第七章 应力应变分析 强度理论11.ppt

第七章应力应变分析强度理论 第七章应力和应变分析强度理论 10强度理论概述11四种常用强度理论12莫尔强度理论13构件含裂纹时的断裂准则 9复杂应力状态的变形比能 本章内容 1应力状态概述2二向和三向应力状态的实例3二向应力状态分析 解析法4二向应力状态分析 图解法5三向应力状态6位移与应变分量7平面应变状态分析8广义胡克定律 7 1应力状态概述 请看下面几段动画 1 低碳钢和铸铁的拉伸实验 2 低碳钢和铸铁的扭转实验 一 应力状态的概念 低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线 铸铁 低碳钢和铸铁的拉伸 7 1应力状态概述 为什么脆性材料扭转时沿45 螺旋面断开 低碳钢和铸铁的扭转 低碳钢 low carbonsteel 铸铁 cast iron 1 拉中有剪 剪中有拉 2 不仅横截面上存在应力 斜截面上也存在应力 3 同一面上不同点的应力各不相同 4 同一点不同方向面上的应力也是各不相同 3 重要结论 哪一点 哪个方向面 哪一个面上 哪一点 4 一点的应力状态 过一点不同方向面上应力的情况 称之为这一点的应力状态 亦指该点的应力全貌 二 应力状态的研究方法 1 单元体 2 任意一对平行平面上的应力相等 2 单元体特征 3 主单元体各侧面上切应力均为零的单元体 1 单元体的尺寸无限小 每个面上应力均匀分布 A 4 主平面单元体的三个相互垂直的面都无切应力 即切应力为零的截面 5 主应力主平面上的正应力 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直的面均为主平面 三个互相垂直的主应力分别记为 1 2 3且规定按代数值大小的顺序来排列 即 三 应力状态的分类 1 空间应力状态三个主应力 1 2 3均不等于零 2 平面应力状态三个主应力 1 2 3中有两个不等于零 3 单向应力状态三个主应力 1 2 3中只有一个不等于零 例题1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体 S平面 1 沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F 7 2二向和三向应力状态实例 1二向应力状态的实例 薄壁圆筒的横截面面积 7 2二向和三向应力状态实例 1二向应力状态的实例 2 假想用一直径平面将圆筒截分为二 并取下半环为研究对象 2三向应力状态的实例 滚珠轴承 例题2圆球形容器的壁厚为 内径为D 内压强为p 试求容器壁内某单元体的应力 F 容器截面上的内力为 解 用包含直径的平面把容器分成两个半球 如图半球上内压力的合力为F 等于半球在直径平面上的投影面积与的乘积 即 平衡方程 求得 对于球形容器受力具有对称性分布特点 所以包含直径的任意截面上都无切应力 正应力都应为 省略半径方向的应力 则有 二向应力状态 平面应力状态的普遍形式如图所示 单元体上有 x xy和 y yx 7 3平面应力状态分析 解析法 二向应力状态下 已知通过一点的某些截面上的应力后 如何确定通过这一点的其他截面上的应力 从而确定主应力和主平面 7 3平面应力状态分析 解析法 符号规定 正应力以拉应力为正 压应力为负 切应力对单元体内任意的的矩顺时针为正 逆时针为负 一 斜截面上的应力 1 截面法假想地沿斜截面e f将单元体截开 留下左边部分的单体元eaf作为研究对象 1 由x轴转到外法线n 逆时针转向时 为正 2 正应力仍规定拉应力 为正 3 切应力对单元体内任一点取矩 顺时针转 为正 2 符号的确定 t 设斜截面的面积为dA a e的面积为dAcos a f的面积为dAsin 3 任意斜截面上的应力 对研究对象列n和t方向的平衡方程得 t 化简以上两个平衡方程最后得 不难看出 1 斜截面上的正应力和切应力都随 角变化 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 2 二 最大正应力及方位 1 最大正应力的方位 令 0和 0 90 确定两个互相垂直的平面 一个是最大正应力所在的平面 另一个是最小正应力所在的平面 2 最大正应力 将 0和 0 90 代入公式 得到 max和 min 主应力 下面还必须进一步判断 0是 x与哪一个主应力间的夹角 1 当 x y时 0是 x与 max之间的夹角 2 当 x y时 0是 x与 min之间的夹角 3 当 x y时 0 45 主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下 若约定 0 45 即 0取值在 45 范围内 二 最大切应力及方位 1 最大切应力的方位 令 1和 1 90 确定两个互相垂直的平面 一个是最大切应力所在的平面 另一个是最小切应力所在的平面 2 最大切应力 将 1和 1 90 代入公式 得到 max和 min 可见 例题4简支梁如图所示 已知m m截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 70MPa 50MPa 确定A点的主应力及主平面的方位 解 把从A点处截取的单元体放大如图 因为 x y 所以 0 27 5 与 min对应 例题5图示单元体 已知 x 40MPa y 60MPa xy 50MPa 试求e