[免费]求强连通分量 tarjan pascal.doc

说到以Tarjan命名的算法，我们经常提到的有3个，其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖获得者（具体原因请看本博“历届图灵奖得主”一文）。 首先明确几个概念。1. 强连通图。在一个强连通图中，任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图，而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2或3。 2. 强连通分量。在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图1,2,3,5是一个强连通分量，子图4是一个强连通分量。 关于Tarjan算法的伪代码和流程演示请到我的115网盘下载网上某大牛写的Doc（地址：/file/f96af404d2）本文着重从另外一个角度，也就是针对tarjan的操作规则来讲解这个算法。 其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。1. 数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。 2. 堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。 3. 当点p有与点p相连时，如果此时（时间为dfnp时）p不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。 4. 当点p有与点p相连时，如果此时（时间为dfnp时）p在栈中，p的low值为p的low值和p的dfn值中较小的一个。 5. 每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。 6. 继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。 由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？ Tarjan算法的操作原理如下：1. Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。 2. 可以证明，当一个点既是强连通子图中的点，又是强连通子图中的点，则它是强连通子图中的点。 3. 这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。 4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。 5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。 参考代码：ram tarjan; var v,f:array1.100of boolean; dfn,low:array1.100of integer; a:array0.100,0.100of integer; i,j,n,m,x,y,deep,d:integer; stack,ln:array1.100of integer;low：在DFS树中，设lowx是x或x的后代能够达到的最高的 祖先。初始化时lowx设为x。 f: 判断当时某点是否在队列中 d：记录时间戳 function min(x,y:longint):integer; begin if xy then exit(y) else exit(x); end; procedure print(x:integer); /出栈，打印 begin while stackdeepx do begin write(stackdeep, ); fstackdeep:=false; dec(deep); end; writeln(stackdeep); fstackdeep:=false; /去除入栈标记 dec(deep); end; procedure dfs(x:integer); var i:integer; begin inc(d); /时间 dfnx:=d; /规则1 lowx:=d; inc(deep); /栈中元素个数 stackdeep:=x; /规则2 fx:=true; for i:=1 to ax,0 do if not vax,i then begin vax,i:=true; dfs(ax,i); lowx:=min(lowax,i,lowx); /规则3 end else if fax,i then lowx:=min(lowx,dfnax,i); /规则4 if dfnx=lowx then /规则5 print(x); end; begin readln(n,m); fillchar(a,sizeof(a),0); for i:=1 to m do begin readln(x,y); /读入图