在磁场中的运动典型例题(教师版).doc

2011届带电粒子在匀强磁场中的运动典型例题1.如图，在以O点为圆心、r为半径的圆形区域内，在磁感强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，a、b、c为圆形磁场区域边界上的3点，其中aob=boc=600，一束质量为m，电量为e而速率不同的电子从a点沿ao方向射人磁场区域，其中从bc两点的弧形边界穿出磁场区的电子，其速率取值范围是 。答案: 2.如图所示，在半径为R的圆范围内有匀强磁场，一个电子从点沿半径方向以射入，从点射出，速度方向偏转了0则电子从到运动的时间是（）. B. C. D.3.据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径、外径的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场已知氦核的荷质比，磁场的磁感应强度，不计带电粒子重力（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度的大小与它在磁场中运动的轨道半径有关，试导出与的关系式（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度解析：（）设氦核质量为，电量为，以速率在磁感强度为的匀强磁场中做半径为的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛顿定律得，则（）所求轨迹示意图所示（要与外圆相切）（）当氦核以的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界，如图所示由图知，又由得，在速度为时不穿出磁场外界应满足的条件是，则4. 如图所示，两同心圆M、N之间的区域存在垂直于纸面的匀强磁场，圆M内、N外没有磁场，一质量为m，带电量为+q的粒子从圆心O处沿某一方向以速度飞出，已知圆M 的半径为R， 圆N的半径为，粒子重力不计。已知粒子进入磁场后沿顺针方向偏转。求：(1) 磁场的方向是垂直于纸面向里还是向外的？(2) 若粒子能再次经过圆心O，磁场的磁感应强度至少为多大？(3) 若磁场的磁感应强度保持为(2)的大小，求粒子从圆心O飞出到再次过圆心且速度与初速度方向相同所用的时间。解析：(1)由左手定则得：磁场方向垂直于纸面向外(2) 粒子能再次经过圆心O，磁场的磁感应强度最小时，粒子运动轨迹与圆N相切，轨迹如图。设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r。由几何知识可知： 设磁场的磁感应强度最小值为B，由洛仑兹力公式及匀速圆周运动规律得： 联立解得： (3) 由几何知识可知： 粒子从C点进入磁场到从D离开磁场，粒子转过的角度为 即个圆周 由几何知识可知粒子从圆心O飞出到第一次过圆心且速度与初速度方向相同所运动的轨迹如图所示，运动的时间为： 联立解得： 5.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以v沿x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y方向飞出。请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m。若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B，该粒子从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了600，求磁感应强度为多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？解析：由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了900，则粒子轨迹半径R=r，又，则粒子的比荷粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了600角，故AD弧所对圆心角为600，粒子做圆周运动的半径6.一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图，过点逆着速度的方向作虚线，与轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的点即为圆周运动的圆心，圆的半径。由，得。弦长为：要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：，面积（2）粒子运动的圆心角为1200，时间 。（3）距离 ，故点的坐标为（，0）。7.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？ 解析：电子在磁场中沿圆弧运动，如图所示，圆心为O，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则 由以上各式解得 8.图甲所示，一对金属板M和N平行、竖直放置，M、N的中心分别有小孔P、Q，PQ连线垂直金属板。N板右侧有一半径为r的圆形有界的匀强磁场，其圆心O在PQ的延长线上，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。置于P孔附近的粒子源连续不断地沿PQ方向放射出质量为m、电量为q的带电粒子（带电粒子所受的重力、初速度及粒子间的相互作用力可忽略），从某一时刻开始，在板M、N间加上如图乙所示的交变电压，其周期为T、电压为U，t=0时M板电势高于N板电势。已知带电粒子在M、N两板间一直做加速运动的时间小于T/2，并且只有在每一个周期的前T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，求：（1）带电粒子从小孔Q中射出的最大速度； （2）M、N两板间的距离；（3）在沿圆形磁场的边界上，有带电粒子射出的最大弧长。解析：（1）在M、N电场间处于一直加速的粒子从小孔Q中射出的速度最大，设从最大速度为vm。根据动能定理 解得 。（2）设M、N两板间距离为d，则两板间的电场强度大小 E=设粒子运动的加速度为a，根据牛顿第二定律 qE=ma解得：a=每一个周期的第一个T/4时刻放出的带电粒子刚好能从小孔Q中射出，它加速和减速各经历T/4， 由d= 解得d=（3）每一个周期的前T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小。粒子进入磁场，其中速度越小者运动半径越小，射出点离射入点越近，偏转角度越大（越接近）。最早射入者速度最大，运动半径最大，偏转角度最小，射出点与入射点所夹弧长最大。