复习专题：导数.doc

1 导数导数 一 导数公式一 导数公式 1 几种常见的导数 C x R x a x e log a x ln x sin x cos x 2 导数运算规则 k f x f xg x f xg x f x g x 练习 1 函数的导数为 sin x y x 2 若 则 2 lnf xxx fx 3 若 则 sincosf xx f 二 函数的单调性二 函数的单调性 在区间 A 单调递增在 A 恒成立 f xC f x 0fx 在区间 A 单调递减在 A 恒成立 f xC f x 0fx 作用 可求单调区间作用 可求单调区间解不等式 或判定函数在某区间单调 解不等式 或判定函数在某区间单调 常识 看到单调 就想到导数大于等于 或小于等于 常识 看到单调 就想到导数大于等于 或小于等于 0 0 在给定区间恒成立在给定区间恒成立 练习 1 已知在 R 上是减函数 则的取值范围是 13 23 xxaxxfa 2 设是函数的导函数 的图象如图 1 所示 则的图象最 fx f x yfx yf x 有可能为 2 3 已知函数 的导函数的图象如下图 那么 的图 yf x yg x yf x yg x 象可能是 4 已知对任意实数 有 且时 x fxf xgxg x 0 x 则时 0 0fxg x 0 x A B 0 0fxg x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x 5 若在 1 4 内为减函数 在 6 上为增函数 1 1 2 1 3 1 23 xaaxxxf 则的范围是 a 三 极值和极值点三 极值和极值点 1 1 极值点的判别法 极值点的判别法 函数草图中的转折点或导数草图中与函数草图中的转折点或导数草图中与轴的交点轴的交点x 函数的草图 导数的草图 注意点 如图 是边界点不是极值点 是转折点 才 11 xf x 22 xf x 33 xf x 是极值点 其中极大值点 极小值点 22 xf x 33 xf x 是极大值 极小值 极大值 极小值统称极值 是函数值 2 f x 3 f x 由于极值点由横坐标决定 因此 常称为极大值点 极小值点 所以求极值点 求 2 x 3 x 横坐标 即的解 0fx 导数的草图需画轴 轴上方 导数大于 0 函数单调递增 下方导数小于 0 函数单调xx 3 2O1 递减 画轴x 2 2 求函数 求函数的极值的方法 的极值的方法 yf x 求出的根 利用导数草图判定是极大值点还是极小值点 求出 0fx i x i x 极值 3 3 求最值的方法 求最值的方法 求出的根 作出导数草图 作出函数草图 计算比较得到最值 0fx i x 练习 1 已知函数在区间上的最大值为 则 3 128f xxx 3 3 MM 在的值域是 2 2f xxx 2 已知 如图 的图象过点 1 0 2 0 则下列 32 f xxbxcx yfx 说法中 不正确的有 时 函数取到极小值 3 2 x yf x 函数有两个极值点 yf x 6c 时 函数取到极大值 1x yf x 3 设 函数的图像可能是 ab 2 yxaxb A ob a y x B o ba y x 4 C o ba y x D o b a y x 4 若函数在处取极值 则 2 1 xa f x x 1x a 四 切线 四 切线 曲线在处切线的斜率 切点 从而切线方 yf x 0 xx 0 kfx 00 xf x 程为 求切线方程求切线方程 关键在求切点的横坐标关键在求切点的横坐标 000 yf xfxxx 练习 1 设点是上一点 则在点处的斜率取值范围是 P x y 3 yxx P 2 曲线在点 0 1 处的切线方程为 21 x yxex 3 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 2 3ln 4 x yx 1 2 4 设 P 为曲线 C 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范 2 23yxx 围为 则点 P 横坐标的取值范围为 0 4 5 在曲线的切线中 则斜率最小的切线方程是 32 3610yxxx 6 若曲线 y 在点 0 b 处的切线方程式 0 则 2 xaxb 1xy a b 7 若曲线存在垂直于轴的切线 则实数的取值范围是 2 f xaxInx ya 解答题解答题 1 已知函数的图象过点 P 0 2 且在点 M 1 f 1 处daxbxxxf 23 的切线方程为 076 yx 5 求函数的解析式 求函数的单调区间 xfy xfy 2 已知是二次函数 不等式的解集是且在区间上的最大 f x 0f x 0 5 f x 1 4 值是 12 I 求的解析式 II 是否存在自然数使得方程在区间 f x m 37 0f x x 内有且只有两个不等的实数根 