《数学方法论》讲稿.doc

数学方法论讲稿一、概论1、数学方法论的概论数学方法论就是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问（徐利治教授在1983年写的数学方法论选讲）。显然数学方法论不仅涉及思维的对象-数学本身的辩证性，也涉及思维过程-认识及反映过程的辩证性，也就是说数学方法论不仅涉及到数学科学而且也涉及到思维科学。解析几何的创始人笛卡尔曾写过专著方法论，他特别强调怎样从数学解题过程中总结出一般的思想方法及法则。他曾说过这样的话：“我们所解决的每个问题，都成为以后解决其它问题的规则。”17世纪伟大的哲学家和数学家莱布尼兹也曾写过论发明的技巧等。2、宏观数学方法论与微观数学方法论推动数学的发展有两个因素：一是社会生产实践及科学技术发展的客观要求，这是外部因素；二是数学自身内部的矛盾运动，这是内部因素。在数学的整个发展过程中，这两个因素是相互交叉渗透的。在数学方法论的研究中，如果撇开社会生产实践与科学技术的推动的外部动力，专就数学内部体系结构中特定问题进行研究，这就属于微观数学方法论范畴。在数学方法论的研究中，如果撇开数学内在因素不提，专门研究数学反战的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求是怎样紧密相连的，这就是属于宏观数学方法论的范畴。所以，关于数学发展规律的研究属于宏观的数学方法论。关于数学思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观数学方法论。3、数学方法论的产生与发展以及它在数学历史发展中的一些作用数学方法的伟大变革，总是引起数学发展的巨大飞跃。每一时期数学发展的水平总是与那一时期数学方法的发展水平相适应的，数学方法与数学是同时产生并同步发展的。按照数学思想和方法的本质特征的差异，数学的发展大致可分为四个时期：（1）数学的萌芽时期从远古时代到公元前6世纪，这是积累事迹材料的时期，也是数学方法发生与积累时期。在这个时期，人类根据生活和生产的需要，主要研究天文历算、土地测量和水利工程计算、航海测量等实际计算和测量问题，总结出许多实际计算和测量方法。形成自然数、分数以及一些简单图形的概念，创立了初步的算术和几何，而且总结和积累了一些数学研究方法。（2）常量数学时期公元前6世纪到公元17世纪。这个时期数学研究的对象主要是客观事物相对静止状态下保持不变的量和形。数学对象是从实际事物的性质中抽象出来并把它理想化成纯粹的数学研究对象，并运用逻辑方法（主要是演绎法）把过去经验积累的零乱的数学知识整理成为演绎体系。数学引入了自己专有的符号系统，数学的表述、计算、推理和证明的方法日趋完善，这样，数学就从解决实际问题发展成为独立的科学，并形成了算术、几何、代数、三角等分支。出现了许多新的数学思想和数学方法。如：公理化思想和方法（欧几里得），形式逻辑（归纳法和演绎法，亚里斯多德），归纳逻辑（实验法和归纳法，弗兰西培根），极限的思想和方法（刘徽，九章算术）。（3）变量数学时期17世纪中叶到19世纪20年代。这个时期人们对自然界的认识，从研究客观事物的相对静止状态进而探索运动变化规律。数学研究的对象亦从常量到变量、从离散量到连续量、从有限到无限、从简单图形到复杂图形，从静态到动态的扩展，使数学发生了根本的变化。笛卡尔几何学-解析几何-数与形的结合，使数学从分散趋于统一。微积分-牛顿和莱布尼兹-分析学（函数为研究对象）。（4）近代和现代数学时期从19世纪20年代至今。这个时期，数学已成为分支众多，体系庞大的科学，数学的研究对象发生了重大变化，向更一般化、抽象化、多样化发展。几何由研究现实的1维、2维、3维空间发展到研究n维空间和非欧空间。代数从研究数的运算发展到研究研究抽象代数结构。数学分析从研究函数的基本性态发展到利用更新型的方法在更广阔领域中研究函数。由此可见，数学方法与数学是同时产生并同步发展的。数学的发展史也就是数学方法论的产生和发展的历史，数学的每一项重大成果的取得无不与数学思想方法的突破与创新有关。4、学习和研究数学方法论的意义和目的学习和研究数学方法论不论对促进数学的发展，数学功能的发挥，还是对改革数学教育，培养数学人才，都有十分重大的意义。特别是对数学教师的业务素质和知识结构的改善，有助于理解数学的本职和规律、理解数学的思维过程和思想方法，促进由对合理方法的不自觉的运用向有意识的自觉应用的转化，从而改善数学教师的业务素质和知识结构，提高驾驭教材的能力；使教师由“知识传授型”转化为“能力传授型”。作为数学教师，实现教学方法的突破与创新的关键，一是教育观念与教学思想的更新，而是教师本身知识结构与业务素质的改善与提高，三是具有勇于探索积极时间的精神。要想学好数学方法论，要学习有关的数学史和科学哲学，积极实践，联系实际，不断总结不断积累。二、数学的发现方法在数学上要有所发现、有所发明、有所创造和有所前进，首先应将具有一定数量和质量的经验材料，进行加工整理成为数学材料，从而形成数学猜想，建立数学命题，这种思维方法属于数学的发现方法。