2014广州一模理科数学评分细则.pdf

数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 13 页 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试 一一 数学数学 理科理科 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 说明 1 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一一 选择题选择题 本大题考查基本知识和基本运算本大题考查基本知识和基本运算 共共 8 8 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 4040 分分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 A B A D B C D A 二二 填空题填空题 本大题本大题考考查基本知识和基本运算查基本知识和基本运算 体现选择性体现选择性 共共 7 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 30 分分 其中其中 14 15 题是选做题题是选做题 考生只能选做考生只能选做一一题题 题号题号 9 10 11 12 13 14 15 答案答案 2 3 4 2 10 2011 2 1 或5 2 3 三三 解答题解答题 本大题共本大题共6小题小题 满分满分80分分 16 本小题满分本小题满分12分分 本小题主要考查本小题主要考查三角函数图象的周期性三角函数图象的周期性 单调性单调性 同角同角三角函数的基本关系三角函数的基本关系和和三角函数三角函数倍角公式等倍角公式等等知等知 识识 考查化归与转化的数学思想方考查化归与转化的数学思想方法法 以及运算求解能力以及运算求解能力 解解 1 因为函数 sincosf xxax 的图象经过点 0 3 所以0 3 f 1 分 即 sincos0 33 a 2 分 即 3 0 22 a 解得3a 3 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 13 页 2 方法方法 1 1 由 1 得 sin3cosf xxx 所以 2 2g xf x 2 sin3cos2xx 22 sin2 3sin cos3cos2xxxx 3sin2cos2xx 5 分 31 2sin2cos2 22 xx 2 sin2 coscos2 sin 66 xx 2sin 2 6 x 7 分 所以 g x的最小正周期为 2 2 8 分 因为函数sinyx 的单调递增区间为2 2 22 kk k Z 9 分 所以当 2 22 262 kxk k Z时 函数 g x单调递增 10 分 即 36 kxk k Z时 函数 g x单调递增 11 分 所以函数 g x的单调递增区间为 36 kk k Z 12 分 方法方法 2 由 1 得 sin3cosf xxx 2 sin coscos sin 33 xx 2sin 3 x 5 分 所以 2 2g xf x 2 2sin2 3 x 2 4sin2 3 x 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 13 页 2 2cos 2 3 x 7 分 所以函数 g x的最小正周期为 2 2 8 分 因为函数cosyx 的单调递减区间为 2 2kk k Z 9 分 所以当 2 222 3 kxk k Z时 函数 g x单调递增 10 分 即 36 kxk k Z 时 函数 g x单调递增 所以函数 g x的单调递增区间为 36 kk k Z 12 分 17 本小题满分本小题满分12分分 本小题主要考查本小题主要考查相互独立事件相互独立事件 解方程解方程 随机变量的分布列与均值随机变量的分布列与均值 数学期望数学期望 等知识等知识 考查考查或然与必或然与必 然然的数学思想方法的数学思想方法 以及以及数据处理能力数据处理能力 运算求解能力运算求解能力和应用意识和应用意识 解解 1 记甲 乙 丙各自能被聘用的事件分别为 1 A 2 A 3 A 由已知 1 A 2 A 3 A相互独立 且满足 1 13 23 2 5 6 11 25 3 10 P A P AP A P AP A 3 分 解得 2 1 2 P A 3 3 5 P A 所以乙 丙各自能被聘用的概率分别为 1 2 3 5 5 分 2 的可能取值为 1 3 6 分 因为 123123 3PP A A AP A A A 123123 111P A P AP AP AP AP A 213312 525525 6 25 所以 113PP 619 1 2525 9 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 13 页 所以 的分布列为 所以 19637 13 252525 E 12 分 18 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查本小题主要考查空间线面空间线面关系关系 四点共面四点共面 二面角的平面角二面角的平面角 空间向量及坐标运算空间向量及坐标运算等知识等知识 考查考查数形结数形结 合合 化归与转化的数学思想方法化归与转化的数学思想方法 以及以及空间想象能力空间想象能力 推理论证能力和推理论证能力和运算求解能力运算求解能力 推理推理论证论证法法 1 证明证明 连结 11 B D BD 因为四边形 1111 ABC D是正方形 所以 1111 ACB D 1分 在正方体 1111 ABCDABC D 中 1 DD 平面 1111 ABC D 11 AC 平面 1111 ABC D 所以 111 ACDD 2分 因为 1111 B DDDD 11 B D 1 DD 平面 11 BB D D 所以 11 AC 平面 11 BB D D 3分 因为EF 平面 11 BB D D 所以 11 