f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位 解 1 求e f截面上的应力 2 求主应力和主单元体的方位 因为 x y 所以 0 22 5 与 min对应 解 1 求主平面方位 因为 x y 且 x 0 例题6求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位 xy 所以 0 45 与 max对应 2 求主应力 1 2 0 3 7 3平面应力状态分析 图解法 一 莫尔圆 将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方 然后相加便可消去 得 因为 x y xy皆为已知量 所以上式是一个以 为变量的圆周方程 当斜截面随方位角 变化时 其上的应力 在 直角坐标系内的轨迹是一个圆 1 圆心的坐标 2 圆的半径 此圆习惯上称为应力圆 或称为莫尔圆 1 建 坐标系 选定比例尺 二 应力圆作法 Themethodfordrawingastresscircle 1 步骤 Steps O 2 量取 OA x AD xy 得D点 OB y 3 量取 BD yx 得D 点 4 连接DD 两点的直线与 轴相交于C点 5 以C为圆心 CD为半径作圆 该圆就是相应于该单元体的应力圆 1 该圆的圆心C点到坐标原点的距离为 2 该圆半径为 2 证明 Prove 三 应力圆的应用 1 求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径CD按方位角 的转向转动2 得到半径CE 圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 O 2 0 证明 1 点面之间的对应关系 单元体某一面上的应力 必对应于应力圆上某一点的坐标 2 夹角关系 圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍 两者的转向一致 2 求主应力数值和主平面位置 1 主应力数值 A1和B1两点为与主平面对应的点 其横坐标为主应力 1 2 2 主平面方位 由CD顺时针转2 0到CA1 所以单元体上从x轴顺时针转 0 负值 即到 1对应的主平面的外法线 0确定后 1对应的主平面方位即确定 3 求最大切应力 G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 因为最大 最小切应力等于应力圆的半径 例题7从水坝体内某点处取出的单元体如图所示 x 1MPa y 0 4MPa xy 0 2MPa yx 0 2MPa 1 绘出相应的应力圆 2 确定此单元体在 30 和 40 两斜面上的应力 解 1 画应力圆 量取OA x 1 AD xy 0 2 定出D点 OB y 0 4和 BD yx 0 2 定出D 点 以DD 为直径绘出的圆即为应力圆 将半径CD逆时针转动2 60 到半径CE E点的坐标就代表 30 斜截面上的应力 2 确定 30 斜截面上的应力 3 确定 40 斜截面上的应力 将半径CD顺时针转2 80 到半径CF F点的坐标就代表 40 斜截面上的应力 例题8两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示 梁的横截面尺寸示于图中 试绘出截面C上a b两点处的应力圆 并用应力圆求出这两点处的主应力 解 1 首先计算支反力 并作出梁的剪力图和弯矩图 Mmax MC 80kN m FSmax FC左 200kN 2 横截面C上a点的应力为 a点的单元体如图所示 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 O 3 做应力圆 x 122 5MPa xy 64 6MPa y 0 xy 64 6MPa A1 A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力 1和 3 A1点对应于单元体上 1所在的主平面 4 横截面C上b点的应力 b点的单元体如图所示 b点的三个主应力为 1所在的主平面就是x平面 即梁的横截面C 已知受力物体内某一点处三个主应力 1 2 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力 一 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 7 4三向应力状态分析 首先研究与其中一个主平面 例如主应力 3所在的平面 垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法 沿求应力的截面将单元体截为两部分 取左下部分为研究对象 主应力 3所在的两平面上是一对自相平衡的力 因而该斜面上的应力 与 3无关 只由主应力 1 2决定 与 3垂直的斜截面上的应力可由 1 2作出的应力圆上的点来表示 该应力圆上的点对应于与 3垂直的所有斜截面上的应力 O 与主应力 2所在主平面垂直的斜截面上的应力 可用由 1 3作出的应力圆上的点来表示 与主应力 所在主平面垂直的斜截面上的应力 可用由 2 3作出的应力圆上的点来表示 该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面 a