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返回总目录 第3章控制系统数学模型及其转换 仿真是对数学模型进行的试验 建模是仿真的基础 系统模型化技术是系统仿真的核心 本章首先给出控制系统数学模型的分类 介绍控制系统常用的数学模型的描述形式 最后给出各种数学模型 如微分方程 传递函数 状态空间等之间转换和MATLAB实现 一 连续和离散系统 系统类型 根据系统变量是时间连续函数还是时间离散函数 系统分为连续系统和离散系统 1 连续系统 系统输入 输出信号都是连续时间信号 一般L R C电路 2 离散系统 系统输入 输出信号都是离散时间信号 数字计算机 3 混合系统 系统输入 输出信号包含连续信号和离散信号 计算机控制系统 连续时间系统的数学模型用微分方程描述 离散时间系统的数学模型用差分方程描述 二 线性和非线性系统 根据输入输出关系是否同时满足齐次性和叠加性 系统分为线性和非线性 假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态 在输入信号u1和u2或a1u1和a2u2作用下 有式中 为任意实数 为输入输出之间函数关系 那么 该系统称为线性系统 否则是非线性系统 系统类型 系统类型 线性时变系统 非线性定常系统 线性定常系统 根据模型参数是否随时间变化 线性系统又可细分为线性定常系统和线性时变系统 参数不随时间变化的系统 称为时不变系统或定常系统 否则称为时变系统 三 确定和随机系统 系统类型 根据系统输入 输出和内部状态呈现的规律 系统分为确定性系统与随机性系统 输入输出之间函数关系能够用确定性模型描述的系统 称为确定性系统 否则称为随机系统 或不确定性系统 例如 式中 分别为状态变量和输出变量 为噪声 控制系统常用数学模型 一 连续系统 式中 分别为系统输入量 输出量 n为系统的阶次 及各阶导数的的初始值为 为参数 均为实常数 已知输出变量 1 微分方程一个连续系统可以表示成高阶微分方程 即 控制系统常用数学模型 稍加整理 并记 2 传递函数若系统的初始条件为零 那么对微分方程两边取拉普拉斯变换后可得 称为系统的传递函数 控制系统常用数学模型 AX BU状态方程Y CX DU输出方程 系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述 状态空间表达式包括状态方程和输出方程 线性定常系统的状态空间描述为 3 状态空间描述 r维输入向量 n维状态向量 m维输出向量 控制系统常用数学模型 维输出矩阵 维直接传递矩阵 维系统矩阵 维输入矩阵 控制系统常用数学模型 对于线性时变系统 系数矩阵A B C D 均与时间t有关 状态空间描述为 控制系统常用数学模型 1 差分方程设系统差分方程为 引进后移算子 可得 二 离散系统 控制系统常用数学模型 2 离散传递函数 Z传函 假设系统的初始条件为零 即 则得 系统传递函数 为 在初始条件为零时 与 等价 控制系统常用数学模型 3 离散状态空间描述多变量离散状态空间表达式 控制系统常用数学模型 三 MATLAB模型表示 MATLAB的控制系统工具箱提供传递函数模型 零极点增益模型 状态空间模型的生成函数 线性模型生成函数 控制系统常用数学模型 1 传递函数模型 transferfunctionmodel TF 已知传递函数模型 由分子和分母多项式系数可以唯一确定传递函数 分子向量num 分母向量den 控制系统常用数学模型 用命令tf 可建立传递函数模型 或将零极点增益模型和状态空间模型化为传递函数模型 sys tf num den 用于生成连续传递函数 sys tf num den Ts 用于生成离散传递函数 sys tf num den Property1 Value1 PropertyN ValueN 用于生成具有LTI模型属性的连续传递函数 sys tf num den Ts Property1 Value1 PropertyN ValueN 用于生成具有LTI模型属性的离散传递函数 tfsys tf sys 用于将任意状态空间模型SS或零极点增益模型ZPK的LTI对象sys转换成传递函数形式 控制系统常用数学模型 给定SISO系统传递函数为 使用MATLAB表示该传递函数num 21 den 341 sys1 tf num den 运行结果 Transferfunction 2s 1 3s 2 4s 1 控制系统常用数学模型 给定SISO系统传递函数为 使用MATLAB表示该传递函数num 1 322 5 den 10 51 21 sys2 tf num den inputdelay 2 运行结果 Transferfunction 1 3s 2 2s 2 5exp 2 s s 3 0 5s 2 1 2s 1 控制系统常用数学模型 给定多输入 多输出MIMO系统 MATLAB命令 num 11 2 11 den 11 12 1 12 sys3 tf num den 控制系统常用数学模型 结果为 Transferfunctionfrominput1tooutput 1 1 s 1 2 2Transferfunctionfrominput2tooutput 1 1 s 2s 1 2 s 2 控制系统常用数学模型 若一采样周期为0 2s的离散MIMO传递函数为 MATLAB命令如下 num 11 10 1 2 分子den 121 102 21 11 分母sys4 tf num den 0 2 控制系统常用数学模型 Transferfunctionfrominput1tooutput z 1 1 z 2 2z 11 2 2z 1Transferfunctionfrominput2tooutput z 1 z 2 22 2 z 1Samplingtime 0 2 控制系统常用数学模型 2 零极点增益模型 zero pole gainmodel ZPK 零极点模型是传递函数的一种特殊形式 离散系统 连续系统 控制系统常用数学模型 用命令zpk 