直线与平面平面与平面平行的判定定理ppt课件.ppt

2 2 1直线与平面平行的判定定理 1 1 空间直线与平面的位置关系有哪几种 2 如何判定一条直线和一个平面平行呢 复习引入 2 将课本的一边AB紧靠桌面 并绕AB转动 观察AB的对边CD在各个位置时 是不是都与桌面所在的平面平行 从中你能得出什么结论 A B C D CD是桌面外一条直线 AB是桌面内一条直线 若CD AB 则CD 桌面 直线AB CD与桌面分别是什么位置关系呢 猜想 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 观察 3 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 2 该定理作用 线线平行 线面平行 空间问题 平面化 即 1 直线与平面平行的判定定理 1 用该定理判断直线a和平面 平行 须具备三个条件 面外 面内 平行 3 应用该定理 关键是在平面 内找到一条直线与已知直线a平行 4 已知 空间四边形ABCD中 E F分别是AB AD的中点 求证 EF 平面BCD 分析 EF在面BCD外 要证明EF 面BCD 只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可 EF和面BCD哪一条直线平行呢 直线BD 例求证 空间四边形相邻两边中点的连线 平行于经过另外两边的平面 在 ABD中 E F分别是AB AD的中点 证明 EF BD EF 平面BCD 又 EF平面BCD 连接BD 三角形的中位线是常用的找平行线的方法 5 1 如图 四面体ABCD中 E F G H分别是AB BC CD AD的中点 3 你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗 1 E F G H四点是否共面 2 试判断AC与平面EFGH的位置关系 练习 解 1 E F G H四点共面 在 ABD中 E H分别是AB AD的中点 EH BD且 同理GF BD且 EH GF且EH GF E F G H四点共面 2 AC 平面EFGH 6 解 3 由EF HG AC 得 EF 平面ACD AC 平面EFGH HG 平面ABC 由BD EH FG 得 BD 平面EFGH EH 平面BCD FG 平面ABD 1 如图 四面体ABCD中 E F G H分别是AB BC CD AD的中点 3 你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗 1 E F G H四点是否共面 2 试判断AC与平面EFGH的位置关系 7 1 平行 2 相交 1 平面与平面有几种位置关系 没有公共点 有一条公共直线 复习引入 8 问1 两个平面平行 那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何 平行 问2 如果一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行 那么这两个平面的位置关系如何 平行 结论 两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题 当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行 那么需要几条直线才能说明问题呢 复习引入 2 问题 还可以怎样判定平面与平面平行呢 9 两平面平行 两平面相交 探究 10 两平面平行 两平面相交 E F 直线的条数不是关键 探究 11 直线相交才是关键 探究 12 线不在多 重在相交 2 平面与平面平行的判定定理 若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面 则这两个平面平行 1 该定理中 两条 相交 都是必要条件 缺一不可 2 该定理作用 线面平行 面面平行 3 应用该定理 关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两条直线平行即可 线线平行 线面平行 面面平行 13 证明 因为ABCD A1B1C1D1为正方体 所以D1C1 A1B1 D1C1 A1B1又AB A1B1 AB A1B1 D1C1 AB D1C1 AB D1C1BA是平行四边形 D1A C1B 又因为D1A平面C1BD CB平面C1BD 由直线与平面平行的判定 可知 同理D1B1 平面C1BD 又D1A D1B1 D1 所以 平面AB1D1 平面C1BD D1A 平面C1BD 平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法 14 练2 正方体ABCD A1B1C1D1中 若M N P Q分别是棱A1D1 A1B1 BC CD的中点 求证 平面AMN 平面C1QP 练1 正方体ABCD A1B1C1D1中 若M N E F分别是棱A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 求证 平面AMN 平面EFDB K 变式 练习 15 证明 如图 连接BD1 在 DBD1中 EF为三角形中位线 所以EF BD1 又EF平面ABC1D1 BD1平面ABC1D1所以BD1 平面ABC1D1 例如图 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为DD1 DB的中点 求证 EF 平面ABC1D1 16 解 直线BD1 平面AEC 证明如下 如图 连接BD交AC于O 再连接OE在 DBD1中 OE为三角形中位线 所以OE BD1 又BD1平面AEC OE平面AEC 故BD1 平面AEC P562如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E为DD1的中点 试判断BD1与平面AEC的位置关系 并说明理由 O 注意 在直观图中 线段平行关系不变 