b c 1 2 1 2 3 结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 该点处的最大正应力 指代数值 应等于最大应力圆上A点的横坐标 1 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2所在的主平面垂直 并与 1和 3所在的主平面成45 角 例题9单元体的应力如图所示 作应力圆 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位 解 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关 依据x截面和y截面上的应力画出应力圆 求另外两个主应力 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 A1 A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1和 3 O 1 46MPa 3 26MPa 该单元体的三个主应力 1 46MPa 2 20MPa 3 26MPa 根据上述主应力 作出三个应力圆 7 5平面应变状态分析 平面应力状态下 已知一点的应变分量 x y xy 欲求 方向上的线应变 和切应变 可根据弹性小变形的几何条件 分别找出微单元体 长方形 由于已知应变分量 x y xy在此方向上引起的线应变及切应变 再利用叠加原理 一 任意方向的应变 在所研究的O点处 Oxy坐标系内的线应变 x y xy为已知 求该点沿任意方向的线应变 将Oxy坐标绕O点旋转一个 角 得到一个新Ox y 坐标系 并规定 角以逆时针转动时为正值 反之为负值 为O点沿x 方向的线变 为直角 x Oy 的改变量 即切应变 假设 1 O点处沿任意方向的微段内 应变是均匀的 2 变形在线弹性范围内都是微小的 叠加原理成立 分别计算 x y xy单独存在时的线应变 和切应变 然后叠加得这些应变分量同时存在时的 和 1 推导线应变 从O点沿x 方向取出一微段OP dx 并以它作为矩形OAPB的对角线 该矩形的两边长分别为dx和dy x 1 只有正值 x存在 y x 假设OB边不动 矩形OAPB变形后成为OA P B O点沿x 方向的线应变 1为 2 只有正值 y存在 y x P 假设OA边不动 矩形OAPB变形后为OAP B 的伸长量为 O点沿x 方向的线应变 2为 3 只有正值切应变 xy存在 A B dx dy x y O y x P 使直角减小的 为正 假设OA边不动 矩形OAPB变形后为OAP B xy 的伸长为 O点沿x 方向的线应变为 根据叠加原理 x y和 xy同时存在时 O点沿x 方向的线应变为 2 切应变 以上两式利用三角函数化简得到 二 主应变数值及其方位 一 各向同性材料的广义胡克定律 1 正应力 拉应力为正 压应力为负 1 符号规定 2 切应力 对单元体内任一点取矩 若产生的矩为顺时针 则 为正 反之为负 3 线应变 以伸长为正 缩短为负 4 切应变 使直角减者为正 增大者为负 x x 7 6广义胡克定律 x方向的线应变 用叠加原理 分别计算出 x y z分别单独存在时 x y z方向的线应变 x y z 然后代数相加 2 各向同性材料的广义胡克定律 GeneralizedHooke slawforisotropicmaterials 单独存在时 单独存在时 单独存在时 在 x y z同时存在时 x方向的线应变 x为 同理 在 x y z同时存在时 y z方向的线应变为 在xy yz zx三个面内的切应变为 上式称为广义胡克定律 GeneralizedHooke slaw 沿x y z轴的线应变 在xy yz zx面上的角应变 对于平面应力状态 inplanestress state 假设 z 0 xz 0 yz 0 3 主应力 主应变的关系 Principalstress principalstrainrelation 二向应力状态下 inplanestress state 设 3 0 已知 1 2 3 1 2 3为主应变 二 各向同性材料的体积应变 Thevolumetricstrainforisotropicmaterials 构件每单位体积的体积变化 称为体积应变用q表示 各向同性材料在三向应力状态下的体应变 如图所示的单元体 三个边长为dx dy dz 变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为 dx 1 dy 1 2 dz 1 3 V1 dx 1 dy 1 2 dz 1 3 体积应变 volumetricstrain 为 1 纯剪切应力状态下的体积应变 Volumetricstrainforpureshearingstress state 即在小变形下 切应力不引起各向同性材料的体积改变 2 三向等值应力单元体的体积应变 Thevolumetricstrainoftriaxial equalstresselementbody 三个主应力为 单元体的体积应变 这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例 由于三个棱边应变相同 则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例 