北师大版数学九年级(上册)(全册)复习.ppt

北师大版九年级上册期末总复习典型题 CONTENT 目录 第一章特殊的平行四边形 知识归纳 1 菱形的定义和性质 1 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 性质 菱形的四条边都 菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分一组对角 菱形是中心对称图形 它的对称中心是两条对角线的交点 菱形也是轴对称图形 两条对角线所在的直线是它的对称轴 相等 垂直平分 注意 菱形是特殊的平行四边形 故它具有平行四边形的一切性质 2 菱形的判定方法 1 有一组邻边相等的 是菱形 2 对角线互相垂直的 是菱形 3 四边相等的 是菱形 平行四边形 平行四边形 四边形 辨析 四边形 平行四边形 菱形关系如图S1 1 3 菱形的面积 1 由于菱形是平行四边形 所以菱形的面积 底 高 2 因为菱形的对角线互相垂直平分 所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形 故菱形的面积等于两对角线乘积的一半 4 矩形的性质 1 矩形的对边 2 矩形的对角 3 矩形的对角线 4 矩形的四个角都是直角 或矩形的四个角相等 5 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的 三角形 6 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 对称轴有 条 对称中心是对角线的交点 平行且相等 相等 互相平分 相等 等腰 两 7 矩形的面积等于两邻边的 乘积 注意 利用 矩形的对角线相等且互相平分 这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的 一半 5 矩形的判定 1 有一个角是直角的 是矩形 2 有三个角是直角的 是矩形 3 对角线相等的 是矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 6 正方形的性质 1 正方形的对边 2 正方形的四边 3 正方形的四个角都是 4 正方形的对角线相等 互相垂直 互相平分 每条对角线平分一组对角 5 正方形既是轴对称图形 又是中心对称图形 对称轴有 条 对称中心是对角线的交点 平行 相等 直角 四 7 正方形的判定 1 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2 有一组邻边相等的 是正方形 3 有一个角是直角的 是正方形 矩形 菱形 注意 矩形 菱形 正方形都是平行四边形 且是特殊的平行四边形 矩形是有一个内角为直角的平行四边形 菱形是有一组邻边相等的平行四边形 正方形既是矩形 又是菱形 8 中点四边形中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形 我们可以得到下面的结论 1 顺次连接四边形四边中点所得的四边形是 2 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是 3 顺次连接菱形四边中点所得的四边形是 4 顺次连接正方形四边中点所得的四边形是 5 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 总结 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是 菱形 矩形 考点一菱形的性质和判定 考点攻略 例1如图S1 2 菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O 点E F分别为边AB AD的中点 连接EF OE OF 求证 四边形AEOF是菱形 解析 由点E F分别为边AB AD的中点 可知OE AD OF AB 而AE AF 故四边形AEOF是菱形 方法技巧在证明一个四边形是菱形时 要注意 首先判断是平行四边形还是任意四边形 若是任意四边形 则需证四条边都相等 若是平行四边形 则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明 考点二和矩形有关的折叠计算问题 例2如图S1 3 将矩形ABCD沿直线AE折叠 顶点D恰好落在BC边上的F点处 已知CE 3cm AB 8cm 求图中阴影部分的面积 解析 要求阴影部分的面积 由于阴影部分由两个直角三角形构成 所以只要根据勾股定理求出直角三角形的直角边即可 方法技巧矩形的折叠问题 一般是关于面积等方面的计算问题 主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力 解决与矩形折叠有关的面积问题 关键是将轴对称的特征 勾股定理以及矩形的有关性质结合起来 考点三和正方形有关的探索性问题 例3如图S1 4 在正方形ABCD中 点E在BC上 BE 3 CE 2 点P在BD上 求PE与PC的长度和的最小值 解析 连接AP AE 由正方形关于对角线对称将PC转移到PA 要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值 易知当P在AE上时 PA PE最小 解 连接AP AE 如图S1 5 方法技巧正方形是一种特殊的四边形 它里面隐含着许多线段之间的关系或角之间的关系 我们要充分利用正方形的特性 结合图形大胆地探索 归纳 验证即可使问题获解 第二章一元二次方程 知识归纳 1 一元二次方程只含有一个未知数的整式方程 并且都可以化为 a b c为常数 a 0 的形式 这样的方程叫做一元二次方程 注意 定义应注意四点 1 含有一个未知数 2 未知数的最高次数为2 3 二次项系数不为0 4 整式方程 ax2 bx c 0 2 一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0 a b c为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 其中ax2 bx c分别称为 和常数项 a b分别称为二次项系数和一次项系数 3 