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教学目标 重点难点 教学内容 小结作业 第1章构件的静力分析 教学目标 教学目标 1 明确力 力偶的概念和性质 2 掌握物体的受力分析方法 正确画出受力图 3 具有求解平面力系的能力 4 具有求解简单空间力系的能力 首页 1 1力的概念及性质1 2约束与约束反力1 3物体的受力分析与受力图1 4力的投影与合力投影定理1 5力矩与力偶1 6力系的平衡方程及其应用 首页 教学内容 重点 平面力系的平衡方程及其应用 难点 物体的受力分析与空间力系平衡计算 首页 重点难点 1 1力的概念及性质 返回 力的概念与性质 1 1 1力的概念 力可定义为 力是物体间的相互机械作用 这种作用将引起物体机械运动状态发生改变 力的三要素 力的大小 方向和作用点 力的单位 牛顿 N 或千牛顿 kN 其换算关系为1kN 1000N 1 1 2力的性质 性质1二力平衡公理作用于同一刚体上的两个力 使刚体处于平衡状态的充分必要条件是 这两个力的大小相等 方向相反 作用在同一条直线上 对刚体而言 等值 反向 共线作为二力平衡的条件是必要和充分的 但对于变形体它只是必要条件 而非充分条件 如软绳受两个等值反向的拉力可以平衡 但受两个等值反向的压力就不能平衡 只受两个力作用而处于平衡的构件称为二力构件或二力杆 二力构件平衡时 两力的作用线必定沿此两力作用点的连线 且两作用力的大小相等 方向相反 如图1 3所示的杆BC 若杆自重不计 即是一个二力杆 力的概念与性质 性质2加减平衡力系公理在作用于刚体的已知力系上 加上或减去任意平衡力系 不会改变原力系对刚体的作用效应 推论1力的可传性原理作用于刚体上的力 可沿其作用线移动到刚体内任意一点 而不会改变此力对刚体的作用效应 力的概念与性质 必须指出 力的可传性原理只适用于刚体 研究力的外效应 它不适应于研究物体的内效应 例如 一根直杆受一对平衡力F F 作用时 杆件受压 产生压缩变形 如图1 6 a 若将两力互沿作用线移动而易位 则杆变为受拉 产生拉伸变形 力的概念与性质 性质3力的平行四边形法则作用于物体上某点的两个力 可以合成为一个合力 合力也作用于该点 合力的大小和方向可由此二力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定 力的概念与性质 推论2三力平衡汇交定理若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡状态 则此三力必共面且汇交一点 性质4作用与反作用定律两物体间的作用力和反作用力总是同时存在 且两力的大小相等 方向相反 作用线相同 分别作用在两个相互作用的物体上 力的概念与性质 1 2约束与约束反力 返回 1 2 1约束与约束反力如果物体在空间任何方向的运动都不受到其他物体的直接限制 这种物体称为自由体 例如 飞行的飞机 炮弹 火箭等 如果物体的运动或运动趋势受到周围物体的限制而不能任意运动 则称这种物体为非自由体或受约束体 例如 列车受到轨道限制 转轴受到轴承限制 活塞受气缸壁的限制 只能在气缸中做往复运动 限制物体运动的周围物体 称为约束 例如上面提到的铁轨 轴承 气缸分别是列车 转轴 活塞的约束 约束限制了物体本来可能产生的某种运动 因此约束必然有力作用于该物体 这种力称为约束反力 简称反力 约束反力的方向总是与约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反 约束反力的作用点在约束与被约束物体的接触处 约束与约束反力 1 2 2工程上常见的平面约束1 柔性约束组成 由柔索 胶带 链条等所形成的约束称为柔性约束 特性 这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动 而不能限制其它方向的运动 反力 柔索的约束反力只能是拉力 其方向一定是沿着柔索中心线而背离物体 作用在柔索与物体的连接点上 柔索的约束反力常用符号FT表示 工程上常见的平面约束 工程上常见的平面约束 2 光滑面约束组成 两物体相互接触 如果接触面非常光滑 摩擦力可以忽略不计 