高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图象和性质4.4.3不同函数增长的差异讲义新人教A版.docx

4.4.2对数函数的图象和性质 4.4.3不同函数增长的差异基础自测1函数yex的图象与函数yf(x)的图象关于直线yx对称，则()Af(x)lg xBf(x)log2xCf(x)ln x Df(x)xe解析：易知yf(x)是yex的反函数，所以f(x)ln x.答案：C2若log3a0，b1，则()Aa1，b0 B0a1，b0Ca1，b0 D0a1，b0解析：由函数ylog3x，yx的图象知，0a1，b0.答案：D3下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay3x By103xCylog2x Dyx3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.答案：A4函数f(x)log3(4xx2)的递增区间是_解析：由4xx20得0x4，函数ylog3(4xx2)的定义域为(0,4)令u4xx2(x2)24，当x(0,2时，u4xx2是增函数，当x(2,4时，u4xx2是减函数又ylog3u是增函数，函数ylog3(4xx2)的增区间为(0,2答案：(0,2题型一比较大小教材P133例3例1比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a0，且a1)【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数ylog2x的两个函数值因为底数21，对数函数ylog2x是增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数ylog0.3x的两个函数值因为底数0.31，对数函数ylog0.3x是减函数，且1.82.7，所以log0.31.8log0.32.7.(3)loga5.1和loga5.9可看作函数ylogax的两个函数值对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论当a1时，因为函数ylogax是增函数，且5.15.9，所以loga5.1loga5.9；当0a1时，因为函数ylogax是减函数，且5.15.9，所以loga5.1loga5.9.构造对数函数，利用函数单调性比较大小教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1(1)设alog2，blog，c2，则()Aabc BbacCacb Dcba(2)比较下列各组值的大小：log0.5，log0.6. log1.51.6，log1.51.4.log0.57，log0.67. log3，log20.8.【解析】(1)alog21，blog0，c2(0,1)，所以acb.(2)因为函数ylogx是减函数，且0.50.6，所以log0.5log0.6.因为函数ylog1.5x是增函数，且1.61.4，所以log1.51.6log1.51.4.因为0log70.6log70.5，所以，即log0.67log0.57.因为log3log310，log20.8log210，所以log3log20.8.【答案】(1)C(2)log0.5log0.6.log1.51.6log1.51.4.log0.67log0.57.log3log20.8.(1)选择中间量0和1，比较大小(2)利用对数函数的单调性比较大小用中间量0比较大小题型二解对数不等式例2(1)已知log0.72xlog0.7(x1)，则x的取值范围为_；(2)已知loga(x1)loga(3x)(a0，且a1)，求x的取值范围【解析】(1)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.72xlog0.7(x1)得解得x1，即x的取值范围是(1，)(2)loga(x1)loga(3x)，当a1时，有解得2x3.当0a1时，有解得1x2.综上可得，当a1时，不等式loga(x1)loga(3x)中x的取值范围为2,3)；当0a1时，不等式loga(x1)loga(3x)(a0且a1)中x的取值范围是(1,2【答案】(1)(1，)(2)答案见解析(1)利用函数ylog0.7x的单调性求解(2)分a1和0a1两种情况讨论，解不等式方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；当a1时，可转化为0f(x)g(x)(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)blogaab.当0a1时，可转化为f(x)ab；当a1时，可转化为0f(x)ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x1的x的取值集合为_；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：log1.5(2a)log1.5(a1)；log0.5(a1)log0.5(3a)解析：(1)因为log3x1log33，所以x满足的条件为即0x3.所以x的取值集合为x|0x3(2)函数ylog1.5x在(0，)上是增函数因为log1.5(2a)log1.5(a1)，所以解得a1，即实数a的取值范围是a1.函数ylog0.5x在(0，)上是减函数，因为log0.5(a1)log0.5(3a)，所以解得1a1.即实数a的取值范围是1a1.答案：(1)x|0x3(2)(1，)(1,1)(1)log331.(2)由对数函数的单调性求解题型三对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)loga(1x)loga(3x)(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值【解析】(1)由题意得解得1x3，所以函数f(x)的定义域为(1,3)(2)因为f(x)loga(1x)(3x)loga(x22x3)loga(x1)24，若0a1，则当x1时，f(x)有最小值loga4，所以loga42，a24，又0a1，所以a.