2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题、答案详解.doc

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。.设函数,为( )3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为 9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为_11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4设,则方程组的解为_12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合). 1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围. 2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由. 3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14. 数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15. 设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.第2题解答过程令，则，且，.从而. 令，则题设方程为 ，即，故 ， ，解得 . 从而 . 答：A.第3解答过程 注意 ,2,7和9两两互质. 因为 （mod2）, （mod9）,所以（mod18）. （1）又因为，（mod7）,所以（mod7）. (2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）. 答：C. 另解：，所以 ，其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C.第4解答过程易见，即，又已知，故，；，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和.故， .即 ， .故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见，即，又已知，故，.解得， .显然是首项为，公比为的等比数列的前项和，故， . 于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，它满足递推关系 . 所以答案为A.第5题解答过程可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，中不能被2，5或11整除的项的个数为，其中不表示不大于的最大整数，即的整数部分.估值：设，故 .又因=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知. 答：B. 又解：可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，0，1，2，3，55中不能被2，5，11整除的数为,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，110中与110互质的数的个数，等于.） 显然1，2，3，中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，中，不能被2，5，11整除的数有个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，.所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的. 答：B .第6题解答过程显然 ； .注意到， ,所以 ， .故. 答：D.另解：， =.因为和是实数，所以， ,.答：D.第7解答过程解：设ABC三边长为整数，成等差数列，为钝角，则必有，.易解得 ，；，即.因此，即.另外，.易检验都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程注意到，满足，故可令，0.从而，-，-，故，+. 取实数，当且仅当，当且仅当，Z.满足此条件且的最小正整数为，此时.答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数的立方（是质数）；第二类是两个不同质数的乘积（为不同的质数）.由定义可得是奇异数（第一类）；不是奇异数；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第一类）；是质数，不是奇异数；是奇异数（第一类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）.答：8.第10解答过程解：将向量，分别记为，. 则，且易见， ， ， .所以 =55，故. 类似地，可算得，=3.答：，3.第11题解答过程令，易见，；令，易见，.因此，题设方程组可化为 （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以. 代入（1）得 ， , , .所以原方程组的解为. 答：.第12题解答过程.以表示平面图形绕直线所得旋转体体积.记直线为，作，交于，分别交，于.过作，分别交于.由于是的中点，所以分别是的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为.由于，易见，.显然，.且，.从而由圆锥体积公式得 .又，.从而由圆锥体积公式得.从而.答：所求体积为：第13题解答过程解：I）可设：，与联立得. 这是的一元二次方程，由判别式解得.记，则 ，.由题设条件， ，即，得 ，即，即 .得， ， ，.故的斜率的取值范围为.因为F(1,0),所以，从而 .与共线， 即与F、B三点共线.III）假设，过的直线与交于A、B，且A关于长轴的对称点为，如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于，那么如II）的证明，、F、B三点必共线.故B与重合，从而直线AB和重合，就是AQ与AP重合.所以P与Q重合，与假设矛盾.这就是说，时，三点、F、B不能共线.第14题解答过程14.解：， ， ，.故 ，亦即 ，由得 . （*）由于，且显然，故是递减数列，且，故 ，由（*）式得 ，. 第15题解答过程证明：因为ABC是锐角三角形，其三边满足，以及 .因此，由平均不等式可知 ，从而 ，亦即 ，.ABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFE上式取等式当且仅当，亦即.因此所求的的最大值为，当取最大值时，.yy（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后，与函数的图象重合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A）椭圆（B）双曲线的一部分（C）抛物线的一部分 （D）矩形3.下列4个数中与最接近的是（ ）（A）-2008 （B）-1（C）1（D）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。（A）3（B）4（C）5（D）65.写成十进制循环小数的形式，其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50（D）606.设多项式，则中共有（ ）个是偶数。（A）127（B）1003（C）1005（D）1881二、填空题7.化简多项式 8.函数的值域为 9.若数列满足，且具有最小正周期2008，则 10.设非负数的和等于1，则的最大值为 11.设点A，B、C在椭圆上，当直线BC的方程为 时，的面积最大。12.平面点集，易知可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），可被2个三角形覆盖，则覆盖需要 个三角形。三、解答题13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求的分布。14.设，其中表示不超过x的最大整数。证明：无论取何正整数时，不在数列的素数只有有限多个。15.设圆与圆相交于A，B两点，圆分别与圆，圆外切于C，D，直线EF分别与圆，圆相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。08年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1D2D3B4A5C6D二、填空题（本题满分54分，每小题9分）789，正整数且与2008互素。101112三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13。（2分）。（6分）。