材料力学第六章.ppt

第六章弯曲变形 主要问题1挠曲线的近似微分方程2用积分法求弯曲变形3用叠加法求弯曲变形3简单超静定梁 目录 6 1工程中的弯曲变形问题 7 1 研究范围 等直梁在对称弯曲时位移的计算 研究目的 对梁作刚度校核 解超静定梁 变形几何条件提供补充方程 1 挠度 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用w表示 与y同向为正 反之为负 2 转角 横截面绕其中性轴转动的角度 用 表示 顺时针转动为正 反之为负 2 挠曲线 变形后 轴线变为光滑曲线 该曲线称为挠曲线 其方程为 w f x 3 转角与挠曲线的关系 1 度量梁变形的两个基本位移量 小变形 6 1工程中的弯曲变形问题 6 2挠曲线的近似微分方程 7 2 因为在小变形情况下 所以 由高数得 w f x 6 3用积分法求弯曲变形 挠曲线的近似微分方程为 积分一次得转角方程为 再积分一次得挠度方程为 7 3 常数C D确定后 代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程 从而可确定任一截面的转角和挠度 积分常数C D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定 位移边界条件 光滑连续条件 弹簧变形 6 3用积分法求弯曲变形 例1求梁的转角方程和挠度方程 并求最大转角和最大挠度 梁的EI已知 解 1 由梁的整体平衡分析可得 2 写出x截面的弯矩方程 3 列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 6 3用积分法求弯曲变形 4 由位移边界条件确定积分常数 代入求解 5 确定转角方程和挠度方程 6 确定最大转角和最大挠度 6 3用积分法求弯曲变形 例2求梁的转角方程和挠度方程 并求最大转角和最大挠度 梁的EI已知 l a b a b 解 1 由梁整体平衡分析得 2 弯矩方程 AC段 CB段 6 3用积分法求弯曲变形 3 列挠曲线近似微分方程并积分 AC段 CB段 6 3用积分法求弯曲变形 4 由边界条件确定积分常数 代入求解 得 位移边界条件 光滑连续条件 6 3用积分法求弯曲变形 5 确定转角方程和挠度方程 AC段 CB段 6 3用积分法求弯曲变形 6 确定最大转角和最大挠度 令得 令得 6 3用积分法求弯曲变形 积分法求解梁位移的思路 建立合适的坐标系 求弯矩方程M x 建立近似微分方程 用约束条件或连续条件 确定积分常数 一般求极值可用数学方法 也可由挠曲线直接判别 根据本书的规定坐标系 取负号进行分析 6 3用积分法求弯曲变形 6 4用叠加法求弯曲变形 7 4 由于 1 小变形 轴向位移可忽略 简单载荷下梁的挠度和转角见表7 1 请记住 因此 梁的挠度和转角与载荷成线性关系 可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角 2 线弹性范围工作 例3已知简支梁受力如图示 q l EI均为已知 求C截面的挠度yC B截面的转角 B 1 将梁上的载荷分解 2 查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角 解 6 4用叠加法求弯曲变形 3 应用叠加法 将简单载荷作用时的结果求和 6 4用叠加法求弯曲变形 例4已知 悬臂梁受力如图示 q l EI均为已知 求C截面的挠度yC和转角 C 1 首先 将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果 先将均布载荷延长至梁的全长 为了不改变原来载荷作用的效果 在AB段还需再加上集度相同 方向相反的均布载荷 解 6 4用叠加法求弯曲变形 3 将结果叠加 2 再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形 计算各自C截面的挠度和转角 6 4用叠加法求弯曲变形 6 5简单超静定梁 1 基本概念 超静定梁 支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束 从维持平衡角度而言 多余的约束 超静定次数 多余约束或多余支反力的数目 2 求解方法 解除多余约束 建立相当系统 比较变形 列变形协调条件 由物理关系建立补充方程 利用静力平衡条件求其他约束反力 相当系统 用多余约束力代替多余约束的静定系统 7 6 解 例6求梁的支反力 梁的抗弯刚度为EI 1 判定超静定次数 2 解除多余约束 建立相当系统 3 进行变形比较 列出变形协调条件 6 5简单超静定梁 4 由物理关系 列出补充方程 所以 5 由整体平衡条件求其他约束反力 6 5简单超静定梁 例7梁AB和BC在B处铰接 A C两端固定 梁的抗弯刚度均为EI F 40kN q 20kN m 画梁的剪力图和弯矩图 从B处拆开 使超静定结构变成两个悬臂梁 变形协调方程为 物理关系 解 6 5简单超静定梁 代入得补充方程 确定A端约束力 6 5简单超静定梁 确定C端约束力 6 5简单超静定梁 A C端约束力已求出 最后作梁的剪力图和弯矩图 6 5简单超静定梁 6 6提高弯曲刚度的措施 2 减少梁的跨度或增加支承 除外加载荷外 梁的位移w 还与梁的弯曲刚度EI成反比 与跨长l的n次方成正比 因此 提高刚度的措施有 1 升高EI 各种钢材E相差不大 主要提高I 在截面面积A不变时 尽可能使面积分布远离中性轴 如工字形 箱形等截面 如下图所示结构 6 6提高弯曲刚度的措施 超静定梁 小结 1 明确挠曲线 挠度和转角的概念 2 掌握计算梁变形的积分法和叠加法 3 学会用变形比较法解简单超静定问题 弯曲刚度为EI的钢架ABCD AB BC CD a D端装有滑轮 可沿刚性水平面滑动 摩擦因数为f 在钢架的C结点受到水平力F作用 如图所示 画出钢架的内力图 弯曲应变能 或 图示纯弯曲梁 弹性范围内的变形有 则应变能为 可见 满足线性关系 外力功 功能转换定律 或 弯曲应变能 全梁的弯曲应变能为 需分段列出时 V 分段求 然后求和 对横力弯曲 弯曲应变能 剪切应变能 对弯曲应变能 取dx段 见左图 dx很小 dM x 为一阶无穷小量 则dx段上的应变能为 对细长梁 剪切应变能与弯曲应变能相比可忽