这种约束称为光滑面约束 特性 不论接触表面的形状如何 只能限制物体在接触点沿接触面公法线方向的运动 不能限制物体沿接触面切线方向的运动 反力 约束反力只能是压力 作用在接触点 方向沿接触面的公法线指向被约束物体 这种约束反力也常称作法向反力 用符号FN表示 工程上常见的平面约束 工程上常见的平面约束 3 圆柱铰链约束组成 圆柱铰链简称柱铰或铰链 是指两个构件开有同样大小的圆孔 并用与圆孔直径相同的光滑销钉连接而构成的约束 特性 圆柱销钉只能限制两构件的任意方向的移动 而不限制两构件绕圆柱销轴线的转动 由于圆柱销钉与圆柱孔是光滑曲面接触 其本质即为光滑面约束 反力 约束反力应沿接触点的公法线 即接触点到圆柱销中心的连线 垂直于轴线 但因接触点的位置未定 故只能确定铰链的约束反力为一通过圆柱销钉中心的大小 方向均未定的力 通常此力用两个大小未知的正交分力来表示 工程上常见的平面约束 工程上常见的平面约束 如果用圆柱销钉联接的两个构件均不固定 称为中间铰链 图1 12a 若其中有一个构件固定在地面上或机架上 则称这种铰链约束为固定铰链支座 简称铰支座 图1 12c 如果在固定铰支座下边安装上辊轴 就可使支座沿固定支承面移动 称为活动铰链支座 工程上常见的平面约束 工程上常见的平面约束 4 固定端约束组成 建筑物外伸的阳台被墙体约束 插入地下的电线杆被地面约束 夹紧在刀架上的车刀被刀架约束等等 特性 固定端既限定了被约束构件在平面内任意方向的移动 又限制了被约束构件的转动 反力 一般情况下 约束处会有一个约束反力和一个约束反力偶 由于约束反力的方向不确定 故用一对正交分力表示 工程上常见的平面约束 工程上常见的平面约束 1 3物体的受力分析与受力图 返回 作用在物体上的力可分为两类 一类是主动力 另一类是各种约束给物体的约束反力 约束反力是被动力 通常是未知的 待求的 在进行受力分析时 为了清晰地表示出物体的受力情况 我们可设想将研究对象的约束全部解除 并把它从周围物体中分离出来 在解除约束处代之以相应的约束反力 解除约束后的物体称为分离体 在分离体的简图上画出它所受的全部主动力与约束反力 就称为该物体的受力图 画受力图的步骤如下 1 明确研究对象 画出分离体简图 2 在简图上标上已知的主动力 3 在简图上解除约束处画上约束反力 物体的受力分析与受力图 1 3 1单个物体的受力分析例1 1如图1 16 a 所示为凸轮机构结构简图 试画出导杆AB的受力图 物体的受力分析与受力图 例1 2已知梁AB如图1 17 a 所示 A为固定铰 B为活动铰 已知外载荷有力F与力偶M 试画出梁的受力图 物体的受力分析与受力图 1 3 2简单物体系统的受力分析所谓物体系统 就是由几个物体以适当的约束相互联系所组成的系统 简称为物系 在研究物系的受力时 把物系以外的物体作用于物系的力称为外力 把物系内各物体间相互作用的力 称为物系的内力 在画物系整体受力时 只画出全部外力 不必画出内力 但要指出的是 内力和外力是相对而言的 当取物系中某一物体为研究对象时 物系中其它物体对该物体的作用力就转化为外力 必须要画出来 物体的受力分析与受力图 例1 3曲柄滑块机构在图1 18 a 所示位置处于平衡状态 O A B三处都是铰接 在曲柄OA上作用一力偶M 在滑块B处有力F作用 不计自重和摩擦 分别画出曲柄OA 连杆AB和滑块B及机构整体的受力图 解 1 取OA为研究对象 画分离体简图 2 取AB为研究对象 画分离体简图 3 取滑块B为研究对象 画分离体简图 4 取整个系统为研究对象 画分离体简图 物体的受力分析与受力图 物体的受力分析与受力图 例1 4如图1 19 a 所示的结构由杆AB BC与滑轮D铰接而成 物体的重量为G 用绳索挂在滑轮上 不计杆 滑轮和绳索的自重 并忽略摩擦 试分别画出滑轮D 杆件AC BC及整体系统的受力图 解 1 取滑轮为研究对象 画分离体简图 2 取BC杆为研究对象 画分离体简图 3 取AB杆为研究对象 画分离体简图 4 取整个系统为研究对象 画分离体简图 物体的受力分析与受力图 物体的受力分析与受力图 4力的投影与合力投影定理 返回 1 4 1力在平面直角坐标轴上的投影 力在直角坐标轴上的投影 1 4 