若a1，则当x1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值综上可知，a.真数大于0.分0a1，a1两类讨论方法归纳1解答ylogaf(x)型或yf(logax)型函数需注意的问题要注意变量的取值范围例如，f(x)log2x，g(x)x2x，则f(g(x)log2(x2x)中需要g(x)0；g(f(x)(log2x)2log2x中需要x0.判断ylogaf(x)型或yf(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断2形如ylogaf(x)的函数的单调性判断首先要确保f(x)0，当a1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与yf(x)的单调性一致当0a1时，ylogaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与yf(x)的单调性相反跟踪训练3已知函数f(x)log2(1x2)求证：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)在区间(0，)上是增函数证明：(1)函数f(x)的定义域是R，f(x)log21(x)2log2(1x2)f(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)设0x1x2，则f(x1)f(x2)log2(1x)log2(1x)log2，由于0x1x2，则0xx，则01x1x，所以01.又函数ylog2x在(0，)上是增函数，所以log20.所以f(x1)f(x2)所以函数f(x)在区间(0，)上是增函数(1)函数是偶函数，f(x)f(x)(2)用定义法证明函数是增函数题型四几类函数模型的增长差异例4(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 018x Byx2 018Cylog2 018x Dy2 018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化【答案】(1)A(2)y2(1)由题意，指数函数增长速度最快(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况跟踪训练4分析指数函数y2x与对数函数ylog2x在区间1，)上的增长情况解析：指数函数y2x，当x由x11增加到x23时，x2x12，y2y123216；对数函数ylog2x，当x由x11增加到x23时，x2x12，而y2y1log23log211.585 0.由此可知，在区间1，)上，指数函数y2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数ylog2x的增长速度缓慢在同一平面直角坐标系内作出函数y2x和ylog2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况如图：课时作业 24一、选择题1设alog0.50.9，blog1.10.9，c1.10.9，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCbca Dacb解析：因为0log0.51alog0.50.9log0.50.51，blog1.10.9log1.110，c1.10.91.101，所以bac，故选B.答案：B2y12x，y2x2，y3log2x，当2x4时，有()Ay1y2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2x2，y12x，y3log2x，故y2y1y3.答案：B3若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值范围是()A. B.(1，)C(1，) D(0,1)解析：当a1时，loga01，成立当0a1时，ylogax为减函数由 loga1logaa，得0a.综上所述，0a或a1.答案：B4函数ylog0.4(x23x4)的值域是()A(0,2 B2，)C(，2 D2，)解析：x23x42，又x23x40，则0x23x4，函数ylog0.4x为(0，)上的减函数，则ylog0.4(x23x4)log0.42，函数的值域为2，)答案：B二、填空题5函数f(x)logax(a0，且a1)在2,3上的最大值为1，则a_.解析：当a1时，f(x)的最大值是f(3)1，则loga31，a31.a3符合题意当0a1时，f(x)的最大值是f(2)1.则loga21，a21.a2不合题意，综上知a3.答案：36已知函数f(x)log2为奇函数，则实数a的值为_解析：由奇函数得f(x)f(x)，log2 log2，a21，因为a1，所以a1.答案：17如果函数f(x)(3a)x与g(x)logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则则1a2； 若f(x)，g(x)均为减函数，则无解答案：(1,2)三、解答题8比较下列各组对数值的大小：(1)log1.6与log2.9；(2)log21.7与log23.5；(3)log3与log3；(4)log0.3与log20.8.解析：(1)ylogx在(0，)上单调递减，1.62.9，log1.6log2.9.(2)ylog2x在(0，)上单调递增，而1.73.5，log21.7log23.5.(3)借助ylogx及ylogx的图象，如图所示在(1，)上，前者在后者的下方，log3log3.(4)由对数函数性质知，log0.30，log20.80，log0.3log20.8.9已知loga(2a3)loga3a，求a的取值范围解析：(1)当a1时，原不等式等价于解得a3.(2)当0a1时，原不等式等价于解得0a1.综上所述，a的范围是(0,1)(3，)尖子生题库10已知a0且a1，f(logax).(1)求f(x)；(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；(3)对于f(