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第八章倒易点阵简介 倒易点阵几何衍射条件爱瓦尔德图解法粉末衍射法 1 倒易点阵简介 布拉格公式作为结构分析的数学工具 在大多数场合已经足够 但是 还有一些衍射效应是布拉格公式无法解释的 例如非布拉格散射就是如此 倒易点阵概念的引入 为一般衍射理论奠定了基础 2 倒易点阵几何 倒易点阵的概念倒易点阵的定义倒易点阵的性质晶带定理 3 倒易点阵的概念 倒易点阵是一个假想的点阵 将空间点阵 真点阵或实点阵 经过倒易变换 就得到倒易点阵 倒易点阵的外形也是点阵 但其结点对应真点阵的晶面 倒易点阵的空间称为倒易空间 4 倒易点阵的定义 设正点阵的原点为O 基矢为a b c 倒易点阵的原点为O 基矢为a b c 则有 a b c V b c a V c a b V 式中 V为正点阵中单胞的体积 V a b c b c a c a b 表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面 5 倒易点阵的性质 1 正倒点阵异名基矢点乘为0 a b a c b a b c c b 0同名基矢点乘为1 a a b b c c 1 2 在倒易点阵中 由原点O 指向任意坐标为hkl的阵点的矢量ghkl 倒易矢量 为 ghkl ha kb lc 式中hkl为正点阵中的晶面指数3 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数 即ghkl 1 dhkl4 对正交点阵 有a a b b c c a 1 a b 1 b c 1 c 5 只有在立方点阵中 晶面法线和同指数的晶向是重合 平行 的 即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向 hkl 平行的 6 ghkl ha kb lc 表明 1 倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的 hkl 晶面 或平行于它的法向Nhkl2 倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面 7 晶带定理 在正点阵中 同时平行于某一晶向 uvw 的一组晶面构成一个晶带 而这一晶向称为这一晶带的晶带轴 图示为正空间中晶体的 uvw 晶带图中晶面 h1k1l1 h2k2l2 h3k3l3 的法向N1 N2 N3和倒易矢量gh1k1l1 gh2k2l2 gh3k3l3的方向相同 晶带定理 因为各倒易矢量都和其晶带轴r uvw 垂直 固有ghkl r 0 即hu kv lw 0 这就是晶带定理 8 衍射条件 设 入射线波长为 入射线方向为单位矢量S0 衍射线方向为单位矢量S 那么在S方向有衍射线的条件是 在与S方向相垂直的波阵面上 晶体中各原子散射线的位向相同 先计算原点O和任一原子A的散射线在与S方向的位向差 9 相应的位向差为其中p q r是整数因为S0是入射线方向单位矢量 S是衍射线方向为单位矢量 因此S S0是矢量 则 现在不明确h k l一定是整数 由 可见 只有当 2 n时 才能发生衍射 此时n应为整数 由于p q r是整数 因此满足衍射条件时h k l一定是整数 于是得到结论 10 满足衍射条件的矢量方程 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均可由该矢量方程导出 11 布拉格方程推导 S S0 Ssin S0sin 2sin S S0 2sin ghkl 1 d2dsin 12 Ewald作图法 Ewald图解是衍射条件的几何表达式 sin 2d令d ghkl 此时比例系数用X射线的波长 则sin ghkl 2即某衍射面 hkl 所对应的布拉格角的正弦等于其倒易矢量长度的一半 13 Ewald图解 14 1 设以单位矢量S0代表波长为 的X RAY 照射在晶体上并对某个hkl面网产生衍射 衍射线方向为S 二者夹角为2 2 定义S S S0为衍射矢量 其长度为 S S S0 2sin 1 d Ewald作图法 15 3 S长度为1 d 方向垂直于hkl面网 所以S g 即 衍射矢量就是倒易矢量 4 可以A点为球心 以1 为半径作一球面 称为反射球 Ewald球 衍射矢量的端点必定在反射球面上 16 5 以S0端点O点为原点 作倒易空间 某倒易点 代表某倒易矢量与hkl面网 的端点如果在反射球面上 说明该g S 满足Bragg sLaw 某倒易点的端点如果不在反射球面上 说明不满足Bragg sLaw 可以直观地看出那些面网的衍射状况 17 入射矢量S0 衍射矢量S及倒易矢量g 的端点均落在球面上S的方向与大小均由2 所决定 18 Ewald球与极限球 19 凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件若同时有m个倒易点落在球面上 将同时有m个衍射发生 衍射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向 20 即Ewald球不动 围绕O点转动倒易晶格 接触到球面的倒易点代表的晶面均产生衍射 周转晶体法的基础 增大晶体产生衍射几率的方法 1 入射方向不变 转动晶体 21 增大晶体产生衍射几率的方法 2 波长连续 使Ewald球的数量增加 即球壁增厚 Laue法 22 3 Ewald球不动 增加随机分布的晶体数量 相当于围绕O点转动倒易晶格 使每个倒易点均形成一个球 倒易球 粉晶法的基础 增大晶体产生衍射几率的方法 倒易球 23 Directionof directbeam Directionof diffractedray Sphereofreflection hkl S S0 C 1 2 O Limitingsphere g 极限球 衍射的极限条件 可见 能获得衍射的最大倒易球半径为g 1 d 2 即的晶面不可能发生衍射 24 1 晶体结构是客观存在 点阵是一个数学抽象 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一客观事实的抽象 有严格的物理意义 2 倒易点阵是晶体点阵的倒易 不是客观实在 没有特定的物理意义 纯粹为数学模型和工具 3 Ewald球本身无实在物理意义 仅为数学工具 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了X射线和电子在晶体中的衍射 故成为研究晶体衍射有力手段 关于点阵 倒易点阵及Ewald