耿兴国热力学与统计物理学课程作业-正文.doc

1热力学的基本规律1.1试求理想气体的等压膨胀系数、等体压强系数和等温压缩系数。1.2假设在压强不太高时，1mol实际气体的物态方程可表示为，其中B只是温度的函数。试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并讨论压强很低时的情况，与理想气体比较。1.3一金属块的定压膨胀系数和等温压缩系数可以当作常数，其值分别为，今使金属块的体积保持不变，在1.013105Pa，其温度为20，问温度升高到32时，其压强为多少？如果将此金属块密封在一容器中，容器的膨胀系数可以忽略，容器所能承受的最大压强为12107Pa ，问金属块能达到的最高温度为多少度？1.4有一铜块在0和1.013105Pa下，经测定其膨胀系数和压缩系数分别为，和可近似地当作常数。今使铜块加热至10，问（a）压强要增加多少Pa才能维持铜块的体积不变？（b）若压强增加1107Pa铜块的体积改变多少？1.5证明任何一种具有两个独立参数T和p的物质，其物态方程可由膨胀系数及压缩系数k的实验数据，根据下述积分求得：。如果 ，试求物态方程。1.6某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为 , ，其中n，R和都是常数，试求此气体的物态方程。1.7在25下，压强在0至1108Pa之间，1mol水的体积可表示为， V=18.066-0.71510-8p+0.04610-1 6p2 (cm3mol-1)。如果保持温度不变，将1mol水所承受压力从1105Pa加至1108Pa，试求外界所作的功。1.8 1mol理想气体，在27的恒温下发生膨胀，由准静态地变到，求气体所作的功和所吸收的热量。1.9满足PVn=C的过程称为多方过程，n为多方指数，试证明多方过程的热容量为Cn为Cn=(n-)CV/(n-1)。1.10压强p1=4.052105Pa和t1=60时体积为5m3的空气，多方膨胀到原来体积的3倍，压强变为p2=1.013105Pa。试计算这个过程中的多方指数，膨胀作的功、热量和内能的改变。1.11质量为m，温度为T1的水与同质量的、但温度为T2的水在等压下绝热地混合，证明其熵变为。并证明此熵变是正的。1.12物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体与热源之间工作，直到物体温度降到T2为止。若热机从物体吸取的热量为Q，试证明此热机所能输出的最大功为，其中是物体的熵减少量。2均匀物质的热力学性质 2.1由简单系统的热力学基本微分关系式，应用勒让德变换，求出交换T与S和p与V共轭变量后，其它几种等价微分形式；并写出相应的麦克斯韦关系。基本微分的等价形式自然变量麦克斯韦关系（S，V）（S，p）（T，V）（T，p）2.2证明下列诸关系式：(1) (2) (3) (4) 2.3理想的电子气体遵从关系式pV=2U/3。试求用p、V和T、V表示的绝热方程。2.4某种物质的压强是温度的线性函数，试证明该物质的热容量CV与体积无关。2.5实验测得某固体在一定压强范围内以下关系式成立其中、和为常数。求在等温下压强由压缩到时固体的熵变。3单元系的相变3.1对于粒子数不变的系统，证明下列平衡判据（S0）：(1)在S、V不变的情形下，稳定平衡态的U最小。(2)在H、p不变的情形下，稳定平衡态的S最大。(3)在F、V不变的情形下，稳定平衡态的T最小。(4)在U、S不变的情形下，稳定平衡态的V最小。(5)在G、p不变的情形下，稳定平衡态的T最小。3.2试证明在一级相变中物质摩尔内能的变化为：。若一相是理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。4多元系的复相平衡和化学平衡4.1写出多元复相开系中b相的热力学基本微分关系式： 。4.2在时，一级相变的两相平衡曲线的斜率值即 ，所得结果的理论依据是 。6近独立粒子的最概然分布6.1试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为。