所以在三向等值应力 m的作用下 单元体变形后的形状和变形前的相似 称这样的单元体是形状不变的 在最一般的空间应力状态下 材料的体积应变只与三个线应变 x y z有关 仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比 而与切应力无关 例题10边长a 0 1m的铜立方块 无间隙地放入体积较大 变形可略去不计的钢凹槽中 如图所示 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比 0 34 当受到F 300kN的均布压力作用时 求该铜块的主应力 体积应变以及最大切应力 解 铜块横截面上的压应力 铜块受力如图所示 变形条件为 解得 铜块的主应力为 最大切应力 体积应变为 例题11一直径d 20mm的实心圆轴 在轴的的两端加扭矩Me 126N m 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 45 方向的应变 5 0 10 4 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G Me Me A 45 x 解 围绕A点取一单元体 例题12壁厚d 10mm 外径D 60mm的薄壁圆筒 在表面上K点与其轴线成45 和135 角 即x y两方向分别贴上应变片 然后在圆筒两端作用矩为Me的扭转力偶 如图所示 已知圆筒材料的弹性常数为E 200GPa和m 0 3 若该圆筒的变形在弹性范围内 且 max 100MPa 试求K点处的线应变 x y以及变形后的筒壁厚度 解 从圆筒表面K点处取出单元体 其各面上的应力分量如图所示可求得 K点处的线应变 x y为 压应变 拉应变 圆筒表面上K点处沿径向 z轴 的应变和圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 处的径向应变为 因此 该圆筒变形后的厚度并无变化 仍然为d 10mm b h z b 50mm h 100mm 例题13已知矩形外伸梁受力F1 F2作用 弹性模量E 200GPa 泊松比 0 3 F1 100KN F2 100KN 求 1 A点处的主应变 1 2 3 2 A点处的线应变 x y z a F1 F2 F2 l 解 梁为拉伸与弯曲的组合变形 A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力 拉伸 负 1 A点处的主应变 1 2 3 2 A点处的线应变 x y z 例题14简支梁由18号工字钢制成 其上作用有力F 15kN 已知E 200GPa 0 3 0 5 0 5 0 25 F 求 A点沿0 45 90 方向的线应变 h 4 解 yA Iz d查表得出 为图示面积对中性轴z的静矩 z 7 7复杂应力状态的应变能密度 Strain energydensityingeneralstress state 一 应变能密度的定义 DefinitionofStrain energydensity 二 应变能密度的计算公式 CalculationformulaforStrain energydensity 1 单向应力状态下 物体内所积蓄的应变能密度为 Strain energydensityforsimplestress state 物体在单位体积内所积蓄的应变能 将广义胡克定律代入上式 经整理得 用vd表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度 称为畸变能密度 thestrain energydensitycorrespondingtothedistortion 用vV表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度 称为体积改变能密度 thestrain energydensitycorrespondingtothevolumetric 2 三个主应力同时存在时 单元体的应变能密度为 Strain energydensityforsimplestress state 应变能密度v 等于两部分之和 图 a 所示单元体的三个主应力不相等 因而 变形后既发生体积改变也发生形状改变 图 b 所示单元体的三个主应力相等 因而 变形后的形状与原来的形状相似 即只发生体积改变而无形状改变 图b所示单元体的体积改变比能密度 a单元体的比能为 a所示单元体的体积改变比能 空间应力状态下单元体的畸变能密度 一 强度理论的概念 Conceptsoffailurecriteria 1 引言 introduction 7 8强度理论 Thefailurecriteria 轴向拉压 弯曲 剪切 扭转 弯曲 2 材料的许用应力 是通过拉 压 试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力 以此极限应力作为强度指标 除以适当的安全因数而得 即根据相应的试验结果建立的强度条件 上述强度条件具有如下特点 1 危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态 2 强度理论的概念 Conceptsforfailurecriteria 是关于 构件发生强度失效起因 的假说 