直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义 直接开平方法适用于解形如 x a 2 b b 0 的一元二次方程 根据平方根的定义可知x a是b的平方根 当b 0时 x 当b 0时 方程没有实数根 二次项 一次项 4 配方法 1 配方法的基本思想 转化思想 把方程转化成 x a 2 b b 0 的形式 这样原方程的一边就转化为一个完全平方式 然后两边同时开平方 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤 化二次项系数为1 含未知数的项放在一边 常数项放在另一边 配方 方程两边同时加上 并写成 x a 2 b的形式 若b 0 直接开平方求出方程的根 一次项系数一半的平方 5 公式法 1 一元二次方程ax2 bx c 0 b2 4ac 0 的求根公式 x 2 用公式法解一元二次方程的一般步骤 把一元二次方程化成一般形式 ax2 bx c 0 a 0 确定a b c的值 求b2 4ac的值 当b2 4ac 0时 则将a b c及b2 4ac的值代入求根公式求出方程的根 若b2 4ac 0 则方程无实数根 6 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 1 将方程变形为右边是0的形式 2 将方程左边分解因式 3 令方程左边的每个因式为0 转化成两个一次方程 4 分别解这两个一次方程 它们的解就是原方程的解 9 列方程解应用题的一般步骤 1 审题 通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 2 设元 就是设未知数 分直接设与间接设 应根据实际需要恰当选取设元法 3 列方程 就是建立已知量与未知量之间的等量关系 列方程这一环节最重要 决定着能否顺利解决实际问题 4 解方程 正确求出方程的解并注意检验其合理性 5 作答 即写出答语 遵循问什么答什么的原则写清答语 考点一用配方法解方程 考点攻略 例1用配方法解方程 3x2 4x 4 0 解析 用配方法解一元二次方程 关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方 转化为 x m 2 n的形式 当n 0时 直接开平方求得方程的根 考点二用分解因式法解方程 例2用分解因式法解方程 x 3 2 3 x 0 解析 经过变形后可用提取公因式法分解因式 解 原方程变形为 x 3 2 x 3 0 x 3 x 3 1 0 即 x 3 x 4 0 x 3 0或x 4 0 x1 3 x2 4 考点三用公式法解方程 例3用公式法解方程 x2 x 1 0 解析 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式 再确定a b c的值 考点四增长率问题 例4某种电脑病毒传播非常快 如果一台电脑被感染 经过两轮感染后就会有81台电脑被感染 请你用学过的知识分析 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制 3轮感染后 被感染的电脑会不会超过700台 解析 增长率问题在近年中考试题中频频出现 解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比 解 设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 则经过1轮后有 1 x 台被染上病毒 2轮后就有 1 x 2台被感染病毒 依题意 得 1 x 2 81 解得x1 8 x2 10 舍去 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑 由此规律 经过3轮后 有 1 x 3 1 8 3 729台电脑被感染 由于729 700 所以若病毒得不到有效控制 3轮感染后 被感染的电脑会超过700台 第三章概率的进一步认识 知识归纳 1 频率与概率 1 当试验次数很大时 试验频率稳定在相应的附近 因此 我们可以通过多次试验 用一个事件发生的来估计这一事件发生的 2 涉及两步试验的随机事件发生的概率 有两种基本的计算方法 它们分别是 注意 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同 概率 频率 概率 树状图法 列表法 2 试验估算估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是 但有时试验和调查既费时又费力 个别的试验和调查根本无法进行 此时我们可采用的方法 试验估算 模拟实验 3 池塘里有多少条鱼一个口袋中有m个黑球 已知 和若干个白球 如果不许将球倒出来数 则有两种方法可以估计出其中的白球数x 平均水平 平均水平 考点一利用频率估计概率 考点攻略 例1为了估计水塘中的鱼数 养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼 在每条鱼身上做好记号后 把这些鱼放归鱼塘 再从鱼塘中打捞200条鱼 如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的 则鱼塘中的鱼可估计为 A 3000条B 2200条C 1200条D 600条 C 考点二利用概率帮助说理 例2甲袋中放有21只红球和9只黑球 乙袋中放有190只红球 90只黑球和10只白球 这三种球除了颜色以外没有任何区别 两袋中的球都已搅匀 随机从袋子中取出一只球 如果你想取出1只黑球 选择 袋成功的机会大 乙 第四章图形的相似 知识归纳 1 线段的比的定义在同一单位长度下 两条线段 的比叫做这两条线段的比 2 成比例线段四条线段a b c d中 如果a与b的比等于c与d的比 即 那么这四条线段a b c d叫做成比例线段 长度 ad bc b d f n 0 4 平行线分线段成比例定理及推论定理 两条直线被一组 所截 所得的对应线段 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交 截得的对应线段 平行线 成比例 成比例 5 相似多边形的定义对应角 对应边 的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形 叫做相似比 