2合力投影定理及平面汇交力系的合成 FR F1 F2 FR F1 F2 Fn F 力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和 合力投影定理 作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系 根据合力投影定理 先求得合力在坐标轴上的投影 即再进一步按式 1 2 运算 即可求得合力FR的大小及方向 即式中 为合力FR与轴所夹的锐角 平面汇交力系的合成 例1 5圆环在平面内受到三根绳子的拉力作用如图1 22 a 所示 已知F1 3000N F2 2000N F3 3500N 试求合力的大小和方向 平面汇交力系的合成 解 1500 1414 2914N 2598 1414 3500 2316N合力FR的大小和方向为 3722N 平面汇交力系的合成 1 4 3力在空间直角坐标轴上的投影1 直接投影法 1 5 力在空间直角坐标轴上的投影 2 二次投影法若已知力F 力F与轴的夹角及力F在和坐标平面内的投影与轴的夹角 图31 26b 则力F在三轴的投影计算可分为两步进行 即 力在空间直角坐标轴上的投影 反之 如果已知力F在三个坐标轴上的投影FX Fy FZ 也可以求出F的大小和方向 其形式为 力在空间直角坐标轴上的投影 例1 6已知在边长为a的正六面体上有F1 10N F2 20N F3 30N 如图1 24所示 求各力在三坐标轴上的投影 解 由于F1平行轴 故 图1 24力的投影 图1 27 N 力在空间直角坐标轴上的投影 图1 24力的投影 力在空间直角坐标轴上的投影 2020 1 7 44 1 5力矩与力偶 返回 1 5 1力矩1 力对点之矩的概念MO F Fd 1 9 式中 点称为矩心 点到力的作用线的垂直距离称为力臂 正负号表示力矩在平面上的转向 一般规定 力使物体绕矩心逆时针方向旋转为正 顺时针为负 在平面问题中 力矩是代数量 由力矩的定义和式 1 9 可知 1 当力的作用线通过矩心时 力臂值为零 力矩值也必定为零 2 力沿其作用线滑移时 不会改变力对点之矩的值 因为此时并未改变力 力臂的大小及力矩的转向 力矩的单位为N m 牛 米 力对点之矩 2 合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩 等于所有各分力对同一点力矩的代数和 由于合力与原力系对物体的作用等效相等 故有MO FR MO F 1 10 上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系 对于其它力系 如平面任意力系 空间力系等 也都同样成立 合力矩定理 1 5 2力对轴之矩1 力对轴之矩的概念力对轴之矩是代数量 其值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩 力对轴之矩 2 合力矩定理设有一空间力系F1 F2 Fn 其合力为FR 则可证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同轴力矩的代数和 可写成 1 12 合力矩定理 例1 8如图1 28所示 手柄ABCD在平面内 在D点作用一个力F 该力平行于平面 已知 200N AB 20cm BC 30cm CD 15cm 试求对轴之矩 图1 28手柄 6062N cm 5196N cm 3500N cm 解 力F为平行于Axy平面的平面力 可将其沿坐标轴分解为Fx Fz两个分力 其大小为 力对轴之矩 1 5 3力偶1 力偶的定义一对等值 反向 不共线的平行力组成的力系称为力偶 力偶用符号 F F 表示 力偶中两力之间的垂直距离称为力偶臂 两力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面 力偶对物体作用的外效应是使物体单纯地产生转动的变化 力偶的定义 以F与的乘积冠以适当的正负号作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量 称为力偶矩 并记作M F F 或M 即M F F Fd 1 13 式中的正负号表示力偶的转向 