可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在 练习 17 如图 已知P Q是边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的面AA1DD1 面ABCD的中心 求证PQ 平面AA1B1B 并求线段的PQ长 解 1 连接AB1 在 AB1D1中 显然P Q分别是AD1 D1B1的中点 所以 PQ AB1 且PQ CD1又因为PQ平面AA1B1BCD1平面AA1B1B所以PQ 平面AA1B1B 2 AB1 PQ 问 PQ 平面DD1C1C PQ C1D 练习 18 C1 A C B1 B M N A1 F 证明 取A1C1中点F 连结NF FC N为A1B1中点 M是BC的中点 NFCM为平行四边形 故MN CF MN 平面AA1C1C 例如图 三棱柱ABC A1B1C1中 M N分别是BC和A1B1的中点 求证 MN 平面AA1C1C 19 练习 练1 三棱柱ABC A1B1C1中 E是AC1上的点 F是CB1上的中点 求证 A1B 平面ADC1 法一 线面平行判定定理连接BC1 则DE为 ABC1中位线 所以EF AB 又EF平面ABC AB平面ABC 故EF 平面ABC 法二 由面面平行判定线面平行取CC1的中点G 连接GE和GF 则GE为 ACC1中位线 所以GE AC 又GE平面ABC AC平面ABC 故GE 平面ABC G 同理可证GF 平面ABC 又GE GF G 所以面GEF 面ABC 20 解 依题意点D为边BC的中点 连接A1C交AC1于E 连接DE 在 ADC1中 DE为三角形中位线 所以DE A1B 又DE平面ADC1 A1B平面ADC1故A1B 平面ADC1 练2 在三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为正三角形 D是BC上的点 若AD BC 求证 A1B 平面ADC1 E 练习 21 例如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 M N分别是AB PC的中点 求证 MN 平面PAD H G 法二 取DC的中点G 连接GN GM 往证面GMN 面PAD即可 证明 取PD的中点H 连接HN AH 在三角形 PDC中 HN为三角形中位线 所以HN DC且HN DC又因为底面为正方形 且M为AB中点 所以AM DC且AM DC AM HN且AM HN即AMNH为平行四边形 故MN AH又AH平面PAD MN平面PAD 故MN 平面PAD 22 练 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PAD是正三角形 E F分别是PC BD的中点 求证 EF 平面PAD 证明 分别取PD AD的中点G H 连接GE HF GH在 PDC中 GE为三角形中位线 所以GE DC且GE DC同理 HF AB且HF AB又 底面为正方形 AM DC且AM DC GE HF且GE HF即HFEG为平行四边形 故EF GH又GH平面PAD EF平面PAD 故EF 平面PAD G H 练习 23 例如图 点B为 ACD所在平面外一点 M N分别为 ABC ABD的重心 1 求证 MN 平面ACD 2 若底面边长为1为正三角形 求线段的MN的长度 解 1 分别连接BM BF交AC AD于点E F 因为M N分别为对应三角形的重心 故E F为相应边的中点 且有BM ME 2 1 BN NF 2 1 MN EF且MN EF 又因为MN平面ACD EF平面ACD所以MN 平面ACD E F 2 又因为在 ACD中 EF是三角形的中位线 所以 EF CD且EF CD MN CD 线段成比例也是常用的找平行线的方法 24 练如图点B为 ACD所在平面外一点 M N G分别为 ABC ABD BCD的重心 1 求证 平面MNG 平面ACD 2 求的值 E F H 同理 连接BG交CD于中点H 可证NG 平面ACD且NG FH 又因为MN NG N 所以面MNG 面ACD 练习 解 1 分别连接BM BF交AC AD于点E F 因为M N分别为对应三角形的重心 故E F为相应边的中点 且有BM ME 2 1 BN NF 2 1 MN EF且MN EF 又因为MN平面ACD EF平面ACD所以MN 平面ACD 25 同理可证明NG AC且NG AC MG AD且NG AD 练如图点B为 ACD所在平面外一点 M N G分别为 ABC ABD BCD的重心 1 求证 平面MNG 平面ACD 2 求的值 练习 解 2 因为EF是 ACD的中位线 所以 EF CD且EF CD 由 1 知MN EF MN CD且MN CD 26 练1 如图在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E在AB1上 F在BD上 B1E BF 求证 EF 平面BB1C1C 解 1 连接AF交BC于点 再连接B1K K 又因为EF平面BB1C1CB1K平面BB1C1C所以EF 平面BB1C1C 练习 27 练2 P是长方形ABCD所在平面外的一点 AB PD两点M N满足AM MB ND NP 求证 MN 平面PBC 练习 过M作ME AD交BD于点E 连接EN 28 2 线面平行判定定理应用时应注意 面外 面内 平行 面面平行判定定理判定应用时应注意 两条 相交 小结 1 直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定 3 应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线 方法一 三角形的中位线定理 方法二 平行四边形的平行关系 方法三 线段成比例 作业 P562 P581 2 3 P623 7 8 29 30 3 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 若平面内的两条直线分别与平面平行 则与平行 2 若平面内有无数条直线分