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1 第五章弯曲应力 目录 2 回顾与比较 内力 应力 目录 3 第五章弯曲应力 5 1纯弯曲时梁的正应力 5 2横力弯曲时梁的正应力 5 3梁横截面的切应力 5 4提高梁强度的主要措施 目录 目录 4 纯弯曲 梁段CD上 只有弯矩 没有剪力 纯弯曲 梁段AC和BD上 既有弯矩 又有剪力 横力弯曲 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 5 一 变形几何关系 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 6 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 7 平面假设 横截面变形后保持为平面 只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 8 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不变 中性层 中间层与横截面的交线 中性轴 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 9 二 物理关系 胡克定理 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 10 三 静力学条件 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 11 三 静力学条件 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 12 正应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系 为梁弯曲变形后的曲率 为曲率半径 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 13 正应力分布 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 14 Bequiet Letusbegintohavelesson 15 M 由坐标原点量出的x处横截面的弯矩值 y 由中性轴z量出的点 平行中性轴的直线 的y向坐标值 Iz 横截面面积对中性轴z的二次矩值 16 弯曲正应力在横截面上的分布规律 1 平行于中性轴的直线上的正应力方向相同 数值相等 2 平行于对称轴的直线上的正应力方向相同 数值呈线性规律分布 3 中性轴上的正应力数值为零 平行于中性轴的上下边缘取得最小 最大 值 受压区 受拉区 17 弯曲正应力在横截面上的分布规律 1 平行于中性轴的直线上的正应力方向相同 数值相等 2 平行于对称轴的直线上的正应力方向相同 数值呈线性规律分布 3 中性轴上的正应力数值为零 平行于中性轴的上下边缘取得最小 最大 值 受压区 受拉区 18 常见截面的IZ和WZ 圆截面 矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面 5 1纯弯曲时梁的正应力 目录 19 1 静矩 附录I平面图形的几何性质 I 1截面的静矩和形心的位置 2 形心 3 形心与静矩的关系 图形对某轴的静矩为零 则该轴一定过图形的形心 某轴过图形的形心 则图形对该轴的静矩为零 20 例I 1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC 解 过圆心O作与x轴垂直的y轴 在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条 所以 4 组合图形的形心与静矩 1 组合图形的静矩 2 组合图形的形心 21 解 将此图形分别为I II III三部分 以图形的铅垂对称轴为y轴 过II III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴 则 例I 2求图示图形的形心 由于对称知 xC 0 22 1 极惯性矩 2 惯性矩 3 惯性积 为图形对x y一对正交轴的惯性积 分别为图形对x y轴的惯性矩 I 2极惯性矩惯性矩惯性积 为图形对一点的极惯性矩 23 4 惯性矩与极惯性矩的关系 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数 等于图形对该点的极惯性矩 惯性矩 极惯性矩恒为正值 惯性积有正负 单位 m4 cm4 mm4 若图形有一个对称轴 则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零 惯性矩 惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 如将dA看成质量dm 则Ix Iy Ip分别为平面体对x y 原点的转动惯量 24 解 平行x轴取一窄长条 其面积为dA bdy 则 例I 3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x y轴的惯性矩Ix Iy和惯性积Ixy 又因为x y轴皆为对称轴 故Ixy 0 同理可得 25 由于圆形对任意直径轴都是对称的 故Ix Iy 注意到I Ix Iy 得到 例I 4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix Iy及对圆心的极惯性矩I 解 首先求对圆心的极惯性矩 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环 其面积dA 2prdr 则 26 请问 Mmax在哪 剪力图如何 弯矩图如何 纯弯曲梁段在哪 横力弯曲梁段在哪 载荷图如何 最大正应力在哪 最大切应力在哪 27 一 平行移轴公式 1 公式推导 2 平行移轴公式 b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标 所以它们是有正负的 3 注意 xC yC轴是形心轴 在所有的平行轴中 图形对形心轴的惯性矩最小 I 3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 二 组合图形的惯性矩 28 已知 形心在xOy坐标系下的坐标 a b 求Ix Iy Ixy 29 例I 5求图示T型截面对形心轴的惯性矩 例I 6已知三角形对底边 x1轴 的惯性矩为bh3 12 求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩 解 由于x1 x2轴均非形心轴 所以不能直接使用平行移轴公式 需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩 再求对x2轴的惯性矩 即进行两次平行移轴 30 31 一 惯性矩和惯性积的转轴公式 1 公式推导 2 转轴公式 3 注意 a是x轴与x1轴的夹角 由x轴逆时针转到x1轴时的a为正 I 4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 32 已知 Ix Iy Ixy a 求 利用三角变换 得到 得到 33 形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩 2 主轴方位 利用主轴的定义 惯性积等于零进行求解 主轴与x轴的夹角 由上式可求出相差90o的a0 a0 90o 分别对应于一对相垂直的主轴x0 y0 二 主惯性轴 主惯性矩 1 主轴的相关概念 主轴 主惯性轴 惯性积等于零的一对正交轴 形心主轴 