2018_2019年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式评估验收卷.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式评估验收卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则的最小值为()A9B9C10D0解析：9.答案：B2学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花()A300 元 B360 元 C320 元 D340 元解析：由排序原理，反序和最小所以最小值为502403205320(元)答案：C3锐角三角形ABC中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的大小关系为()APQ BPQCPQ D不能确定解析：不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)，Qacos Cbcos Bccos Abcos Accos Bacos CR(2sin Bcos A2sin Ccos B2sin Acos C)，上面两式相加，得Qacos Cbcos Bccos AR(2sin Acos B2sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B2sin Ccos A2sin Acos C)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P(R为锐角三角形ABC的外接圆的半径)答案：C4已知3x22y21，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5，5解析：因为(3x22y2)()2()2(xy)2(3x2y)2，即5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立)，又3x22y21，所以(3x2y)25，所以3x2y.答案：C5设a，b，c为正数，则(abc)的最小值为()A54 B9C121 D8解析：因为a，b，c为正数，所以(abc)()2()2()2(236)2121.当且仅当a2，b3，c6时取等号答案：C6已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则2|PA|3|PB|的最大值是()A.R B.RC2R D4R解析：由2|PA|3|PB| 2R.答案：C7函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2 xcos2 x)3，所以f(x)的最大值为.答案：A8已知xxx1，yyy2，则x1y1x2y2x3y3的最大值是()A2 B3 C. D.解析：因为xxx1，yyy2，所以(x1y1x2y2x3y3)2(xxx)(yyy)122，所以x1y1x2y2x3y3.当时，取“”，故选C.答案：C9已知x，y，z0，且1，则x的最小值是()A5 B6 C8 D9解析：x9.所以9.故应选D.答案：D10设a1，a2，a3为正数，则与a1a2a3大小为()A B C D解析：不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.答案：B11已知x，y，a，b为正数，且ab10，1，xy的最小值为18，则a，b的值分别为()Aa2，b8Ba8，b2Ca2，b8或a8，b2Da2，b2或a8，b8解析：因为xy(xy)()2ab218.又ab10，所以ab16.所以a2，b8或a8，b2.答案：C12设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最小值是()An B.C. D2n解析：不妨设0a1a2an，则，是，的一个排列再利用排序不等式的反序和乱序和求解，所以n，当且仅当a1a2an时等号成立故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)的最小值为_解析：由(a2b2c2)9，所以所求最小值为9.答案：914设a，b0，若a2b25，则a2b的最大值为_解析：(1222)(a2b2)(a2b)2，即25(a2b)2.所以(a2b)max5.答案：515已知x，y，z(0，)，xyz9，则的最大值是_解析：()2(121212)(xyz)3927.所以3.答案：3 16设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_解析：由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936.当且仅当k，k时，上式取得等号当k时，x2y2z取得最小值6.答案：6三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，求ab的最大值解：因为a(1，0，2)，b(x，y，z)，所以abx2z.由柯西不等式120(2)2(x2y2z2)(x02z)2516(x2z)24x2z44ab4，故ab的最大值为4.18(本小题满分12分)已知0abc，求证.证明：因为0abc，所以0abcabc，所以0，又0a2b2c2，所以是顺序和，是乱序和，由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，即不等式成立19(本小题满分12分)设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc(abc).证明：不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式，有alg ablg bclg c blg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，且alg ablg bclg calg ablg bclg c，以上三式相加整理，得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)故aabbcc(abc).20(本小题满分12分)设不等式|x2|1的解集与关于x的不等式x2axb0的解集相同(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)ab的最大值，以及取得最大值时x的值解：(1)不等式|x2|1的解集为x|x1或x3，所以，不等式x2axb0的解集为x|x1或x3，所以a4，b3.(2)函数的定义域为3，5，显然有f(x)0，由柯西不等式可得：f(x)435，当且仅当43时等号成立，即x时，函数取得最大值5.21(本小题满分12分)已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1.求证：a2b3c9.(1)解：因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1，1因此k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数所以a2b3c(a2b3c)332229，当且仅当a2b3c时等号成立因此a2b3c9.22(本小题满分12分)已知a，b，c为实数，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求证：a2b2c2