提出数学猜想的发现方法是多种多样的，常用的方法有：数学模型方法、观察法与实验法、归纳法与模拟法、抽象法与概括法、一般化方法与特殊化方法等。1.数学模型方法（MM方法）1.1数学模型方法的含义（一）模型的含义通过抽象、概括和一般化，把要研究的对象或问题转化为本职（关系或结构）同一的另一对象或问题。通常把被研究的对象或问题称为原型，而把转化后的相对定型的仿真化或理想化的对象或问题称为模型。模型必须能反映原型的整体结构、关系或某一过程、某一局部、某一侧面的本质特征和变化规律。因此，模型是关于客观对象的整体认识。科学研究的完成标志是从理论上建立合适的模型。模型分为物质模型和思想模型两种，而科学研究所要建立的是思想模型。（二）数学模型1、数学模型的含义数学模型就是将某种事物的特征和数量关系借助形式化数学语言而建立起来的一种数学结构。换句话说，数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。它不仅实在理想化的条件下，对现实原型近似的、简化的反映，而且常以抽象的数学关系式来解释现实原型的各种特性以及它们之间的规律。数学模型是将事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系在数量上加以描述。例如：1，2，3，n,是描述离散数量的数学模型。是计算圆形物体面积的数学模型。2、数学模型的种类（1）确定性数学模型确定性数学模型是描述确定性自然现象的数学模型。例1 在标准大气压下，将水加热，当温度升高到时，水必开始沸腾。这种现象从数量方面描述可用函数关系表示：设“1”表示水沸腾，“0”表示水部沸腾，表示温度变量，则函数就是一个确定性的数学模型的实例。它也可以用直观模型来表示：1100(2)随机性数学模型随机性数学模型是描写随即现象的数学模型。例如：一只鸡蛋孵小鸡，小鸡是雌是雄是一种随机现象，对这种随机现象可用特征函数来表示：设表示小鸡的性别，表示雌性，表示雄性，则这可作为小鸡性别的一个数学模型。（3）模糊性数学模型模糊性数学模型是描述模糊现象的数学模型。日常生活中会遇到这种现象，它缺乏明确的判断，用不精确的、非定量的模糊概念表达。如“远大于”、“接近于”、“张三个子很高”等就是一些模糊概念。近几十年发展起来的Fuuzy集合理论和Fuuzy逻辑成为研究这类模型的主要工具。备注： Fuzzy集合的概念是由美国控制论专家扎德（Zadeh）首次提出的，1965年，他发表了奠基性的论文模糊集合（Fuzzy Sets），这标志着模糊数学的诞生。从诞生至今，Fuzzy集合论得到了迅速发展，模糊数学已逐渐形成了一个新的独立的数学分支，在人工智能、自动控制、计算机等领域有着广泛的应用。为了克服秃头悖论，模糊集合论引入函数隶属度的概念。我们可以给一个形象的解释：给定论域（universe）也即被讨论的全体对象U，U中一部分元素全体称为U上的一个集合（set），模糊集合为了与康托集合（用字母表示）相区别用字母加符号表示，可以记为?，任意指定一个元素（行为）。若?记为1（表示绝对地属于模糊集合?），若?记为0（表示绝对地不属于模糊集合?），如果将换为具有单位长度的线段，若部分地在?内，又部分在?外，则表示了中介隶属关系，位于?内部的长度表示了对?的隶属程度，可以是0至1之间的任意一个数，见图。 函数隶属度示意图例3 远大于10的自然数。我们给出能反映一个数隶属于“远大于10”的程度的数量关系。如用来描述隶属于“远大于10”的程度的数量指标。，可以看出，对不同的自变量，取0,1的一切值。这个函数称为隶属函数，函数值成为元素X关于模糊集合F的隶属度。由此可见，隶属度与1愈接近，说明X对于F的隶属程度愈高。（4）突变性数学模型突变性数学模型是描述突变现象的数学模型。3、数学模型的构造方法数学模型是反映现实原型的，即是描述客观实体的。但对于同一个实际问题，可能抽象出不同的数学模型；而对于不同的实际问题，也可能抽象为同一个数学模型。一般地说，构造MM的基本过程可分以下几步：（1）掌握和积累现实原型的丰富数据和有关数据。确定所考察问题的系统，并抓住系统的主要矛盾，概括出系统特征的本质方面。（2）进行数学抽象。（3）检验。三、数学模型方法的涵义用数学模型方法解决问题的步骤：1.构造数学模型从实际对象出发，逐步抽象过度到数学模型。2.研究、处理数学模型对数学模型进行逻辑推理、论证或计算，求得数学问题的解。3.检验数学模型利用数学模型解决问题的过程如下图所示：现实问题数学模型数学问题的解实际问题的解数学抽象逻辑推理翻译回去有无解？例5 席位分配问题设某校有200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若学生会代表共设20个席位，问席位应当如何分配？