EFAC 4分 2 解解 取 1 C C的中点H 连结BH 则BHAE 5分 在平面 11 BBCC中 过点F作FGBH 则FGAE 连结EG 则A E G F四点共面 6 分 因为 1 11 22 CHC Ca 1 11 33 HGBFC Ca 所以 1 C G 1 1 6 C CCHHGa 故当 1 C G 1 6 a 时 A E G F四点共面 8分 1 3 P 19 25 6 25 10 分 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C G H 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 13 页 3 延长EF DB 设EFDBM 连结AM 则AM是平面AEF与平面ABCD的交线 过点B作BNAM 垂足为N 连结FN 因为FBAM FBBNB 所以AM 平面BNF 因为FN 平面BNF 所以AM FN 所以FNB 为平面AEF与平面ABCD所成 二面角的平面角 9分 因为 1 2 3 1 3 2 a MBBF MDDE a 即 2 32 MB MBa 所以2 2MBa 10分 在 ABM中 ABa 135ABM 所以 222 2cos135AMABMBABMB 2 2 2 2 222 2 2 aaaa 2 13a 即13AMa 11分 因为 11 sin135 22 AMBNABMB 所以 2 2 2 sin1352 13 2 1313 aa ABMB BNa AMa 12分 所以 2 2 22 12 137 13 31339 FNBFBNaaa 13分 所以 6 cos 7 BN FNB FN 故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 14分 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C M N 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 13 页 空间空间向量法向量法 1 证明证明 以点D为坐标原点 DA DC 1 DD所在的直线 分别为x轴 y轴 z轴 建立如图的空间直角坐标系 则 0 0A a 1 0 A aa 1 0 Ca a 1 0 0 2 Ea 1 3 F a aa 所以 11 0ACa a 1 6 EFa aa 3分 因为 22 11 00AC EFaa 所以 11 ACEF 所以 11 EFAC 4分 2 解解 设 0 Ga h 因为平面 11 ADD A 平面 11 BCC B 平面 11 ADD A 平面AEGFAE 平面 11 BCC B 平面AEGFFG 所以FGAE 5分 所以存在实数 使得FGAE 因为 1 0 2 AEaa 1 0 3 FGaha 所以 11 0 0 32 ahaaa 所以1 5 6 ha 7分 所以 1 C G 1 51 66 CCCGaaa 故当 1 C G 1 6 a 时 A E G F四点共面 8分 3 解解 由 1 知 1 0 2 AEaa 1 0 3 AFaa 9分 设 x y z n是平面AEF的法向量 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C x y z 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 13 页 则 0 0 AE AF n n 即 1 0 2 1 0 3 axaz ayaz 取6z 则3x 2y 所以 3 2 6 n是平面AEF的一个法向量 11分 而 1 0 0 DDa 是平面ABCD的一个法向量 12分 设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为 则 1 1 cos DD DD n n 13分 2 22 0 3026 6 7 326 a a 故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 14分 第第 1 1 2 2 问用推理论证法问用推理论证法 第第 3 3 问用空间向量法问用空间向量法 1 2 给分同推理论证法 3 解解 以点D为坐标原点 DA DC 1 DD所在的直线 分别为x轴 y轴 z轴 建立如图的空间直角坐标系 9分 则 0 0A a 1 0 0 2 Ea 1 3 F a aa 则 1 0 2 AEaa 1 0 3 AFaa 设 x y z n是平面AEF的法向量 1 D A B C D E F 1 A 1 B 1 C x y z 10 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 13 页 则 0 0 AE AF n n 即 1 0 2 1 0 3 axaz ayaz 取6z 则3x 2y 所以 3 2 6 n是平面AEF的一个法向量 而 1 0 0 DDa 是平面ABCD的一个法向量 12分 设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为 则 1 1 cos DD DD n n 13分 2 22 0 3026 6 7 326 a a 故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6 7 14分 19 本小题满分本小题满分14分分 本小题本小题主要考查等差数列主要考查等差数列 等比数列等比数列 分组分组求和求和等知识等知识 考查化归与转化的数学思想方法考查化归与转化的数学思想方法 以及运算求以及运算求 解能力解能力和创新意识和创新意识 解解 1 因为等差数列 n a的首项为 10 公差为 2 所以 1012 n an 即28 n an 1 分 因为等比数列 n b的首项为 1 公比为 2 所以 1 1 2n n b 即 1 2n n b 2 分 2 因为 1 10a 2 12a 3 14a 4 16a 5 18a 6 20a 1 1b 2 