过图形形心的主轴 图形的对称轴就是形心主轴 34 与主轴方位的对应关系 求a0时只取主值 2a0 p 2 若Ix Iy 则由x轴转过a0到达x0轴时 有 若Ix Iy 则 注意 a0为正值时应逆时针旋转 任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形 所有形心轴都是主轴 如正三角形 正方形 正多边形 求惯性矩的极值所在方位 得到与上式相同结果 所以 图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值 就是对过该点主轴的两个主惯性矩 3 主惯性矩大小 35 例I 7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 图形的对称中心C为形心 在C点建立坐标系xCy如图 将整个图形分成I II III三个矩形 如图 整个图形对x y轴的惯性矩和惯性积分别为 36 例I 8求图示正方形对过形心的x1 y1轴的惯性矩和惯性积 则 37 横力弯曲 5 2横力弯曲时梁的正应力 6 2 目录 38 横力弯曲正应力公式 弯曲正应力分布 弹性力学精确分析表明 当跨度l与横截面高度h之比l h 5 细长梁 时 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立 横力弯曲最大正应力 5 2正应力公式的推广强度条件 目录 39 弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力分布 细长梁的纯弯曲或横力弯曲 横截面惯性积IYZ 0 弹性变形阶段 5 2正应力公式的推广强度条件 目录 40 弯曲正应力强度条件 1 弯矩最大的截面上 2 离中性轴最远处 4 脆性材料抗拉和抗压性能不同 二方面都要考虑 3 变截面梁要综合考虑与 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 2020 1 7 41 42 1 C截面上K点正应力 2 C截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 4 已知E 200GPa C截面的曲率半径 1 求支反力 压应力 解 例题6 1 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 43 2 C截面最大正应力 C截面弯矩 C截面惯性矩 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 44 3 全梁最大正应力 最大弯矩 截面惯性矩 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 45 4 C截面曲率半径 C截面弯矩 C截面惯性矩 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 46 一只鸡在跳板上 载荷图 剪力图和弯矩图如何 所有的鸡都在跳板上 载荷图 剪力图和弯矩图如何 47 解 竖放时 求 1 截面竖放时距离中性层20mm处的正应力和最大正应力 2 截面横放时的最大正应力 横放时 48 5 3弯曲正应力强度条件 抗弯截面系数 弯曲正应力强度条件 49 例5 2已知简支梁的最大弯矩 求 按正应力强度条件选择下列截面的尺寸并比较其重量 解 圆形 矩形 圆环 工字钢 圆形 圆环 矩形 Why 工字钢 50 例5 3图示悬臂梁 解 固定端 同理 构件安全 翻过来将不安全 求 校核强度 51 塑性材料与脆性材料梁的特点 塑性材料 脆性材料 截面上下对称 圆形 矩形 工字形 槽钢 截面上下不对称 T形 不等边工字型 不等边矩形框 52 请问 Mmax在哪 剪力图如何 弯矩图如何 纯弯曲梁段在哪 横力弯曲梁段在哪 载荷图如何 最大正应力在哪 最大切应力在哪 若鹦鹉叼住一端 前面的相应问题的答案如何 53 讨论 钢筋混凝土楼板钢筋应该铺设在哪一边 54 分析 1 2 弯矩最大的截面 3 抗弯截面系数最小的截面 例题6 2 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 55 3 B截面 C截面需校核 4 强度校核 B截面 C截面 5 结论 1 计算简图 2 绘弯矩图 解 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 56 分析 1 确定危险截面 3 计算 4 计算 选择工字钢型号 2 例题6 3 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 57 4 选择工字钢型号 5 讨论 1 计算简图 2 绘弯矩图 解 36c工字钢 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 58 作弯矩图 寻找需要校核的截面 要同时满足 分析 非对称截面 要寻找中性轴位置 例题6 4 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 59 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 解 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 60 4 B截面校核 3 作弯矩图 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 61 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作弯矩图 5 2横力弯曲时梁的正应力 目录 62 5 3梁横截面上的剪应力 一 矩形截面梁横截面上的剪应力 1 两点假设 剪应力与剪力平行 距中性轴等距离处 剪应力相等 2 研究方法 分离体平衡 在梁上取微段如图b 在微段上取一块如图c 平衡 弯曲应力 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 图a 图b 图c 63 一 矩形截面梁 假设 1 横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力Q 2 剪应力沿截面宽度均匀分布 8 2弯曲切应力 64 65 微块的侧面面积 面积中矩中性轴为处的正应力 b 横截面在所求应力点处的宽度 面积对中性轴的静矩 IZ 整个截面对中性轴的惯性矩 Q 横截面上的剪力 对于矩形截面梁 66 三 工字形截面梁 d为腹板厚度 二 圆截面梁上的切应力 式中 A为圆截面面积 67 弯曲应力 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 图a 图b 图c 由剪应力互等 68 弯曲应力 t方向 与横截面上剪力方向相同 t大小 沿截面宽度均匀分布 沿高度h分布为抛物线 最大剪应力为平均剪应力的1 5倍 二 其它截面梁横截面上的剪应力 1 研究方法与矩形截面同 剪应力的计算公式亦为 其中Q为截面剪力 Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩 69 2 几种常见截面的最大弯曲剪应力 弯曲应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩 b为y点处截面宽度 70 圆截面 薄壁圆环 槽钢 弯曲应力 71 5 4提高梁强度的主要措施 1 降低Mmax 合理安排支座 合理布置载荷 6 7 目录 72 合理布置支座 5 4提高梁强度的主要措施 目录 73 合理布置支座 5 4提高梁强度的主要措施 目录 74 5 4提高梁强度的主要措施 目录 合理布置载荷 75