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 1 m m m 3 设函数 22 21 0 f xtxt xtxt R 求的最小值 若对恒成立 求实数的取 f x h t 2h ttm 0 2 t m 值范围 4 已知函数的图象过点 1 6 且函数的 32 2f xxmxnx 6g xfxx 图象关于 y 轴对称 求 m n 的值及函数 y f x 的单调区间 若 a 0 求函数 y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 5 已知函数 f x 的图像在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 3x 2 32 1 3 xxaxb 求实数 a b 的值 设 g x f x 是 上的增函数 1 m x 2 i 求实数 m 的最大值 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个封闭 图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 6 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x I 当时 求曲线在点处的切线方程 II 当时 讨论1a yf x 2 2 f 1 2 a 的单调性 f x 7 已知函数 常数 讨论函数的奇偶性 并说明理0 2 x x a xxf a R xf 由 若函数在上为增函数 求的取值范围 xf 2 x a 6 8 已知函数 求曲线在点处的切线方程 设 3 f xxx yf x M tf t 0a 如果过点可作曲线的三条切线 证明 ab yf x abf a 9 已知函数 42 32 31 4f xaxaxx I 当时 求的极值 II 若在上是增函数 求的取值范围 1 6 a f x f x 1 1 a 二阶导数的意义二阶导数的意义 二阶导数就是对一阶导数再求导一次 意义如下 1 斜线斜率变化的速度 表示的是一阶导数的变化率 2 函数的凹凸性 3 判断极大值极小值 结合一阶 二阶导数可以求函数的极值 当一阶导数等于零 而二阶导数大于零时 为极小 值点 当一阶导数等于零 而二阶导数小于零时 为极大值点 当一阶导数 二阶导数都等 于零时 为驻点 一 用二阶导数判断极大值或极小值定理一 用二阶导数判断极大值或极小值定理 设设在在二阶可导 且二阶可导 且 xf 0 x0 0 00 xfxf 1 若若 则 则在在取得极大值 取得极大值 0 0 x f xf 0 x 2 若若 则 则在在取得极小值 取得极小值 0 0 x f xf 0 x 例例 试问为何值时 函数在处取得极值 它取得极值 它a xxaxf3sin 3 1 sin 3 x 是极大值还是极小值 求此极值 是极大值还是极小值 求此极值 解解 xxaxf3coscos 7 由假设知 从而有 即 0 3 f01 2 a 2 a 又当时 且2 a xxxf3sin3sin2 所以在处取得极 03 3 f xxxf3sin 3 1 sin2 3 x 大值 且极大值 3 3 f 例例 求函数的极大值与极小值 593 23 xxxxf 解解 在上连续 可导 令 xf 4 2 0 3 1 3963 2 xxxxxf 得 和 1 x3 x 思考 在取得极大还是极小值 在取得极大还是极小值 xf1 x3 x 66fxx 1 代入二阶导数表达式为 12 在取得极大值 xf1 x 3 代入二阶导数表达式 12 在取得极小值3 x 三 函数图像凹凸定理三 函数图像凹凸定理 若在内二阶可导 xf ba 则曲线在内的图像是凹曲线的充要条件是 xfy ba0 x f bax 曲线在内的图像是凸曲线的充要条件是 xfy ba 0 x f bax 8 o o xx yy 几何的直观解释 如果如果一个函数 f x 在某个区间 I 上有恒成立 那么在区间 0fx I 上 f x 的图象上的任意两点连出的一条线段 这两点之间的函数图象都在该线段的下方 反之在该线段的上方 曲线的凸性曲线的凸性 对函数的单调性 极值 最大值与最小值进行了讨论 使我们知道了函数变化的大致情 况 但这还不够 因为同属单增的两个可导函数的图形 虽然从左到右曲线都在上升 但它 们的弯曲方向却可以不同 如图 1 1 中的曲线为向下凸 而图 1 2 中的曲线为向上凸 图 1 1 图 1 2 1212 22 f xf xxx f 定义定义 4 5 1 设在内可导 若曲线位于其每点处切线的上方 xfy ba xfy 则称它为在内下凸 或上凹 若曲线位于其每点处切线的下方 则称它在 ba xfy 内上凸 或下凹 相应地 也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数 ba xfy ba 通常把下凸