分析：（1）系别学生人数所占比例按比例分配的席位按惯例分配甲100501010乙603066丙402044总和2001002020（2）最后一个席位给余数大的系别学生人数所占比例按比例分配的席位按惯例分配甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.020（3）防止平局，增加一个席位系别学生人数所占比例按比例分配的席位按惯例分配甲10351.510.81511乙6331.56.6157丙3417.03.573总和200100.020.021按惯例重新分配席位，总席位增加一位，丙系代表反而少了一位。为了解决这个矛盾，就必须修改“按惯例分配”的数学模型，提出更公平合理的分配模型。为此，我们首先考虑两方的分配情况。设A,B两方有人数，分别占有，个席位，则两方代表的人数之比分别为，仅当=时，分配才是合理的，我们用来描述“绝对不公平性”。但这种“绝对不公平性”还不是一个好的衡量标准。如A12010122B1001010C1020101022D100010100由上表可知，A、B之间的绝对不公平性与C、D之间的绝对不公平性相同，但是A、B之间比C、D之间存在着更严重的不公平。为此我们引进相对不公平性概念。如果，则A方每一个席位所代表的人数大于B方，故对于A方来说是吃亏的，我们定义下列数值为A方的相对不公平值，记作：同样，若，那么对B的相对不公平值为：假设A、B两方分别占有，个席位，现若增加一个席位，应该给哪一方呢？不是一般性，我们不妨假设，这时增加一席后可能出现下列三种情况：1），则A方虽然增加了一席位，仍对A方不公平，所以这一席位当然应当分配给A方。2），则A方虽然增加了一席位，将对B方不公平，这时尚不能决定这一席位到底给何方。为此，应先计算B方的相对不公平值：3) ,则当B方增加了一席位后，又出现对A方的不公平，于是再计算A的相对不公平值：于是席位分配应使相对不公平值尽量小，即当时，则分给A方，否则分给B方。注意到上式等价于记 。则增加的一席应该分配给Q值较大的一方。将上述方法推广到m方分配席位的情形。设方有人数，占有席位，当总席位增加一位时，分别计算则此一席位最大的一方。经计算，例4的三系增加的那一席应给甲系，即甲系11名，乙系6名，丙系4名，共21名代表。从而保住了由于增加总代表一名而丙系险些丧失的一名代表。2.观察法与实验法观察法和实验法是获取经验材料的基本途径，是形成、发现和验证科学理论的实践基础，也是自然科学研究中十分重要的方法和数学方法论中最基本的方法之一。1.1观察法观察法是数学方法中最基本的方法，正确地运用观察法对于培养学生的观察能力，提高教学效果都具有重大意义。一、观察法的含义观察法是人们对周围世界的客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获取经验材料的方法（又称自然观察法）。观察是很重要的心理活动，是感知的特殊形式，是有目的、有计划的、有组织的主动感知，在观察过程中，应随时比较所观察的对象，找出观察对象的相同点、相似点和相异点，这样才能观察深刻，从而发现观察对象的本质和内在联系。二、观察法的种类在数学教学中，常用的观察法有以下几种形式：1.以各种数学对象的现象作为观察内容，从中抽象出数学的概念和概率的观察方法。2.以各种图形、图像和图表作为观察内容，从中掌握数学对象性质的观察方法。3.以逻辑推理过程作为观察内容的观察方法。4.以数学式结构特征作为观察内容的观察方法。5.以各种数据和数量关系作为观察内容的观察方法。而在数学解题中，对命题条件和结论的观察，则是各种观察方法的结合，属于综合性观察。在数学解题中常用的观察方法有：1.结构特征观察法。 通过对所研究的问题的数或形的结构特征的仔细观察，发现隐含信息，从而导致问题的解决。2.数形结合观察法。数形结合是数学研究的一个基本观点，将数形结合起来考察，即利用图形观察数量关系或利用数量关系观察图形。3.多角度观察法。 对于一个数学问题，如果从不同角度进行观察，往往能使问题的内在联系变得明显，从而使问题的求解过程大为简化。4.动态观察法。 在运动变化过程中，有关的图形位置或数量关系易于充分显示，在变化中进行观察往往可以发现问题的隐含信息，为进一步的分析综合创造了十分有利的条件。例1 解方程：观察发现，左边1、3项之积与2、4项之积均为正常数，故可利用平均不等式求解。解 由于又因原方程的右端28刚好为24与4的和，所以得 解得。例2 已知由观察知原方程可化为，它是以C（5，12）为圆心，为半径的圆。是圆上任意一点到原点O的距离。的极值就是求圆上任意一点到原点的最大距离和最小距离，故本题可通过数形结合观察获解。512EFC如图，连接OC与圆交与一点E，并延长OC与圆交与另一点F，则OC=13, OE=13-3=10, OF=13+3=16.所以的极大值是16，极小值是10.2.2实验法（略）3. 归纳法通过观察、实验等途径，可以获得大量的经验材料，这是发现数学真理的基础，而归纳法是经验材料的数学组织化的方法，亦是发现真理的主要工具。事物间存在着特殊与一般的辩证关系，由特殊到一般，又由一般到特殊是人们认识运动的一般过程，归纳法就是这种认识运动中的一种推理形式。一、归纳法的含义归纳法就是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般结论的方法，也就是由特殊到一般的推理方法，归纳法又称为归纳推理。