（6分）。（6分）14。（2分）当时，利用数学归纳法，得。（5分）令，则有。（5分）当时，。（5分）故当充分大时，不在数列中的正整数只有有限多个。（3分）15以为轴，为轴，建立平面直角坐标系。设，（1分），（1分），（1分），（1分）其中满足（2分）于是，（2分），（2分），（2分），（2分），（2分）。（2分）由知，点的坐标满足直线的方程。（2分）注：对于几何证法，如果无法列举所有情形，得分减半。2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是 .2.函数 的图象与的图象关于直线对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆与双曲线相切，则 .5.设是复数，则的最小值等于 .6.设，是实数，若方程的三个根构成公差为1的等差数列，则，应满足的充分必要条件是 .7.设是的内心，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .二、解答题（共86分）9.（20分）设数列满足，.求的通项公式.10.（22分）求最小正整数使得可被2010整除.11.（22分）已知的三边长度各不相等，分别是，的平分线与边，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.10年安徽省高中数学竞赛初赛答案1.答案：.提示：因，设（），则（其中，为锐角），所以当时，当时，故.2. 答案：提示：因两函数图象关于直线对称，所以，解得.3. 答案：提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍.，则.4. 答案：提示：由椭圆方程知，设其参数方程为（为参数）代入双曲线方程，得.因两曲线相切，故.5. 答案：提示：在复平面上，设，则当为的费马点时，取得最小值，最小值为.6. 答案：且.提示：设三个根为，则，右边展开与左边比较得，消去得，这就是所求的充要条件.7. 答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于面积的2倍，即.8. 答案：提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有个三角形，其中直角三角形有个，所求“构成直角三角形”的概率是.9. 解：特征根法. 又，（10分）得，于是.（20分）10. 解： （10分）又或，或，故所求最小正整数.（22分）11. 证明：由题设可证，六点共圆. （10分）不妨设圆半径为1，则有，.由于的面积小于的面积. （22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目从小到大排序为：，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）满足；（2）当时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目；（3）当时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目.（10分）设（），注意到.当时，甲第一次时可取根火柴，剩余根火柴，乙无法获胜.当时，根据归纳假设，甲可以取到第根火柴，并且甲此时所取的火柴数目，剩余根火柴，乙无法获胜.当时，设甲第一次时取走根火柴，若，则乙可取走所有剩小的火柴；若，则根据归纳假设，乙总可以取到第根火柴，并且乙此时所取的火柴数目，剩余根火柴，甲无法获胜.综上可知，.因为100不在数列，所以当时，甲有获胜策略. （22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛一、填空题（每小题8分，共64分）1以表示集合的元素个数. 若有限集合满足，则的最大可能值为 2设是正实数. 若的最小值为10，则 3已知实系数多项式满足，则的所有可能值集合为 4设展开式. 若，则 第5题第6题5在如图所示的长方体中，设是矩形的中心，线段交平面于点. 若，则. 6平面上一个半径的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7设直角坐标平面上的点与复数一一对应. 若点分别对应复数（），则直线与轴的交点对应复数 （用表示）. 8设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 . 二、解答题（第910题每题22分，第1112题每题21分，共86分）9 已知数列满足，（），求的通项公式. 10已知正整数都是合数，并且两两互素，求证：. 11设（是实数），当时，. 求的最大可能值. 12设点，在双曲线的左支上，直线交双曲线的右支于点. 求证：直线与的交点在直线上. 2011年全国高中数学联赛安徽省预赛答案1. 10. 2. 2. 3. 32. 4. 2413. 5. . 6. . 7. .8. . 9.10设的最小素因子，因为不是素数，所以. 于是11由可知满足题设，的最大可能值为.12设，直线的方程，则，所以 ， ，所以。把代入上式，得. 2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷1 填空题（每题8分，共64分）1. 函数|+1|+|-1|+的值域是 2. 方程sin（2013兀x）=的实数根为 3. 化简sinsinsin= （用数字作答）4. 设数列满足，,则 5. 设ABC的外接圆圆心P满足，则= 6. 设复数z=x+yi满足的实部和虚部之比为，其中i是虚数单位，x,y，则的最大值为 7. 设=，其中是常数，则= 8. 随机选取正11边形的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为 2 解答题（第9-10每题21分，第11-12题每题22分，共86分）9. 设正三棱锥的底面边长为1，侧面长为2，求其体积和内切球的半径.10. 求所有函数，使得对任意的x,y都有 11. 设a,b,c是不全为0的实数，求F=的取值范围，a,b,c分别满足什么条件时，F取最大值和最小值？12. 设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 求证：对任意的正整数k,和都是整数.2013安徽高中数学竞赛初赛试题答案2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题（每题8分，共64分） 1. 函数的值域是_.2. 函数在中的零点个数是_3. 设定点，动点在轴上，动点在直线上，则的周长的最小值是_ 4. 设是平面上两点，是关于的对称点，是关于的对称点,若，则_5. 已知四面体的侧面展开图如下图所示，则其体积是_6. 设复数满足，则的取值范围是_7. 设动点，其中参数，则线段扫过的平面区域的面积是_8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是_二、解答题（第910题每题21分，第1112题22分，共86分） 9. 已知正实数满足求证：10. 设数列满足求证：（1） 当时，严格单调递减（2） 当时，这里11. 已知平面凸四边形的面积为1求证：12. 求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数； （2）不是任何整数系数二次方程的根2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:0011:30）一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数的最小值是 2. 设数列的通项公式是 3. 设平面向量满足，则的取值范围是 4. 设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有 个零点5. 设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是 .6. 给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是 7. 设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是 8. 设是正整数把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 二、解答题（第9题20分，第1012题22分，共86分）9. 设正实数满足求证：10. 在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直设，求四面体与公共部分的体积（用表示）11. 设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。12. 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同2015全国高中数学联赛安