三角形面积孟华民.doc

求解三角形面积的方法数学与应用数学 孟华民 2009040109 指导教师：郭建军 摘要：在中学数学中我们经常会遇到求三角形面积的问题，本文总结了几种三角形的面积计算公式，并且对三角形面积公式进行推导与探究，同时举例予以说明它在中学数学解题中的应用。关键词：三角形；面积；内切圆；海伦公式 三角形是平面几何中最简单的基本图形，在日常生活中有广泛的应用，且各面积公式之间相互联系。灵活应用三角形的面积公式，能帮助我们解决许多解三角形的问题。中学阶段我们学习过不少三角形面积的公式，有些很容易证明，有些我们很少见到证明，下面本文给出几种公式及证明。一、 基本公式法三角形的面积等于底乘以高的一半，这种方法是最基本的方法。证明是通过构造平行四边形，然后再去计算它的面积。 图 1. 图 2.定理1 三角形的面积等于底乘以高的一半。证明：如图 1 所示，三角形，过顶点作的平行线，且使得，连接，则四边形是平行四边形。 。 所以。例1：如图 2 所示，则三角形ABC的面积是多少？解：。该方法用于最简单的三角形面积的求法，尤其是知道了底和高的时候，可以直接由此公式得到。二、 正弦定理法引理 (正弦定理) 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即（R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径）。 当我们知道三角形的两边长及其夹角时，可以通过下面这个公式得到它的面积。定理2 。证明：如图 2 所示，设， 则 ，同理可得。例2：如图 2 所示，则三角形ABC的面积是多少？解：。如果已知一条边和两个角的时候，可以使用定理2的推论去做。推论：证明：。由正弦定理得：，所以，代入上式得：。同理另两种情况可证。 图 3 图 4 例3：如图 3 所示。已知三角形中，则该三角形的面积是多少？。解：由推论得： 该情况是不用再通过正弦定理去计算另一条边，而直接去用一条边和两个角直接计算出三角形的面积。三、 内切圆半径法定理3 ，其中，分别是三角形的三条边，是三角形的内切圆的半径。证明：如图 4 所示，内切圆的圆心为点，因为是内切圆，所以内切圆的半径与三条边都垂直。则 。例4 如图 4 所示，三角形的三条边分别是3,4，5，内切圆的半径，则三角形的面积是多少？解：由面积公式可得： 。该面积公式适用于三条边和内切圆的半径已知的条件下使用。四、 外接圆半径法定理4 ，其中，分别是三角形的三条边，是三角形的外接圆半径。 图 5 图 6证明：如图 5 所示，三角形外接圆的圆心为点，外接圆的半径是， 由正弦定理得：， 又因为，且， 因此。例 5 如图 5 所示，三角形的三条边分别是，外接圆的半径，则三角形的面积是多少？ 解：由面积公式可得： 。 该面积公式适用于三条边和外接圆的半径已知的条件下使用。五、 海伦公式法引理 (余弦定理)对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则： ， ，。定理5 （海伦公式法），其中，分别是三角形的三条边。证明：由正弦定理得：，得到 。 由余弦定理得：， 并且：，代入面积公式得： 两边开方得， 。例5： 如图 6 所示，三角形的三条边分别是，则三角形的面积是多少？解：因为，由海伦公式得： 。该公式最简洁，只需知道三角形的三条边即可计算出面积。六、 中线法定理6 ，其中，分别是三条边上的中线的长度。证明：如图 6 所示，三条边的中线分别长为、；三条中线把三角形分解成六个面积相等的小三角形，延长到，使得。易知三角形的三条边分别为，。则在三角形中， 例6：如图6所示，三角形的三条中线长分别是，则三角形的面积是多少？解：由面积公式可得： = =8。 小结：本文给出了求三角形面积的六种方法，对于具体的问题，可以根据不同情况，选择最简单的方法。参考文献：1张延生，陈香琴，求三角形面积六法，中国科教创新导刊，56-56.2郑书芳，中学生数理化高二版，2010