归纳推理的理论根据是归纳原理。如果在各种各类的条件下观察大量的S类对象，所有这些被观察的对象都具有性质P，则可断定所有S类对象都具有性质P，其推理模式为：例如；我们考虑和式。为了求出的表达式，我们考虑一些特殊情况：当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，由此，可以看出，前几项每一项都是一个数的完全平方，进一步考察可以发现，这个数应为，于是得到猜想有表达式。这样一个从特殊到一般的推理过程，就是归纳推理，它是属于“合情推理”的范畴。要想肯定它，还必须加以“演绎地”证明，但这并不意味着归纳的作用不大。实际上，对于数学上的发现与创新而言，归纳推理的巨大作用是论证推理所无法代替的。二、归纳法的种类由于归纳的情况不同，归纳法可按照它所考察的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法两种。1.完全归纳法完全归纳法是根据对某类事物的全部对象的考察，发现它们都具有某种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。完全归纳法又可分为穷举归纳法和类分法两种类型。（1）穷举归纳法穷举归纳法是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象逐一进行考察。例1 证明当是素数。本例可以一一验证，得出结论，这就是穷举归纳法。（2）类分法类分法是对具有无限多个对象的某类事物进行研究时，将这类事物划分为互相排斥，且其外延之和等于该类事物的几个子类（相当于概率论中的划分），对它们分别进行考察。如果这些子类都具有某种属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理。如果我们在论证时将一个子类看做一个对象，那么类分法也可以看做穷举法，统一起来看，完全归纳法可以看做以分类为基础的一种论证方法，由于完全归纳法是穷尽了被考察的每一类（个）为真以后才做出的结论，因此结论是确凿无疑的。故它是一种严格的推理方法。例2 某商店有3kg与5kg两种包装的糖果，数量极为充足，保证供应，求证凡购买8kg以上（整kg）的糖果时，都可以不拆包。分析 买8kg只要一包3kg和一包5kg。买9kg只要给3包3Kg.买10kg只要给2包5kg。故问题的实质是要证明，对于正整数，一定存在自然数m、n使。为了证明这一结论，我们只要对正整数N按模3分类分别进行讨论：3k,3k+1,3k-1.1）N=3k,3k=3m+5n,只要取n=0,m=k就可以了，其中。2)这时只要证明3k+1=3m+5n.因为1=10-33，所以3k+10-33=3m+5n，即3(k-3)+10=3m+5n.取m=k-3,n=2.3),这时只要证明3k-1=3m+5n.因为-1=-6+5，所以3k-6+5=3m+5n，取m=k-2,n=1.综合上述讨论，对任意正整数Nkg糖果，都可以用3kg包装和5kg包装不拆包付出。2.不完全归纳法不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。由于不完全归纳法的结论的判断范围超出了前提的判断范围，因而它是一种或然推理。在数学中，它又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法（科学归纳法）。(1)枚举归纳法枚举归纳法是根据某类事物的几个特殊对象具有某种属性而作出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。枚举归纳法虽然不能作为严格的论证方法，但它有助于发现解题线索和提供研究方向。因此它是数学学习和数学发现、发明的重要方法。它的步骤可概括为“实验归纳猜想”。枚举归纳法的推理形式为：例3 证明：数列12，1122，111222，的每一项都是两个相邻数的积。实验：12=34，1122=3334，111222=333334，归纳猜想：证明 则枚举归纳法又可具体分为弱归纳法与强归纳法。1）弱归纳法是指只考察某类事物中的一个特殊对象的属性就得出这类事物都具有这一属性的一般性结论的推理方法。2）强归纳法是根据考察某类事物中的几个特殊对象的属性就得出这类事物都具有这一属性的一般性结论的推理方法。（2）因果关系归纳法（科学归纳法）因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提，而作出一般性结论的推理方法。例如，设有数列求通项。实验：，归纳猜想：。这个结果就是用因果关系归纳法得出来的。由于因果关系归纳法体现了所研究的这类事物的本质方面，因此一般来说由因果关系归纳出来的结论要比由枚举归纳法得出的结论可靠性大。因果关系归纳法通常可分为五种情况，其推理模式如下：1）求同法情 况具有因素出现性质A、B、CPA、D、EPA、F、GP故 A是P的原因。2）差异法情 况具有因素出现性质A、B、CPB、CQ或不出现P故 A是P的原因。