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时 不论破坏的表面现象如何复杂 其破坏形式总不外乎几种类型 而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的 根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 进行分析 提出破坏原因的假说 在这些假说的基础上 可利用材料在单向应力状态时的试验结果 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件 1 脆性断裂 无明显的变形下突然断裂 二 材料破坏的两种类型 常温 静载荷 Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads 屈服失效 Yieldingfailure 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力 2 断裂失效 Fracturefailure 2 韧性断裂 产生大量塑性变形后断裂 引起破坏的某一共同因素 形状改变比能 最大切应力 最大线应变 最大正应力 2 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述 是第二强度理论的萌芽 3 杜奎特 C Duguet 提出了最大切应力理论 4 麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论 这是后来人们在他的书信出版后才知道的 三 四个强度理论 Fourfailurecriteria 1 伽利略播下了第一强度理论的种子 1 第一类强度理论 以脆断作为破坏的标志 包括 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 2 第二类强度理论 以出现屈服现象作为破坏的标志 包括 最大切应力理论和形状改变比能理论 根据 当作用在构件上的外力过大时 其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏 1 最大拉应力理论 第一强度理论 Maximum normal stresscriterion 基本假说 最大拉应力 1是引起材料脆断破坏的因素 脆断破坏的条件 1 b 四 第一类强度理论 Thefirsttypesoffailurecriteria 强度条件 1 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 Maximum normal straincriterion 根据 当作用在构件上的外力过大时 其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏 基本假说 最大伸长线应变 1是引起材料脆断破坏的因素 脆断破坏的条件 最大伸长线应变 强度条件 1 最大切应力理论 第三强度理论 Maximum shear stresscriterion 基本假说 最大切应力 max是引起材料屈服的因素 根据 当作用在构件上的外力过大时 其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效 屈服条件 五 第二类强度理论 Thesecondtypesoffailurecriterion 在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 强度条件 2 畸变能密度理论 第四强度理论 Maximum distortion energycriterion 基本假说 畸变能密度vd是引起材料屈服的因素 单向拉伸下 1 s 2 3 0 材料的极限值 强度条件 屈服准则 六 相当应力 Equivalentstress 把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r称为复杂应力状态的相当应力 莫尔认为 最大切应力是使物体破坏的主要因素 但滑移面上的摩擦力也不可忽略 莫尔摩擦定律 综合最大切应力及最大正应力的因素 莫尔得出了他自己的强度理论 7 9莫尔强度理论 Mohr sfailurecriterion 一 引言 Introduction 二 莫尔强度理论 Mohr sfailurecriterion 公式推导 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触 则材料即将屈服或剪断 1 适用范围 Theappliancerange 2 塑性材料选用第三或第四强度理论 3 在二向和三向等拉应力时 无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏 故选用第一或第二强度理论 三 各种强度理论的适用范围及其应用 Theappliancerangeandapplicationforallfailurecriteria 1 一般脆性材料选用第一或第二强度理论 4 在二向和三向等压应力状态时 无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏 故选用第三或第四强度理论 2 强度计算的步骤 Stepsofstrengthcalculation