6.2试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到的能量范围内，量子态数为。6.3试证明，在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为。6.4在极端相对论情形下，粒子的能量和动量的关系为E=cp，c为光速。试求容积V中，在到的能量范围内，三维运动的粒子的量子态数。7玻尔兹曼统计7.1从统计物理学观点，力学量的宏观测量值是相应微观量的 。7.2近独立子系中的全同粒子的能级用表示，表示能级上量子态的简并度，表示在能级上的粒子数，则玻尔茨曼分布 ；在能级上的每个量子态上的平均粒子数 。7.3设分子的能级为0，2，3，其中前四个能级的简并度（即量子态数）依次为1，1，6，10。试列出6个分子在满足总能量为3（常数）的条件下，所有可能的分子按能级的分布。如果这6个分子是可分辨的，试求各种分布的微观态数，并根据等几率假设求各种分布的几率。7.4设有N个互不关联的粒子分布在一个盒子中，如果盒子被分为体积相等的两部分，每一部分中的粒子数不限，试求最可几分布。7.5近独立经典粒子系中的N个全同粒子的能级用表示，表示能级上的简并度。写出配分函数Z的表达式，用配分函数表示内能U、压强p和熵S。7.6设有一包含N个独立粒子的系统。每个粒子只能处在能量为-0和0的两个能级中的一个。试求总能量为E=M0的状态的热力学几率WM，并确定系统的温度。7.7一维线性谐振子的能谱为 n=0,1,2,。系统的温度足够低，即 。（1） 求振子处于第一激发态与基态的几率之比；（2） 如果振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。7.8试证明对于玻尔兹曼分布，熵可表示为 式中是子系处在量子态的几率，为对子系的所有量子态求和。S0为熵常数，试同时确定之。7.9表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体。由麦克斯韦-玻尔茨曼分布，试写出在二维气体中：（1）在总面积S内，速率在范围内的量子态数；在总面积S内，速率在范围内的分子数；由总分子数为N的条件定出待定系数。（2）求出、最概然速率。（）8玻色统计和费米统计8.1近独立玻色子体系的平衡态中，在能级的每个量子态上的平均粒子数，即玻色分布： 。 8.2近独立费密子体系平衡态中，在能级上量子态的平均粒子数即费密分布： ；和在基态T=0时， 。8.3根据粒子的观点，可以把黑体空腔内的辐射场看作光子气体，考虑光子自旋和光子数特性，求出：（1）在体积V的空腔内，在到的频率范围内光子的量子态数；（2）在体积V的空腔内，在到的频率范围内的平均光子数；（3）在体积V的空腔内的辐射场的内能。8.6试确定氢原子的数密度为何值时，在室温（T=300K）下服从量子统计。试确定氢原子的数密度为何值时，在室温（T=300K）下服从量子统计。8.7在金属自由电子气模型中，写出下列分布函数及相关量（考虑自旋两个取向）（1）在体积V中，动量在到的范围内可能取值数；（2）在体积V中，能量在到的范围内电子态数；（3）在体积V中，电子在能量到的范围内电子数；（4）在基态T=0，由体积V中的电子数为N的条件，求费密能表达式；（5）在基态T=0，求电子平均能量的表达式（用费密能表示）。8.8试判定下列情况服从量子统计还是经典统计：(1)锗中自由电子，其数密度 n=1016cm-3；(2)银中自由电子，其数密度n=1022cm-38.9二维理想的电子气体系，限制在面积为A的区域内，在绝对零度下，求（1）体系的费米能级（2）内能 （3）平均速率9系综理论9.1用正则分布求经典单原子分子理想气体的内能、物态方程和熵。9.2用巨正则分布导出经典单原子分子理想气体的内能、物态方程、熵和化学势。9.3试求光子气体巨配分函数的对数。并由此求热力学函数内能、辐射压强和熵。提示：9.4 证明光子气体存在以下关系：.9.5设温度为T，压强为P的单原子理想气体中有N个分子被吸附在面积为S的表面上，成