3）求同差异法情 况具有因素出现性质A、B、CPA、D、EPF、GQ或不出现PL、FR或不出现P故 A是P的原因。4）共变法情 况具有因素出现性质A1、B、CP1A2、B、CP2A3、B、CP3故 A是P的原因。5）剩余法情 况具有因素出现性质A、B、CP、Q、RBQCR故 A是P的原因。例5 设，试求数列。解 ， ，用求同法可发现不论n取何值，总是以作为分母，以余弦函数作分子。由共变法发现，当n=1时，对应的分子为，当n=2时，对应的分子为，如此继续下去归纳可得。由于因果关系归纳法体现了所研究的这类事物的本质方面，因此它是一种科学归纳推理方法。不完全归纳法可以帮助人们发现真理，启发人们猜想。可以说，几乎所有的数学家都肯定了归纳法是自己作出新发现的工具。但也要注意，不完全归纳法仅列举了归纳对象中的一小部分，前提和结论之间不一定有必然的联系，不完全归纳法只是合情推理，所以用不完全归纳法得到的结论不一定正确，需要经过严格的演绎证明或实践检验，才能被确认。在数学史上，应用不完全归纳法作出的猜想，但后来被证明是错误的例子不少，特别著名的如法国数学家费马关于表达式表示素数的猜想。他发现都是素数，就猜想一切（费尔玛数）都是素数。但几十年后欧拉证明了并非素数，从而推翻了费马的猜想，两百多年来，人们发现只有前五个费马数是素数，以研究过的其余50多个费马数都是合数。3.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法。证明的步骤是：（1）验证当n=1时，命题正确；（2）假设n=k时命题成立，以此为前提来证明n=k+1时命题也成立。根据（1）、（2）断定命题对于全体正整数都正确。这种证明方法是从第（1）步n=1时命题正确得出个别判断，再通过第（2）步得出命题对于全体正整数都正确的全称判断。这种证明方法表面上好像从特殊到一般的推理方法，因此把它看作归纳法。实质上这种方法是以佩亚诺的自然数性质公理：“任何一个自然数集合，如果包含1，并且当它包含时，一定包含的后续数，那么它包含所有的自然数。”作为大前提来得出结论的。因此这种推理属于演绎法的三段论形式。这种证明方法的实质是演绎法。三、归纳法的作用1.具有发现真理，探索真理的作用由于归纳法是从经验材料（即科学事实）中得出普遍规律和一般性结论的推理方法，因此它具有发现真理的作用。另外归纳法通过对个别事实的考察，使我们看到真理的苗子，受到启发提出假设和猜想，起到探索真理的作用。例如，著名的哥德巴赫猜想是用不完全归纳法提出来的。18世纪，德国数学家哥德巴赫发现，大量的偶数都可表示为两个奇素数之和，如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11，16=3+13，100=47+53，由此，哥德巴赫猜想，任一个大偶数都能表示成两个奇素数之和，这就是著名的哥德巴赫猜想。哥德巴赫在1742年6月7日写信给欧拉提出了这一猜想。欧拉相信它是正确的，但未能给出证明。19世纪末到20世纪初，曾有人做了许多验证，直到三千三百万以内的偶数都是对的。但即使如此，也不能证明哥德巴赫猜想的正确性。1931年，苏联数学家史尼雷尔曼证明了每个偶数能表示为不多于3000000个质数之和，后来苏联数学家维塔格拉多夫证明了每个偶数可表示为不多于四个质数之和。同时，证明也沿着另一个方向进行，即将大偶数N写成两个自然数之和：,设的质因子个数为s，的质因子个数为t。哥德巴赫问题等价于要证明，对大偶数N，总有s=1,t=1即“1+1”。1921年，挪威数学家布隆证明了“9+9”。其后，结论不断改进，一直到1973年，陈景润证明了“1+2”，这是目前世界上最好的结果。（陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”）2.在数学教学中具有广泛的应用在数学教材中有许多定理、法则、公式等，是按照从特殊到一般的认识规律，通过对特例的观察、分析、研究，从而归纳出一般结论，然后再给出严格的证明。例如，图多面体顶点数、棱数、面数之间的欧拉公式，二项展开式中系数的杨辉三角形等，都是经过这样的过程得出的。不完全归纳法通常可作为数学教学中发现命题，引入命题的方法。在数学教学中，应注意对学生不完全归纳法能力的培养。3.在解题教学中，可用归纳法帮助我们由特殊性认识普遍性，指明探索方向，发现解题途径，并进而培养学生的创新意识和提高创造性思维能力。例6 把个互不相等的实数排列成以下形式在各行中先取每行的最大数而得到n个数，其中最小的为；在各列中再取每列的最小数也得到n个数，其中最大的为。试比较和的大小。先观察特殊情况。若n=3，任取9个互不相等的实数排成下面形式：其中各行的最大数中的最小数是，各列中的最小数中的最大数是，而与同行与同列的那个数为。因为所以。再归纳一般情况。设各行的最大数中的最小数为，各列的最小数中的最大数为，则与同行且与同列的数为，由、的定义得，所以。4.类比法类比法是数学发现中最常用最有效的方法，它在科学发展史上起了重大作用。