2b 3 4b 4 8b 5 16b 6 32b 易知当5n 时 nn ab 3 分 11 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 13 页 下面证明当6n 时 不等式 nn ba 成立 方法方法 1 当6n 时 6 1 6 232b 6 202 68a 不等式显然成立 假设当nk 6k 时 不等式成立 即 1 228 k k 则有 1 22 22 2821826218 kk kkkk 这说明当1nk 时 不等式也成立 综合 可知 不等式对6n 的所有整数都成立 所以当6n 时 nn ba 4 分 方法方法 2 因为当6n 时 1 1 2281 128 n n nn bann 0121 1111 CCCC28 n nnnn n 012321 111111 CCCCCC28 nnn nnnnnn n 012 111 2 CCC28 nnn n 2 36460nnn nn 所以当6n 时 nn ba 4 分 所以 min nnn ca b 1 2 5 28 5 n n nn 5 分 则 22 2 2 2 5 44 5 n n n c nn 6 分 当5n 时 2222 123nn Scccc 2222 123n bbbb 02422 2222 n 1 4 1 4 n 1 41 3 n 8 分 当5n 时 2222 123nn Scccc 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 10 页 共 13 页 222222 12567n bbbaaa 9 分 5 1 41 3 222 464744n 10 分 222 3414678 67165nnn 11 分 222222 34141212532 67645nnn 12165 34145532645 62 n nnnn n 12 分 32 4242 18679 33 nnn 13 分 综上可知 n S 32 1 41 5 3 4242 18679 5 33 n n nnnn 14 分 20 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查本小题主要考查直线的斜率直线的斜率 双曲线双曲线的方程的方程 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系等知识等知识 考查考查数形结合数形结合 化归化归 与转化与转化 函数与方程函数与方程的数学思想方法的数学思想方法 以及以及推理论证推理论证能力和能力和运算求解能力运算求解能力 1 解解 设双曲线E的半焦距为c 由题意可得 22 3 5 5 4 c a ca 解得5a 2 分 2 证明证明 由 1 可知 直线 2 5 33 a x 点 2 3 0F 设点 5 3 Pt 00 Q xy 因为 22 0PF QF 所以 00 5 3 3 0 3 txy 所以 00 4 3 3 tyx 3 分 因为点 00 Q xy在双曲线E上 所以 22 00 1 54 xy 即 22 00 4 5 5 yx 4 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 11 页 共 13 页 所以 2 0000 2 0 000 55 33 PQOQ ytyyty kk x xxx 5 分 2 00 2 00 44 53 4 53 5 5 3 xx xx 所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值 4 5 6 分 3 证证法法 1 1 设点 H x y 且过点 5 1 3 P 的直线l与双曲线E的右支交于不同两点 11 M xy 22 N xy 则 22 11 4520 xy 22 22 4520 xy 即 22 11 4 5 5 yx 22 22 4 5 5 yx 设 PMMH PNHN 则 PMPN MHHN 8 分 即 1122 1122 55 1 1 33 xyxy xxyyxx yy 整理 得 12 12 12 12 5 1 3 1 1 1 xx yy xxx yyy 10 分 由 得 2222 12 2222 12 5 1 3 1 xxx yyy 12 分 将 22 11 4 5 5 yx 22 22 4 5 5 yx 代入 得 222 12 2 4 4 51 xx y 将 代入 得 4 4 3 yx 所以点H恒在定直线43120 xy 上 14 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 12 页 共 13 页 证法证法 2 依题意 直线l的斜率k存在 设直线l的方程为 5 1 3 yk x 7 分 由 22 5 1 3 1 54 yk x xy 消去y得 2222 9 4530 5325 5690kxkk xkk 8 分 因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点 11 M xy 22 N xy 则有 2 222 2 12 2 2 12 2 900 53900 455690 30 53 9 54 25 569 9 54 kkkkk kk xx k kk x x k 设点 H x y 由 PMMH PNHN 得 1 1 21 2 5 3 5 3 x xx xx x 10 分 整理得 1212 635100 x xxxxx 11 分 将 代入上式得 22 22 150 56930 3553 100 9 549 54 kkxkk x kk 整理得 354150 xkx 12 分 因为点H在直线l上 所以 5 1 3 yk x 13 分 联立 消去k得43120 xy 所以点H恒在定直线43120 xy 上 14 分 本题 3 只要求证明点H恒在定直线43120 xy 上 无需求出x或y的范围 9 分 数学 理科 试题参考答案及评分标准 第 13 页 共 13 页 21 本小题满分本小题满分14分分 本小题主要考查本小题主要考查函数函数的单