2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集，集合，那么集合等于（ ）A B C D 2若，则（）A B C D 3 “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5若实数满足则的最小值是（）A BC D6已知数列对任意的满足，且，那么等于（）A BC D7过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（）A B C D【考点】圆的切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过圆心作直线的垂线交于点，过点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为。明白点后，用图象法解之也很方便。【解答】圆的圆心，过与垂直的直线方程：，它与的交点，到距离是，两条切线，它们之间的夹角为。故选C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍。师补充：由切线长定理，关于直线对称，由已知，得直线与直线垂直，故得，从而得与的交点，而，半径为，得的夹角为。8如图，动点在正方体的对角线上。过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于。设，则函数的图象大致是（）ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】只有当移动到正方体中心时，有唯一的最大值，则淘汰选项点移动时，的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解答】设正方体的棱长为，显然，当移动到对角线的中点时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当在上时，分别过作底面的垂线，垂足分别为，则是一次函数，所以排除D。故选B【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法。 师补充：设正方体的棱长为，解：如图，分别为的中点，在平面中，作的平行线，即满足已知条件。当时，得；当时，得，分段函数，故选B。二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知，其中是虚数单位，那么实数。10已知向量与的夹角为，且，那么的值为。【分析】向量数量积运算，三种方法：一定义，二坐标，三是数形结合。11若展开式的各项系数之和为，则，其展开式中的常数项为 。（用数字作答）12如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；。（用数字作答）【分析】由函数的图象可知，当，所以由导数的几何意义知。13已知函数，对于上的任意，有如下条件：；。其中能使恒成立的条件序号是。【考点】函数奇偶性的性质；导函数确定单调性。菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】函数是个偶函数，由于，在上，可推断出函数在轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使恒成立，只需到原点的距离比到原点的距离大即可，由此可得出，在所给三个条件中找符合条件的即可。【解答】函数在上为单调增函数，由偶函数性质知函数在上为减函数。当时，得，由函数在上为偶函数得，故成立。，而，不成立，同理可知不成立故答案是。故应填【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙。14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，。 表示非负实数的整数部分，例如。按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2009棵树种植点的坐标应为 。【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】由题意可知，数列为；数列为由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标。【解答】组成的数列为 一一代入计算得数列为即的重复规律是。数列为即的重复规律是。由题意可知第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为。【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用。师补充：答案抽象。 ，周期数列，周期为5，故得。三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）已知函数的最小正周期为。求的值；求函数在区间上的取值范围。【略解】，解得。由得。，即的取值范围为。【点评】公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方。16（14分）如图，在三棱锥中，。求证：；求二面角的大小；求点到平面的距离。【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】欲证PCAB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB平面PCD，欲证AB平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PDAB，CDAB，又PDCD=D，满足定理条件；取AP中点E连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知BEC是二面角BAPC的平面角，在BCE中求出此角即可；过C作CHPD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在RtPCD中利用勾股定理等知识求出CH即可【解答】取AB中点D，连接PD，CDAP=BP，PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB平面PCDPC平面PCD，PCABAC=BC，AP=BP，APCBPC又PCAC，PCBC又ACB=90，即ACBC，且ACPC=C，BC平面PAC取AP中点E连接BE，CEAB=BP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BC=2，CE=cosBEC=二面角BAPC的大小arccos由知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为H平面APB平面PCD=PD，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由知PCAB，又PCAC，且ABAC=A，PC平面ABCCD平面ABC，PCCD在RtPCD中，点C到平面APB的距离为【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题师补充：给答案太麻烦。在图形中，标出数据，由已知，可求出222 ，进而很容易确定。线面垂直判定定理，得。传统方法，找二面角的平面角，很容易，反三角函数表示角。等体积法或作出垂线段。，得出点到平面的距离。17（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列。【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列（）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列（）五名志愿者中参加A岗位服务的人数可能的取值是1、2，=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果写出分布列【解答】解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则，的分布列是 1 2 P【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，18（13分）（2008北京）已知函数，求导函数f（x），并确定f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算菁优网版权所有【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案【解答】解：=令f（x）=0，得x=b1当b11，即b2时，f（x）的变化情况如下表：x（，b1）b1（b1，1）（1，+）f（x）0+当b11，即b2时，f（x）的变化情况如下表：x（，1）（1，b1）b1（b1，+）f（x）+0所以，当b2时，函数f（x）在（，b1）上单调递减，在（b1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当b2时，函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，b1）上单调递增，在（b1，+）上单调递减当b1=1，即b=2时，所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递减【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则19（14分）（2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出ACBD于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程（）根据四边形ABCD为菱形判断出ABC=60且|AB|=|BC|=|CA|进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值【解答】解：（）由题意得直线BD的方程为y=x+1因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可设直线AC的方程为y=x+n由得4x26nx+3n24=0因为A，C在椭圆上，所以=12n2+640，解得设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，y1=x1+n，y2=x2+n所以所以AC的中点坐标为由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=2所以直线AC的方程为y=x2，即x+y+2=0（）因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60，所以|AB|=|BC|=|CA|所以菱形ABCD的面积由（）可得，所以所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配20（13分）（2008北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】（）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过Ak+1=T2（T1（Ak）求解（）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A），由S（A）=2（a1+2a2+nan）+a12+a22+an2，两者作差比较（）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an在存在1ijn，有aiaj时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在1mn，使得am+1=am+2an=0时条件下，若记数列a1，a2，am为C，Ak+1=T2（T1（Ak）s（Ak+1）S（T1（Ak）由S（T1（Ak）=S（Ak），得到S（Ak+1）S（Ak）S（Ak）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（Ak）=S（Ak+1）=S（Ak+2）=0【解答】解：（）解：A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0）：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1）：4，3，2，1（）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，an，则T1（A）为n，a11，a21，an1，从而S（T1（A）=2n+2（a11）+3（a21）+（n+1）（an1）+n2+（a11）2+（a21）2+（an1）2又S（A）=2（a1+2a2+nan）+a12+a22+an2，所以S（T1（A）S（A）=2n23（n+1）+2（a1+a2+an）+n22（a1+a2+an）+n=n（n+1）+n2+n=0，故S（T1（A）=S（A）（）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，an当存在1ijn，使得aiaj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则S（B）S（A）=2（iaj+jaiiaijaj）=2（ij）（ajai）0当存在1mn，使得am+1=am+2an=0时，若记数列a1，a2，am为C，则S