注意 判定两个多边形相似 对应角相等 对应边成比例 两个条件缺一不可 相等 成比例 对应边的比 6 相似多边形的性质相似多边形的对应角 对应边 周长的比等于 面积的比等于 7 相似三角形的定义对应角 对应边 的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形 叫做相似比 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相等 成比例 对应边的比 8 相似三角形判定方法 两个三角形相似 一般说来必须具备下列六种情形之一 两角分别相等 三边成比例 两边成比例且夹角相等 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形 并能根据问题需要添加适当的辅助线 构造出基本图形 问题即可得以解决 9 黄金分割黄金分割的意义 如图S4 4 点C把线段AB分成两条线段AC和BC 如果 那么称线段AB被点C黄金分割 其中点C叫做线段AB的黄金分割点 AC与AB的比叫做 黄金分割的比值是一个定值 即AC AB 0 618 黄金比 10 相似三角形的性质相似三角形的对应角 对应边 相似三角形的对应中线的比等于 对应高的比等于 对应角对应角平分线的比等于 周长之比等于 相似三角形面积之比等于 11 测量物体的高度 1 利用 的有关知识测量旗杆 或路灯杆 的高度 2 测量的方法有三种 利用 利用 利用 相等 成比例 相似比 相似比的平方 三角形相似 阳光 标杆 镜子 相似比 相似比 相似比 12 位似图形的定义如果两个相似图形的每组对应点所在直线都交于一点 那么这样的两个图形叫做 这个点叫做 此时 两个相似图形的相似比又叫做它们的 13 位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在 它们到位似中心的距离之比等于 位似图形 位似中心 位似比 同一直线上 位似比 考点一三角形相似的判定 考点攻略 例1如图S4 5 添加一个条件 使 ADE ACB 写出一个即可 ADE ACB 答案不惟一 考点二相似三角形的判定和性质 例2如图S4 6 在梯形ABCD中 AD BC 若 BCD的平分线CH AB于点H BH 3AH 且四边形AHCD的面积为21 求 HBC的面积 解析 因为问题涉及四边形AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角形的面积比加以解决 考点三相似三角形的判定与分类讨论 例3在 ABC中 P是AB上的动点 P异于A B 过点P的一条直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC相似 我们不妨称这种直线为过点P的 ABC的相似线 如图S4 7 A 36 AB AC 当点P在AC的垂直平分线上时 过点P的 ABC的相似线最多有 条 3 解析 当PD BC时 APD ABC 当PE AC时 BPE BAC 连接PC A 36 AB AC 点P在AC的垂直平分线上 AP PC ABC ACB 72 ACP PAC 36 PCB 36 B B PCB A CPB ACB 故过点P的 ABC的相似线最多有3条 考点四构造相似三角形测量物体的高度 宽度或深度 例4一天 某校数学课外活动小组的同学们 带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的 圆锥形坑 的深度 来评估这些深坑对河道的影响 如图S4 9是同学们选择 确保测量过程中无安全隐患 的测量对象 测量方案如下 先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34 54米 甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上 经过适当调整自己所处的位置 当他位于点B时 恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S 甲同学的视线起点C与点A 点S三点共线 经测量AB 1 2米 BC 1 6米 根据以上测量数据 求 圆锥形坑 的深度 圆锥的高 取3 14 结果精确到0 1米 第五章投影与视图 知识归纳 1 画三视图的原则画三视图时 应注意主 俯视图要 主 左视图要 左 俯视图要 注意 在画圆锥的俯视图时 要注意不要漏掉圆心处的实点 长对正 高平齐 宽相等 2 三视图的画法首先观察物体的几何构成 确定主视图的位置 依次画出视图的外轮廓线 然后将视图补充完整 看得见的轮廓线用实线 看不见的轮廓线用虚线 总结 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系 1 主视图中的上 下 左 右对应物体的上 下 左 右 2 俯视图中的上 下 左 右对应物体的后 前 左 右 3 左视图中的上 下 左 右对应物体的上 下 后 前 3 画三视图的顺序三种视图中首先应确定主视图的位置 画出主视图 然后在主视图下面画出俯视图 在主视图右面画出左视图 4 平行投影太阳光线可以看成是的光线 像这样的光线所形成的投影称为平行投影 平行 点拨 平行投影与视图的联系 事实上 在特殊位置下 投影线与投影面垂直时 物体的平行投影就是物体的三种视图 物体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影 左视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影 俯视图是一束平行光线从正上方照射形成的平行投影 5 中心投影探照灯 手电筒 路灯和台灯的光线可以看成由一点发出的 像这样的光线所形成的投影称为中心投影 点拨 中心投影与平行投影的区别 太阳光线是平行的光线 灯光的光线是从一点发出的 考点一确定物体的三视图 考点攻略 B 解析 B容易看出主视图有两层组成 最上层一个正方形 第二层三个正方形 B 考点二由视图确定物体 例2由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图S5 2所示 则搭成这个几何体的小立方体的个数是 A 3B 4C 5D 6 解析 B由主视图可以看出几何体有两层 由俯视图可以看出第一层有