一般规定 逆时针转动的力偶取正值 顺时针取负值 力偶矩的单位为N m或N cm或N mm 力偶矩的大小 力偶的转向和力偶的作用面 称为力偶的三要素 力偶的定义 2 力偶的性质性质1力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩 而与矩心的位置无关 性质2力偶在任意坐标轴上的投影之和为零 故力偶无合力 一个力偶不能与一个力等效 也不能用一个力来平衡 力偶的性质 性质3力偶在它的作用面内 可任意转移位置 而不会改变它对刚体的转动效应 性质4力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下 可同时改变力偶中两反向平行力的大小 方向以及力偶臂的大小 而力偶的作用效应不变 力偶的性质 3 平面力偶系的合成设在刚体某平面上有两个力偶和的作用 其合成过程如图1 32a所示 平面力偶系可合成一合力偶 合力偶矩为各分力偶矩的代数和 力偶的合成 4 平面力偶系的平衡条件由合成结果可知 力偶系平衡时 其合力偶矩等于零 反之 合力偶矩为零 则平面力偶系平衡 因此 平面力偶系平衡的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零 即 例1 9用多轴钻床同时钻削工件上四个直径相同的孔 如图1 33所示 每个钻头作用于工件上的切削力构成一个力偶 且各力偶矩的大小N m 转向如图 求加工时工件受到总的切削力偶矩 若固定螺栓A和B之间的距离L 0 5m 试求工件在切削时两个螺栓处所产生的约束反力 力偶的平衡 解 1 工件受到的总的切削力偶矩M等于每个孔所受的切削力偶矩的代数和 即N m 2 因工件仅受力偶作用 故两螺栓处的约束反力FA FB必定也组成一个力偶 与切削力偶相平衡 由平面力偶系的平衡条件 可得 N 力偶的平衡 1 5 3力的平移定理作用于刚体上的力 均可平移到同一刚体内任一点 但同时附加一个力偶 其力偶矩等于原力对新作用点之矩 力的平移定理 1 6力系的平衡方程及其应用 返回 1 6 1平面一般力系的简化有三个力F1 F2 F3组成的平面一般力系 如图2 1a所示 在平面内任取一点O 称为简化中心 应用力的平移定理 把各力都平移到点O FR F1 F2 F3 F1 F2 F3即力矢FR 等于原来各力的矢量和 MO M1 M2 M3 MO F1 MO F2 MO F3 即这个力偶的矩等于原来各力对点O的矩的代数和 平面一般力系的简化 对于力的数目为n的平面任意力系 可推广为FR 1 15 MO Fi 1 16 平面一般力系中所有各力的矢量和FR 称为该力的主矢 而这些力对于任选简化中心O的矩的代数和MO 称为该力系对于简化中心的主矩 上面所得的结果可陈述如下 在一般情况下 平面一般力系向作用面内任选一点O简化 可得到一个力和一个力偶 这个力等于该力系的主矢 作用线通过简化中心O 这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩 平面一般力系的简化 合力矩定理平面一般力系如果有合力 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩代数和 即1 6 2 平面力系的平衡方程及其应用1 平面一般力系的平衡条件和平衡方程平面一般力系平衡的必要和充分条件是 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零 即 1 17 平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的解析条件是 所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零 以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零 平面一般力系平衡方程有三个 只能求解三个未知数 平面一般力系的平衡方程 平衡方程的其他形式二矩式 A B两点的连线不垂直于x轴 1 19 三矩式 A B C三点不在同一直线上 1 20 上述三组方程 1 18 1 19 