 更换机架和原动件继续进行杆组拆分 六杆运 动链第二种情况的拆分步骤如下 1 选择机架和原动件 选择构件 1为机架 构件 6为原动件进行拆分 2 试拆二杆组 这种 睛况下试拆二杆组失败 过程略 3 试拆四杆组 由于试拆的构件组合为除 了 机架和原动件之外的所有构件 满足拆分终止条件 拆分结束 得到由构件 2 3 4 5组成 的四杆组 拆分得到六杆机构如图 5所示 构件 2 3 4 5 组成部分为拆出的四杆组 其他构件选为机架和原 动件情况下拆分得到的四杆组 要与该 四杆组进行 同构判别 图5 六杆机构 2 由程序 自动杆组 同构 判别可 得 四杆 组的结 构型式有两种 表 1 0 为两种 四杆组 的两个矩 阵 表达 表 1 0 两种四杆组的矩阵表达 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 8 机械工程学报 第 5 1 卷第 1 9期 4 3八杆运动链 8 八杆运动链一共有 1 6种不同的构型 其中一 种八杆运动链的矩阵表达如表 1 1 所示 表 l l 一种八杆运动链的矩阵信息 运动链结构简图 邻接矩阵 关联矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 口 1 0 0 0 0 0 0 1 謦 0 1 1 0 0 0 0 1 b l 1 0 0 0 0 0 0 l 0 0 1 0 0 0 O C 0 l 0 1 O O 0 O l O O l O O O 0 d 1 O 1 O O 0 O 0 O 1 1 O 1 0 O O P O O 1 1 0 O 0 O O 0 0 1 O l 1 O O 0 O l l O 0 O 0 0 0 0 l 0 0 1 g 0 0 0 0 1 0 1 O 0 O O O 1 O 0 I h 0 O O O 1 1 O O 8 1 O 0 O O l l O i O O 0 0 0 l O l j 0 0 0 0 0 0 1 1 对八杆运动链 的拆分结果有 四种不同的情况 第一种为拆出 3 个二杆组 第二种为先拆出 1 个二 杆组 再拆出 1 个 四杆组 第三种为先拆 出 1 个四 杆组 再拆出 1 个二杆组 第四种为拆出 1 个六杆 组 为了给出试拆四杆组示例 八杆运动链第三种 情况 的拆分步骤如下 1 选择机架和原动件 将构件 1选为机架 构件 2选为原动件进行拆分 2 试拆二杆组 这种情况下试拆二杆组失败 过程略 3 试拆 四杆组 选择除机架原动件以外的 4 个构件来试图组成可拆 四杆组 表 1 2所示为试拆四 杆组会出现的三种不同情况 表 1 2 试拆四杆组的三种不同情况 2 3 4 5 6 7 0 l 0 1 1 0 0 0 0 l 2 l 0 0 1 0 0 0 0 构 件 邻 3 l I I 0 接矩阵 5 l o o l o l o I I l 1 0 0 l l 7 I O 0 0 0 1 0 0 1 8 l 1 o o 0 o l o 竺 篓 一 1 6 1 8 0 6 1 8 一 I n l 阵 特 征 1 61 值 关联矩 阵 o 1 l 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 3 l 1 O 0 1 O 0 0 0 O 0 圈 一 0 副 一 3 3 2 2 3 2 2 3 数 目 邻接子 A 2 2 1 3 一 一 oo o o oo oo oo0 1 0 o 0 0 0 0 I I l 拆分结不与任何四杆组同 不与任何四杆组同 与一个四杆组同构 果 构 不可拆 构 不可拆 可拆 因此 构件 5 6 7 8 可成功拆分为四杆组 计算 的值 可知不满足拆分终止条件 继续拆分 剩余构件 4 试拆二杆组 构件 3 4可拆分为二杆组 过程略 此时满足拆分终止条件 拆分结束 拆分 所得八杆机构如图 6所示 图 6 八杆机 构 1 其他三种拆分情况示例略 5 程序介绍 在所开发的程序介绍中 对 自动生成的机架和 原动件的表示 已有说明 使用黑色填充表示机架构 件 若机架为二副杆构件 则在构件上标注实心黑 点 以表示机架 使用白色填充表示原动件构件 若 原动件为二副杆构件 则在构件上标注 白色空心点 以表示原动件 其余部分表示方法见第 四节说明 如图 7所示为 自动生成机构杆组系统的程序界 面 程序对话框一共实现了 5种功能 分别为 打 开运动链矩阵 拆分杆组 不同机构 基本 杆组 与 关闭 功能操作如下 1 打开运动链矩阵 本程序将运动链 的矩阵 信 息做成文本文件存储 操作 时只需要点击该按 钮 打 开相应文件 对话框会显示运动链的结构 简图 2 拆分杆组 选择运动链后 点击该按钮 屏幕上将显示该运动链 的所有的杆组拆分情况 如 图 7 a所示为一个十杆运动链的杆组拆分情况 图 7 b所示为十杆机构的放大视 图示例 3 不同机构 点击此按钮 将显示该运动链 的所有不同的机构构型 如图 8 a 所示为一个八杆运 动链的所有机构构型 图 8 b 所示为八杆机构的放大 视图示例 4 基本杆组 点击此按钮 将显示 由已拆分 杆组的运动链得到的所有阿苏尔基本杆组 如图 9 所示为拆分得到的六杆 以内 1 3个杆组 8 O O O O s 1 州 州J 7 O O O O l O O 1 7 I O 0 O 0 O l O O l一 T f 一 5 0 O O l三 I h l m m h m k 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 机械工程学报 第 5 l 卷第 1 9期 p l a n a r e ig h t b