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第7课时正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理 b2 c2 2bc cos A c2 a2 2ca cos B a2 b2 2ab cosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC 思考探究 在 ABC中 sinA sinB是A B的什么条件 答案 B 答案 B 答案 C 答案 直角三角形 答案 无解 1 利用正弦定理可解决以下两类三角形 一是已知两角和一角的对边 求其他边角 二是已知两边和一边的对角 求其他边角 2 利用余弦定理可解两类三角形 一是已知两边和它们的夹角 求其他边角 二是已知三边求其他边角 由于这两种情形下的三角形是唯一确定的 所以其解也是唯一的 变式训练 1 已知a b c分别是 ABC中角A B C的对边 且a2 c2 b2 ac 1 求角B的大小 2 若c 3a 求tanA的值 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求A的大小 2 若sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 2020 1 7 23 1 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而求出其他的边和角时 有时可能出现一解 两解或无解的情况 应结合图形并根据 三角形中大边对大角 来判断解的情况 作出正确取舍 2 在判断三角形的形状时 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系 再用三角变换或代数式的恒等变形 如因式分解 配方等 求解 注意等式两边的公因式不要约掉 要移项提取公因式 否则会有漏掉一种形状的可能 3 在解三角形中的三角变换问题时 要注意两点 一是要用到三角形的内角和及正 余弦定理 二是要用到三角变换 三角恒等变形的原则和方法 化繁为简 化异为同 是解此类问题的突破口 从近两年的高考试题来看 正弦定理 余弦定理是高考的热点 主要考查利用正弦定理 余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题 常与同角三角函数的关系 诱导公式 和差角公式 甚至三角函数的图象和性质等交汇命题 多
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