可以建立零极点增益模型 或将传递函数模型和状态空间模型变化为零极点增益模型 语法格式sys zpk z p k sys zpk z p k Ts sys zpk z p k Property1 Value1 PropertyN ValueN sys zpk z p k Ts Property1 Value1 PropertyN ValueN zsys zpk sys zpk 函数调用方法与tf 一致 控制系统常用数学模型 给定一零极点增益模型 使用MATLAB表示该传递函数 MATLAB命令如下 z 0 0 5 p 0 3 0 1 j 0 1 j k 1 2 sys zpk z p k 控制系统常用数学模型 Zero pole gainfrominputtooutput z 1 z 0 3 2 z 0 5 2 z 2 0 2z 1 01 Samplingtime unspecified 控制系统常用数学模型 将传递函数化为零极点增益模型 Matlab命令 num 1 322 5 den 10 51 21 sys2 tf num den inputdelay 2 sys6 zpk sys2 控制系统常用数学模型 Transferfunction 1 3s 2 2s 2 5exp 2 s s 3 0 5s 2 1 2s 1Zero pole gain 1 3 s 2 1 538s 1 923 exp 2 s s 0 7307 s 2 0 2307s 1 369 控制系统常用数学模型 3 状态空间模型 state spacemodel SS 线性定常状态空间模型描述为 式中 为状态向量 为输入向量 是输出向量 控制系统常用数学模型 用命令ss 可以建立状态空间模型 或将传递函数模型和零极点增益模型转化为状态空间模型 语法调用格式 sys ss a b c d sys ss a b c d Ts sys ss a b c d Property1 Value1 PropertyN ValueN sys ss a b c d Ts Property1 Value1 PropertyN ValueN sys ss ss sys sys ss ss sys minimal 最小阶实现ss函数的调用方法与tf zpk 一致 控制系统常用数学模型 状态空间模型 用MATLAB表示为A 010 001 5 20 1 B 0 0 1 C 100 D 0 sys ss A B C D 控制系统常用数学模型 结果为 a x1x2x3x1010 x2001x3 5 20 1b u1x10 x20 x31c x1x2x3y1100d u1y10Continuous timemodel 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 MATLAB实现模型转换有两种不同的方式 方式1 简单的模型转换首先生成任一指定的模型对象 tf ss zpk 然后将该模型对象类作为输入 调用欲转换的模型函数即可 例如 欲将传递函数转换为状态空间模型sys tf num den a b c d ss sys 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 方式2 直接调用模型转换函数连续模型之间三种形式的数学模型相互转换函数类型包括tf2ss ss2tf zp2tf tf2zp ss2zp zp2ss 共六个函数 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 一 化传递函数为状态空间模型 函数tf2ss用于将传递函数化成状态空间模型 调用格式如 A B C D tf2ss num den 其中 输入num den分别为传递函数分子和分母多项式系数 输出A B C D为状态空间模型系数矩阵 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 将传递函数 化成状态空间表达式方式1 num 023 121 分子多项式系数den 10 41 10 41 分母多项式系数tfsys tf num den 生成传递函数sssys ss tfsys 转化为状态空间模型 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 结果为 a x1x2x1 0 4 0 5x220b u1x12x20c x1x2y110 75y20 80d u1y10y21 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 方式2 num 023 121 den 10 41 A B C D tf2ss num den 结果为 A 0 4000 1 00001 00000B 10C 2 00003 00001 60000D 01 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 二 化传递函数为零极点增益模型 函数tf2zp用于将传递函数化成零极点增益模型形式 z p k tf2zp num den 其中 num den分别为传递函数的分子和分母多项式系数 z p k为零极点增益模型的零点 极点和增益向量 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 将传递函数化为零极点增益模型 方式1 zpk tf 21 341 Zero pole gain 0 66667 s 0 5 s 1 s 0 3333 方式2 z p k tf2zp 21 341 z 0 5000p 1 0000 0 3333k 0 6667 因此零极点增益模型为 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 三 化零极点增益模型为状态空间模型 函数zp2ss用于将零极点增益模型 化成状态空间模型 zp2ss调用格式 A B C D zp2ss z p