a r l i n k a g e s D I r v i n e U n i v e r s i t y o f Ca l if o r n ia 2 01 4 4 曹惟庆 平面杆组的结构分析及其类型综合 J 西安 理工大学学报 1 9 7 8 2 1 2 3 C AO W e iq in g T h e s t r u c t u r a l a n a l y s is a n d s y s t e ma t ic s o f As s u r g r o u p s J o u r n a l o f Xi a l l Un iv e r s i ty o f T e c h n o l o g y 1 9 7 8 2 1 2 3 5 P E I S A K H E E An a l g o r i t h mic d e s c r ip t io n o f t h e s t r u c t u r a l s y n t h e s i s o f p l ana r As s u r g r o u p s J J o u r n a l o f Ma c h i n e r y Ma n u f a c t u r e a n d Re l i a b i l i ty 2 0 0 7 3 6 6 5 0 5 5 1 4 6 6 罗榕青 平面零 自由度运动链 的分类及应用 J 机械 科学与技术 1 9 9 4 2 2 0 2 4 L UO Ro n g q in g T h e c l a s s ifi c a t io n a n d a p p l ic a t io n o f p l a n a r k i n e ma t i c c h a i ns w ith z e r o d e gre e o f f r e e d o m J Me c h a n i c a l S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y f o r Ae r o s p a c e E n g i n e e rin g 1 9 9 4 2 2 0 2 4 7 叶仲和 按杆组装配顺序分解机构中的杆组 J 机械 设计与研究 1 9 8 7 1 3 6 3 9 YE Z h o n g h e Th e d e c o mp o s i t i o n o f b a r s gro u p s a c c o r d i n g t o t h e a s s e mb l y s e q u e n c e o f b ars g r o u p s J J o u r n a l o f M a c h in e De s ig n a n d Re s e a r c h 1 9 8 7 1 3 6 3 9 8 常勇 李延平 刘国祥 拆分杆组的一种通用有效方法 J 机械设计 1 9 9 3 5 4 6 CHANGYo n g L I Y an p in g L I U Gu o x i a n g Anu n i v e r s a l and e ff e c t i v e me t h o d f o r s p l i t t in g b a r gro u p s J J o u r n a l o f Ma c h i n e D e s ign 1 9 9 3 5 4 6 9 李树军 戴建生 基于 As s u r杆组元素的平面机构的 拓扑描述 J 机械工程学报 2 0 1 1 4 7 1 9 8 1 3 L I S h u j u n D AI J i a n s h e n g T o p o l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f p l ana r me c h a n is ms b a s e d o n As s u r gro u p e l e me n t s J J o u r n a l o f Me c h a n ic a l E n g i n e e rin g 2 0 1 1 4 7 1 9 8 1 3 1 0 李树军 戴建生 基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方 法 J 机械工程学报 2 0 1 3 4 8 1 3 1 3 1 8 L I S h u j u n D AI J i a n s h e n g S t r u c t u r a l s y n t h e s is me tho d o f p l a n a r me c h a n is ms u s in g t h e As s u r g r o u p b a s e d a d j a c e n c y ma t r i x J J o u r n a l o f Me c h ani c a l E n g i n e e ri n g 2 0 1 3 4 8 1 3 1 3 1 8 1 1 L I S h u j u n WAN G Ho n g g u a n g Y ANG Qi ang C o n s t r a i n t f o r c e ana l y s is o f me t a mo r p h ic j o i n t s b a s e d o n the a u g me n t e d As s u r gro u p s J
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