开普勒曾说过“我珍视类比胜过任何东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容忽视的。”拉普拉斯指出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”这说明类比法在科学思维中的作用。一、类比法的含义类比法就是根据不同的两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法。类比法的推理模式为：A具有性质F1，F2，Fn, PB具有性质F1，F2，Fn, B具有性质P在科学上，不少新的学说是基于类比的方法建立起来的。如对各类动物特性的研究导致“仿生学”的发展，傅里叶将热的传导与水的流动作类比，建立了传热学的精密理论。掌握类比法，首先要善于观察事物的特点，要注意从不同事物中发现它们的相同或相似之处，并研究造成这种相同或相似的原因。其次，要善于联想，联想指的是从事物的相互联系中来考虑问题，从一事物或关系联想到与它性质相同或相似的其他事物或关系；从一种方式方法联想到与其作用类似的各种方式方法；从一个概念定理联想到与它关系比较密切的一类概念、定理。解决任何一个问题，我们都应联想是否有与其相似的问题，回想各种有关的知识和经验，往往能使我们发现问题的症结。显然，类比法是属于合情推理，它的结论需要经过严格的演绎证明。二、类比法的种类类比法的出发点是对象间的相似性，而相似对象又是多种多样的。属性之间又有这样那样的关系，随着对这些关系的不断深化，类比法也就出现了各种类型。从总体上说，类比法可分为简单类比复杂类比。从被比较的对象的属性间的相互依存状态来说，类比法又可分为严格类比与不严格类比。若将二者结合起来考虑，则类比法可分为以下几类：1.简单共存类比法它是根据对象的属性间具有简单共存关系而进行的推理。简单共存类比的推理模式为：A具有属性a、b、c、dB具有属性a、b、cB可能具有属性d2.因果类比法它是根据对象的属性间可能具有同一种因果关系而进行的推理。因果类比的推理模式为：A中属性a、b、c与d有因果关系B中属性、与a、b、c相同或相似B可能具有属性（与d相同或相似）3.对称类比法它是根据对象属性之间具有在对称性而进行的推理。4.协变类比法（数学相似类比法）它是根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理。5.综合类比法它是根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理。三、类比法的作用1.类比法是科学发现、发明的重要方法类比法是立足与已有知识的基础上，进一步发现科学知识的一种有效的探索方法。徐利治教授对归纳和类比在数学创造性活动中的作用不仅作了充分肯定，而且还指出在从事创造性的科研活动中，常用下列途径和步骤：从具体问题具体素材出发实 验归 纳推 广类 比联 想预 见形成普遍命 题证 明数学发展史上，应用类比使数学得到创新发展的例子不胜枚举。我们仅以欧拉解决自然数倒数平方的和为例。雅克伯努利是17世纪著名数学家，他与牛顿、莱布尼兹同一时代，在古典微积分和古典概率论上都有贡献，他发现过几个无穷级数的和，但他无法算出正整数倒数的平方和：于是，他公开征求答案，但遗憾的是，直到他去世，他也未看到这一问题的解决。数十年后，欧拉注意到这个问题，他用各种方法考虑这个问题，并未获得满意结果，最后，类比法引导他作出一个大胆猜测。首先，设n次方程 有n个不同根，则有表达式类似地，若所有的，则上式也可写成。故 对于具有形式的2n次方程，设它有2n个不同的根则有。考虑上式展开时，项的系数有欧拉进行的大胆又奇妙的类比是考虑方程，这相当于()这可看成一个只含偶次项的无穷次代数方程，其根显然为。式（5）与式（3）相类似处表现为它们只含偶次项，符号形式上均为“+、-”相间，均有不等于零的相异实根，而只有“无限”与“有限”之区别。因此，欧拉的思路可能是，对于（3）式这个一元的只含偶次的2n次方程，当有2n个都不为零的不同的根时，那么这2n个满足（4）式；于是他想（5）式也是一元只含偶次的无限次方程，它应该有无限多个不同的根，并且这无限多个根也应该有类似于（4）式的等式。于是采用类比法，即仿照上述2n次多项式的分解法，应有这就是著名的“欧拉乘积公式”，再比较展开式中项的系数，就有由此得 。这样，伯努利的问题得到了解答。2.类比法是系统掌握新知识，巩固旧知识，是新旧知识融汇贯通的有效方法。在教学中有很多知识可以作为类比的素材。数的运算与式的运算的类比，平面几何与立体几何的类比，定积分与不定积分的类比，连续与不连续的类比。在教学时，如果我们有意识地引导学生注意有关知识之间的类比关系，从旧知识“发现”新知识，将会提高学生的学习兴趣，取得良好的教学效果。知识之间的类比，方法之间的横向联系，有利于扩展学生思路，培养学生进行联想的能力，从而提高学生的学习和科研能力。3.在数学解题中类比法具有启发思路，提供线索，触类旁通的作用。哲学家康德说“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。