设带电粒子以最大速度射入时在磁场中的运动半径为R，偏转角为，由牛顿第二定律和几何关系得 解得：。设沿圆形磁场边界上有带电粒子射出的最大弧长为s（图中实线部分），根据弧长公式s=r(9.如图，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点，右端跟荧光屏相切于x轴上的点。置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度的带正电粒子流，粒子重力不计，比荷为。现以过点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90，求此过程中粒子打在荧光屏上的范围。解析：设粒子在磁场中沿着OB弧做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律 qv0Bm 代入数据得 r0.20m 如图1所示，当圆得直径OD转动到与x轴的夹角为时，粒子从圆形磁场中的B点射出，粒子在磁场中的偏转角为，打在荧光屏上的点到x轴的距离为S，由几何知识 SCatanCA2ROC OCrtan 联立得 S(2Rrtan)tan代入数据并化简得 Sm，故最大时，S最大。如图2，当D点与出射点B重合时，最大。由几何知识 sin由得 60或解：根据作图分析：增大时，S增大。如图2，当最大时，S最大。此时弦OB为磁场圆直径，且OB2R，故OOB为等边三角形，max60.如果学生用此法说明得到max60，给式的将代入，求得粒子打在荧光屏上最远点到x轴的距离 Smaxm0.15m此时由0变化到30的过程中，逐渐增大，S也逐渐增大；当由30变化到90过程中，逐渐较小至零，S也逐渐较小至零。 故粒子打在荧光屏上的范围S为00.15m10.电子质量为m、电量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度； （2）所加磁场范围的最小面积解析：（1）要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P；初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得， 即，从图中可以看出（2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上，需加最小面积的磁场的边界是以（0，R）为圆心，半径为R的圆的一部分，如图中实线所示所以磁场范围的最小面积11.如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力 应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有 联立式得 （2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如右图所示。图中，圆弧的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由式知，圆弧的半径仍为，在以D为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为 这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为12.如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域.不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中.哪个图是正确的？（ A ）13.如图所示，L1和L2为两平行的虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上.带电粒子从A点以初速v斜向上与L2成30角射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力影响，下列说法中正确的是（ BC ）A.该粒子一定带正电B.带电粒子经过B点时速度一定与在A点时速度相同C.若将带电粒子在A点时初速度变大(方向不变)，它仍能经过B点D.若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成45角斜向上，它仍能经过B点.14.在边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，两个电子1和2各以不同的速率从a点沿ab方向垂直磁场射入磁场区域，电子1和2分别从bc和cd边的中点M和N射出，如图所示。求这两个电子的速度大小。之比V1：V2以及两个电子在磁场中运动时间之比t1：t2。解析:先确定电子做圆周运动的圆心。（1）对电子1：圆心必在ad直线上，也必在aM的中垂线上，连aM，作aM的中垂线PO1交ad的延长线于O1，则O1为电子1轨道圆心。设电子1的轨道半径为R1，过M作MM1ad交ad于M1，在RtO1M1M中，有R12（R1L/2）2+L2R15L/4；（2）对电子2：连aN，作aN的中垂线QO2交ad于O2点，则O2为电子2的圆心。设电子2的轨道半径为R2，连O2N，在RtO2dN中有：R22（L/2）2（LR2）2R25L/8。由R1mV1/qB，R2mV2/qB，有V1：V2R1：R22：1。由于两电子在磁场中运动的周期T2m/qB相同，则运动时间tT/2，关键是求出两个电子轨迹所对应的圆心角1、2，由图示和几何关系可知：在RtO1M1M中，tan1M1M/O1M1L/(R1L/2)4/3，故1tan1（4/3）；在RtO2dN中：tan（2）dN/O2d4/32tan1（4/3），故：t1：t21:2tan1（4/3）：tan1（4/3）15.长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量为m、带电量为q的正离子从平行板左端两班正中间以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( AB )A. B. C. D.16.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角 = 30、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围.（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2R2sin =，17.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形abc，一束带正电的粒子以不同的速度v沿bc从b点射入磁场，不计粒子的重力，关于粒子在磁场中的运动情况下列说法中正确的是（ C ）A.