1 20 都可用来解决平面一般力系的平衡问题 究竟选用哪一组方程须根据具体条件确定 对平面一般力系作用的单个刚体的平衡问题 只可以写出三个独立的平衡方程 求解三个未知量 任何第四个方程只是前三个方程线性组合 因而不是独立的 平面一般力系的平衡方程 例1 10图1 38a示一起重机 A B C处均为光滑铰链 水平杆AB的重量P 4kN 有关尺寸如图所示 BC杆自重不计 试求BC杆所受的拉力和铰链A给杆AB的约束力 解 1 根据题意 选杆AB为研究对象 2 画受力图 平面一般力系的平衡方程应用 3 根据平衡条件列平衡方程 求未知量 1 2 3 由式 3 解得将之值代入式 1 2 可得 16 5kN 4 5kN计算所得 皆为正值 表明假定的指向与实际的指向相同 平面一般力系的平衡方程应用 例1 12图1 40a所示梁AB 其A端为固定铰链支座 B端为活动铰链支座 梁的跨度为l 4a 梁的左半部分作用有集度为q的均布荷载 在D截面处有矩为Me的力偶作用 梁的自重及各处摩擦均不计 试求A和B处的支座约束力 平面一般力系的平衡方程应用 解 1 选梁AB为研究对象 2 画受力图 3 取坐标系如图 4 列平衡方程 平面一般力系的平衡方程应用 2 平面特殊力系的平衡方程各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系称为平面平行力系 平行力系平面平行力系是平面一般力系的一种特殊情况 它的平衡条件可以沿用平面一般力系的平衡条件 平面平行力系的平衡条件为 平面一般力系的平衡方程应用 例1 13塔式起重机如图1 42所示 机架重G 700kN 作用线通过塔架的中心 最大起重量Fp 200kN 最大悬臂长为12m 轨道AB的间距为4m 平衡荷重P3到机身中心线距离为6m 试问 1 保证起重机在满载和空载时都不致翻倒 求平衡荷重FQ应为多少 2 当平衡荷重FQ 180kN时 求满载时轨道A B给起重机轮子的反力 平面一般力系的平衡方程应用 例1 14图1 43a所示为曲轴冲床简图 由轮 连杆AB和冲头B组成 A B两处为铰链连接 OA R AB l 如忽略摩擦和物体的自重 当OA在水平位置 冲压头为F时系统处于平衡状态 求 1 作用在轮 上的力偶之矩M的大小 2 轴承O处的约束反力 3 连杆AB受的力 4 冲头给导轨的侧压力 平面一般力系的平衡方程应用 1 6 3考虑摩擦时物体的平衡考虑摩擦时 求解物体平衡问题的步骤与前面所述大致相同 但有如下的几个特点 1 分析物体受力时 必须考虑接触面间切向的摩擦力 通常增加了未知量的数目 2 为确定这些新增加的未知量 还需列出补充方程 即 补充方程的数目与摩擦力的数目相同 3 由于物体平衡时摩擦力有一定的范围 即 所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围 而不是一个确定的值 考虑摩擦时物体的平衡 例1 16将重为P的物体放置在斜面上 斜面倾角大于接触面的静摩擦角 已知它与斜面间的摩擦系数为 如图1 45a所示 当物体处于平衡时 试求水平力的大小 考虑摩擦时物体的平衡 解 由经验易知 力太大 物体将上滑 力太小 物体将下滑 因此力的数值必在一范围内 即应在最大与最小值之间 先求力的最大值 当力达到此值时 物体处于将要向上滑动的临界状态 在此情形下 摩擦力沿斜面向下 并达到最大值 物体共受四个力作用 列平衡方程 三式联立 可解得水平推力的最大值为 考虑摩擦时物体的平衡 现再求F1的最小值 当力达到此值时 物体处于将要向下滑动的临界状态 在此情形下 摩擦力沿斜面向上 并达到另一最大值 列平衡方程 三式联立 可解得水平推力的最小值为 综合上述两个结果可知 为使物体静止 必须满足如下条件 考虑摩擦时物体的平衡 例1 17如图1 46a 起重设备常用双块式电磁制动器制动 制动轮直径D 50cm 受一主动力偶矩 100N m作用 若制动轮与制动块间的摩擦系数f 0 25 试问要使制动轮停止 所需加于制动块的压力P至少应有多大 考虑摩擦时物体的平衡 1 7空间力系的平衡方程及其应用 返回 1 7 1 空间汇交力系的合成与平衡条件将平面汇交力系的合成法则扩展到空间 可得 空间汇交力系的