当我们面临一个比较生疏或者比较复杂的数学问题时，往往可以寻找一个比较熟悉或者比原问题简单的问题作为类比对象。有时原问题的解决途径和方法与类比对象的解决途径和方法有些类似，有时类比对象的解决途径和方法为原问题提供了一种解决类似问题的模式或程序。因此，通过对类比对象的解决途径和方法的分析研究，往往能获得原问题的解决途径和方法。用类比法指导解题，关键在于寻找一个合适的类比对象。5. 抽象法与概括法抽象法与概括法也是数学方法论中的重要方法，它们在科学研究和教学中都具有重要的地位和作用。5.1 抽象法一、抽象法的含义抽象法就是透过事物的现象，深入里层，抽取事物本质的一种过程和方法。数学中的抽象就是仅考虑问题的有关数、形方面主要特征、主要关系。尽可能用数学概念、数学符号、数学表达式去表现事物对象及关系，而舍弃一切次要因素。这样，我们就可以将一个实际问题转化成一个数学问题，建立起相应的数学模型。对这个模型建立一套逻辑系统，就得到相应的数学理论，然后求得问题的解答。二、抽象法的种类数学抽象的具体形式是多种多样的，常用的有以下几种：1.理想化抽象 这是在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化、完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的，偶然的因素，聚合事物的一般的、公共的、本质的属性，抽象出相应的数学概念，它是建立数学概念的一种基本方法。由理想化抽象形成的数学概念的性质，并非必然的客观事物本身所具有，而是从实际事物中分离出来经过思维的加工而得到的。例1 7只茶杯，杯口朝上，将其中4只翻转来（杯口朝上的变为杯口朝下的，杯口朝下的变为被扣朝上的），称为一次“运动”。试问：是否能经过有限次运动，使得茶杯的杯口全部朝下?分析:从表面上看，本题不像数学问题，为了能用数学方法解决，可以利用理想化抽象将问题“数字化”：把杯口朝上记为（+1），北口朝下记为（-1），每次运动将其中4个数改变符号，这相当于将其中4个数各“乘以”（-1）。这里的（+1）和（-1），显然满足普通算术中乘方的运算法则：这样，原问题就等价于：能否经过有限次运动，将7个（+1）变为7个（-1）。开始时，7个数全为（+1），其“积”是，每运动一次，就相当于将4个数各“乘以”（-1），而。所以不论经过多少次运动，7个数的“乘积”保持不变，仍为（+1）。而北口朝下，相当于7个数全为（-1），其“乘积”为（-1），所以经过有限次运动，7个（+1）决不会变为7个（-1）。也就是说，经过有限次运动，不能将茶杯杯口全部朝下。在利用理想化抽象解决实际问题时，进行“适当”的抽象是关键，既不能使问题过于简单化，与实际情况有较大的出入，也不能使抽象后的数学问题过于复杂，以致不能顺利解决。2.等价抽象（亦称等置抽象） 这是从一类对象（具体的或抽象的个体）抽出其中具有某种共同属性的抽象方法。等价抽象实质上是把所考察的一类对象分割为若个等价集合使属于同一集合的任何两个个体都具有某种共同属性，不属于同一集合的个体之间不具有这种属性。若把这些等价集合看成新的元素，它们所代表的就是各集合中所有个体的共同属性。例2 在除数（在同余数理论中，称为模数）确定了的情况下（不妨设模数为3），同余的关系显然满足对称性、传递性和自反性（注：a,b是属于集合的元素,R是关系,则有:1、自反性-即对集合中的每一个元素a都有aRa2、对称性-即对集合中的任意元素aRb,aRb成立当且仅当bRa成立3、传递性-即对集合中的任意元素abc若aRb和bRc成立则aRc一定成立。）。因此可以利用等价抽象建立同余类数的概念，即【0】=x|x是自然数且其被3除所得的余数为0，【1】=x|x是自然数且其被3除所得的余数为1，【2】=x|x是自然数且其被3除所得的余数为2。对同余数也可引进相应的运算。例如，它们的加法和乘法可以分别定义于下：加法【0】【1】【2】乘法【0】【1】【2】【0】【0】【1】【2】【0】【0】【0】【0】【1】【1】【2】【0】【1】【0】【1】【2】【2】【2】【0】【1】【2】【0】【2】【1】这样，我们就得到了一个新的代数系统，这是一个只有3个元素的有限代数系统。3.强抽象与若抽象强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念特例的新概念的方法。也就是通过扩大原概念的内涵，以建立新概念的抽象方法。例如，由对数概念出发，限制底数取10或e，则得到常用对数及自然对数的概念。函数概念加上连续性则得到连续函数等等。弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念更加广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。也就是通过缩小原概念的内涵，以建立新概念的抽象方法。例如，由锐角三角函数概念，放宽对“锐角”的限制，借助弱抽象，得到任意角三角函数概念，而角的范围由锐角拓广为任意角，扩大了概念的外延。