入射速度越大的粒子，其运动时间越长B.入射速度越大的粒子，其运动轨迹越长C.从ab边出射的粒子的运动时间都相等D.从ac边出射的粒子的运动时间都相等18.如图所示，在倾角为30的斜面OA的左侧有一竖直挡板，挡板上有一小孔P,现有一质量、电量带电粒子，从小孔以速度水平射向磁感应强度、方向垂直于纸平面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中作圆周运动的半径R； （2）粒子在磁场中运动的时间t； （3）正三角形磁场区域的最小边长L解析：（1）带电粒子从b点进入磁场，从c点离开磁场，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力：则粒子在磁场中作圆周运动的半径（2）粒子在磁场中运动的时间,而所以 （3）正三角形磁场区域的最小边长19.如图所示，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CMCN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；解析：（1）由和，得：，（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知FOG600，所以粒子偏转的圆心角为3000，运动的时间 （3）连接并延长与交与点，由图可知，该正三角形区域磁场的最小边长20.如图所示，左侧为两块长为L=10cm，间距cm的平行金属板，加U=的电压，上板电势高；现从左端沿中心轴线方向入射一个重力不计的带电微粒，微粒质量m=10-10kg，带电量q=+10-4C，初速度v0=105m/s；中间用虚线框表示的正三角形内存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，三角形的上顶点A与上金属板平齐，BC边与金属板平行，AB边的中点P1恰好在下金属板的右端点；三角形区域的右侧也存在垂直纸面向里，范围足够大的匀强磁场B2，且B2=4B1；求（1）带电微粒从电场中射出时的速度大小和方向；（2）带电微粒进入中间三角形区域后，要垂直打在AC边上，则该区域的磁感应强度B1是多少？（3）确定微粒最后出磁场区域的位置。解析：（1）带电微粒在电场中做类平抛运动时间t，加速度，设出电场时竖直方向的速度为（1） （2） （3）或 （1） （2）ks5u由（1）（2）得 （3）由（1）（2）（3）得 （4）与水平方向夹角， 即垂直与AB出射。（5）（2）带电粒子出电场时竖直方向偏转的位移 有代入（1）（2）得，粒子由P1点垂直AB射入磁场。 （6）带电粒子在磁场中运动轨迹如下图所示。设匀速圆周运动P1Q1段半径R1，根据几何关系有 （7）由 （8） 得 （9）带电粒子在B2磁场中以O2为圆心做匀速圆周运动，即Q1Q2段，其半径再次进入B1区域时做以O3为圆心，半径仍为R1的匀速圆周运动，即Q2P2段，最后从P2点出磁场区域，如图所示。 （10）在三角形P2CO3中，根据数学知识，有 （11）21.如图所示，在直角坐标系的第象限和第象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B5.0102T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m6.641027、电荷量为q3.21019C的粒子（不计粒子重力），由静止开始经加速电压为U1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（4，）处平行于x轴向右运动，并先后通过匀强磁场区域。请你求出粒子在磁场中的运动半径；请你在图中画出粒子从直线x4到直线x4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x4交点的坐标；求出粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。解析：粒子在电场中被加速，由动能定理得 粒子在磁场中偏转，则牛顿第二定律得联立解得（m）能正确作出图象得带电粒子在磁场中的运动周期粒子在两个磁场中分别偏转的弧度为，在磁场中的运动总时间（s）22.两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图所示.在y0,0x0,xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔,一束质量为m、带电荷量为q（q0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮.入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间之比为25,在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）. 解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为：速度小的粒子将在xa的区域走完半圆，射到竖直屏上半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑ra的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD2a，这是水平屏上发亮范围的左边界速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C/，C在y轴上，由对称性可知C/在x2a直线上设t1为粒子在0xa的区域中运动的时间，t2为在xa的区域中运动的时间，由题意可知： ，解得：，由两式和对称性可得：OCM60，MC/N60360150所以：NC/P1506090，即为圆周，因此，圆心C/在x轴上设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角COC/可得： 2Rsin602a由图可知OP2aR，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标：23.如图所示,在x0的区域中,存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场,磁场方向均垂直于纸面向里,且B1B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过O点,B1与B2的比值应满足什么条件？解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2