k 其中 输入z p k为零极点增益模型的零点 极点和增益向量 输出A B C D为状态空间模型系数矩阵 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 零极点增益模型化成状态空间表达式 方式1 z 2 p 1 3 3 k 2 zpksys zpk z p k sssys ss zpksys 方式2 z 2 p 1 3 3 k 2 A B C D zp2ss z p k 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 四 化连续状态方程为离散状态方程 设连续系统状态空间方程为 假设输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器 输出端加一个虚拟采样开关 虚拟采样周期为T 两者同步 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 1 采用零阶保持器的离散状态方程设kT及 k 1 T为两个依次相连的采样瞬时 保持器为零阶保持器 u t 在kT及 k 1 T之间保持不变 式 2 式 1 乘以eAT 可得 1 2 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 离散的状态空间表达式为 式中 不变 为采样周期 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 2 采用一阶保持器的离散状态方程保持器使为斜坡函数 梯形近似 则对 离散的状态空间表达式为 式中 不变 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 3 连续系统离散化的MATLAB方法c2d 可以将连续系统化成等价的离散化模型 格式如下 sysd c2d sys Ts sysd c2d sys Ts method 其中 sys为连续时间系统模型 Ts为采样周期 单位为秒 s method定义离散化方法 method的取 1 zoh 采用零阶保持器 2 foh 采用一阶保持器 3 tustin 采用双线性 tustin 逼近方法 4 matched 采用SISO系统的零极点匹配法 默认时 method zoh 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 采用一阶保持器 采样周期为0 5s 离散化下列状态方程 MATLAB程序 sys ss 01 0 2 01 10 0 dss c2d sys 0 5 foh 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 结果为 a x1x2x110 3161x200 3679b u1x10 1501x20 1998Samplingtime 0 5Discrete timemodel 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 五 化状态空间模型为传递函数 消去中间项 后 可得系统的传递函数矩阵 对方程式两端分别取拉普拉斯变换 设初始条件为零 得 假设状态空间表达式 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 将状态空间方程化为传递函数的方法有 1如果系统只有一个输入 则可采用 num den ss2tf A B C D 或 num den ss2tf A B C D 1 2对多输入的系统 则可采用 num den ss2tf A B C D iu 这里 iu是输入的标号 例如 如果系统有三个输入 u1 u2 u3 则iu必须为1 2或3中的一个 其中1表示u1 2表示u2 3表示u3 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 将状态空间模型 转换为传递函数和零极点增益模型 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 MATLAB命令 A 010 001 5 20 1 B 0 0 1 C 100 D 0 num den ss2tf A B C D tf num den z p k ss2zp A B C D zpk z p k 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 Transferfunction 1 11e 015s 2 1 421e 014s 1 s 3 s 2 20s 5 Zero pole gain 1 s 0 2524 s 2 0 7476s 19 81 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 多入单出系统状态空间表达式 包括两个传递函数 Y1 s U1 s Y1 s U2 s 当考虑输入u1时 可设u2为零 反之亦然 试将其化成传递函数形式 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 MATLAB命令 A 010 011 5 00825 1026 5 032471 B 01 25 042 121 0053 C 100 D 00 num den ss2tf A B C D 1 Sys1 tf num den 传递函数Y1 s U1 s 为Transferfunction 3 553e 015s 2 25 04s 247 s 3 4 032s 2 30 14s 5 008 利用MATLAB实现数学模型之间的转换 num den ss2tf A B C D 2 Sys2 tf num den 传递函数Y1 s U2 s 为Transferfunction s 2 6 032s 17 07 s 3 4 032s 2 30 14s 5 008 模型实现 所谓实现 就是根据描述系统输入