强抽象与弱抽象是相互联系的，但它们的思维方式正好完全相反。例如，在四边形的概念中，增加“两组对边分别平行”这个条件，通过强抽象可得到平行四边形概念；平行四边形概念，去掉“两组对边分别平行”的限制，由弱抽象便得到四边形的概念。因此，恰当地利用强抽象和弱抽象的思想，还可用于分析数学概念的层次结构，还有助于找出概念或定理的原型，弄懂它们的含义，这无疑对于数学教学设计很有参考价值。4.存在性抽象 这是指在研究问题的过程中，有时抽象出来的数学概念，起初人们往往认为是不存在的，这时可以假设其存在性，并由此推出一定的数学理论，然后再在理论与实践的结合中加以验证，从而确定新的数学理论的合理性。例3 关于虚数的概念。虚数源于方程的研究。16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的公式解：利用这个公式可以求得方程的根为）在上式的根式里含有负数开平方问题。在当时，对于负数开平方究竟是怎样一种运算，人们还一无所知。但是，另一方面，由观察法可知，是原方程的一个根，从而有这就是说，原方程有3个实数根。到此必然会提出这样的问题，能否通过负数开平方，得到三次方程的实数根。由此，作为一种合乎逻辑的解释而引进了虚数的概念，并在进一步发展中加以运用，经受了理论和实践的验证，最后于18世纪末至19世纪初才确立了虚数在数学中的地位。三、抽象法的作用1.概念是抽象思维的结果科学理论的完整体系都是由概念、与概念相应的基本定律，以及用逻辑推理得到的结论三者所构成的。因而各门科学都有自己一系列的科学概念，而构成科学理论的基本因素的概念，不仅是实践发展的产物，而且也是科学抽象思维的结果。作为科学抽象结果的概念，在形式上是抽象的主观的，但在内容上是具体的、客观的。2.抽象法在科学发现中起着重要的作用抽象法在科学发现中是一种不可少的方法，因为不论怎样的规律、怎样的因果关系，人们要发现它们，总是运用抽象方法。在数学发展史上，许多数学命题亦是运用抽象法发现的。例如，哥尼斯堡七桥问题。（P70P71）。5.2概括法一、概括法的含义由认识个别事物的某种属性，推广到认识同类事物的共同属性的方法叫做概括法。概括的过程，是思维从个别到一般的过程，也是个别与一般相结合的过程。概括的方法就是把认识推广的方法。只有运用概括的方法，才能把个别事物的本质属性中抽象出来的概念和认识推广到同类的一切对象，成为更广泛的概念和更一般的认识，因此，概括是科学研究和学习的重要认识方法。在数学中，广泛地运用了概括的方法，并且对数学的发展起了很大的作用。例如，自然数的运算性质（加法乘法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律）推广到有理数运算，进一步推广到实数和复数的运算。就是运用了概括的方法。又如，在数学研究中，常常把1维，2维，3维空间图形的一些性质和概念推广到高维的情形。这也是运用了概括的方法。二、概括的种类概括可分为经验的概括与科学的概括，经验的概括是对事物外部属性和外部特征的概括，是一种较低级的概括，科学概括是在思维基础上对事物本质属性的概括，是一种较高级的概括。例如，从具体的二元二次方程组的解法中，总结出二元二次方程组的几种类型及其解法，这是经验的概括；而认识其中由高次向低次、由多元向一元化归的思想，认识降次、消元的各种化归策略和法则是科学的概括。在数学中进行概括有两种常用的方法。1.把研究的固定对象，扩大到研究包括这个固定对象在内的更大范围的可变的对象。例如，从研究三角形的性质扩大到研究各种可变的多边形的性质；从研究柱、锥、台的概念扩大到研究拟柱体（所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体）、曲顶柱体、一般几何体的概念等。这是由研究对象的迁移和研究范围的扩充进行概括的方法。2.取消或放宽被研究对象的条件限制，即在更宽广的范围内或较少的条件下研究同一对象。例如，以某一区间内研究三角函数数所得的性质为基础，进而取消这个区间的限制，扩大到在实数范围内研究这个三角函数的性质；在闭区间上的定积分的计算，演变为广义积分的计算等等。这是由研究对象条件的放宽进行概括的方法。三、概括的作用以抽象为基础的概括是抽象的发展。抽象度愈高则概括性愈强，这样获得的概念和理论运用于实际时，其迁移范围就愈广阔。因此，高度的概括对事物的理解更具有一般性，所获得的理论或方法就具有更普遍的指导性。可见，概括方法在科学研究和学习中的重要作用。在数学中，形成数学概念、发现数学命题、提炼数学模型等方面概括方法都具有重要作用。抽象和概括是密切相联的。抽象思维侧重于分析、提炼，概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每一个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节最后进行理论概括的结果。例4 设，且，求证：分析 从已知条件及结论的形式可抽象概括出数学模型：由此联想到熟知的数学模型：当且仅当时，有利用此数学模型可使原问题解