大学定积分期末复习经典题库PPT课件.ppt

一 求积分的基本方法 机动目录上页下页返回结束 二 多元函数微分法 微积分II总复习 三 二重积分的计算 四 级数的敛散性与求和 五 求解微分方程 2010级20110607 1 一 求不定积分的基本方法 机动目录上页下页返回结束 二 几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第六章 2 一 求不定积分的基本方法 1 直接积分法 通过简单变形 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 2 换元积分法 注意常见的换元积分类型 代换 机动目录上页下页返回结束 3 3 分部积分法 使用原则 1 由 易求出v 2 比 好求 一般经验 按 反 对 幂 指 三 的顺序 排前者取为u 排后者取为 计算格式 列表计算 机动目录上页下页返回结束 4 多次分部积分的规律 机动目录上页下页返回结束 快速计算表格 特别 当u为n次多项式时 计算大为简便 5 例1 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 6 例2 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 分析 7 例3 求 解 原式 分部积分抵消 机动目录上页下页返回结束 8 例4 设 解 令 求积分 即 而 机动目录上页下页返回结束 9 例5 求 解 机动目录上页下页返回结束 10 例6 求 解 取 机动目录上页下页返回结束 说明 此法特别适用于 如下类型的积分 11 例7 设 证 证明递推公式 机动目录上页下页返回结束 12 例8 求 解 设 则 因 连续 得 得 利用 机动目录上页下页返回结束 13 例9 设 解 为 的原函数 且 求 由题设 则 故 即 因此 故 又 机动目录上页下页返回结束 14 二 几种特殊类型的积分 1 一般积分方法 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 机动目录上页下页返回结束 15 2 需要注意的问题 1 一般方法不一定是最简便的方法 2 初等函数的原函数不一定是初等函数 要注意综合 使用各种基本积分法 简便计算 因此不一 定都能积出 机动目录上页下页返回结束 例如 16 例10求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 17 例11求 解 令 比较同类项系数 故 原式 说明 此技巧适用于形为 的积分 机动目录上页下页返回结束 18 例12 解 因为 及 机动目录上页下页返回结束 19 例13 求不定积分 解 原式 机动目录上页下页返回结束 20 一 与定积分概念有关的问题的解法 机动目录上页下页返回结束 二 有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第七章 21 一 与定积分概念有关的问题的解法 1 用定积分概念与性质求极限 2 用定积分性质估值 3 与变限积分有关的问题 机动目录上页下页返回结束 例1求 解 因为 时 所以 利用夹逼准则得 22 例2 估计下列积分值 解 因为 即 机动目录上页下页返回结束 23 例3证明 证 令 则 令 得 故 机动目录上页下页返回结束 24 例4 设 在 上是单调递减的连续函数 试证 都有不等式 证明 显然 时结论成立 用积分中值定理 当 时 故所给不等式成立 机动目录上页下页返回结束 明对于任何 25 例5 解 且由方程 确定y是x的函数 求 方程两端对x求导 得 令x 1 得 再对y求导 得 机动目录上页下页返回结束 故 26 例6 求可微函数f x 使满足 解 等式两边对x求导 得 不妨设f x 0 则 机动目录上页下页返回结束 27 注意f 0 0 得 机动目录上页下页返回结束 28 例7求多项式f x 使它满足方程 解 令 则 代入原方程得 两边求导 可见f x 应为二次多项式 设 代入 式比较同次幂系数 得 故 机动目录上页下页返回结束 再求导 29 二 有关定积分计算和证明的方法 1 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2 注意特殊形式定积分的计算 3 利用各种积分技巧计算定积分 4 有关定积分命题的证明方法 思考 下列作法是否正确 机动目录上页下页返回结束 30 例8求 解 令 则 原式 机动目录上页下页返回结束 31 例9求 解 机动目录上页下页返回结束 32 例10选择一个常数c 使 解 令 则 因为被积函数为奇函数 故选择c使 即 可使原式为0 机动目录上页下页返回结束 33 例11设 解 机动目录上页下页返回结束 34 例12若 解 令 试证 则 机动目录上页下页返回结束 35 因为 对右端第二个积分令 综上所述 机动目录上页下页返回结束 36 例13证明恒等式 证 令 则 因此 又 故所证等式成立 机动目录上页下页返回结束 37 例14 试证 使 分析 要证 即 故作辅助函数 机动目录上页下页返回结束 至少存在一点 38 证明 令 在 上连续 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 从而不变号 因此 故所证等式成立 机动目录上页下页返回结束 故由罗尔定理知 存在一点 39 思考 本题能否用柯西中值定理证明 如果能 怎样设辅助函数 提示 设辅助函数 例15目录上页下页返回结束 40 例15 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 1 在 a b 内f x 0 2 在 a b 内存在点 使 3 在 a b 内存在与 相异的点 使 03考研 机动目录上页下页返回结束 41 证 1 由f x 在 a b 上连续 知f a 0 所以f x 在 a b 内单调增 因此 2 设 满足柯西中值定理条件 于是存在 机动目录上页下页返回结束 42 即 3 因 在 a 上用拉格朗日中值定理 代入 2 中结论得 因此得 机动目录上页下页返回结束 43 例16设 证 设 且 试证 则 故F x 单调不减 即 成立 机动目录上页下页返回结束 44 1 定积分的几何应用 平面图形面积 旋转体体积 2 基本方法 微元分析法 机动目录上页下页返回结束 定积分的应用 第七章 45 例1求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所指面积 机动目录上页下页返回结束 46 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 机动目录上页下页返回结束 47 例2设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 1 求函数 2 a为何值时 所围图形绕x轴一周所得旋转体 解 1 由方程得 面积为2 体积最小 即 故得 机动目录上页下页返回结束 48 又 2 旋转体体积 又 为唯一极小点 因此 时V取最小值 机动目录上页下页返回结束 49 第五章 机动目录上页下页返回结束 一 基本概念 二 多元函数微分法 三 多元函数微分法的应用 多元函数微分法 50 一 基本概念 连续性 偏导数存在 可微性 1 多元函数的定义 极限 连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2 几个基本概念的关系 机动目录上页下页返回结束 51 例1已知 求出的表达式 解法1令 即 解法2 以下与解法1相同 则 且 机动目录上页下页返回结束 52 二 多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1 分析复合结构 画变量关系图 自变量个数 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2 正确使用求导法则 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 注意正确使用求导符号 3 利用一阶微分形式不变性 机动目录上页下页返回结束 53 例2设 其中f与F分别具 解法1方程两边对x求导 得 有一阶导数或偏导数 求 99考研 机动目录上页下页返回结束 54 解法2 方程两边求微分 得 化简 消去即可得 机动目录上页下页返回结束 55 例3设 有二阶连续偏导数 且 求 解 机动目录上页下页返回结束 56 练习题 1 设函数f二阶连续可微 求下列函数的二阶偏导数 机动目录上页下页返回结束 57 解答提示 机动目录上页下页返回结束 58 机动目录上页下页返回结束 59 2 设 求 提示 机动目录上页下页返回结束 解出du dv 60 机动目录上页下页返回结束 代入 即得 代入 即得 61 有连续的一阶偏导数 及 分别由下两式确定 求 又函数 答案 2001考研 机动目录上页下页返回结束 3 设 62 三 多元函数微分法的应用 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 消元法 拉格朗日乘数法 求解最值问题 最小二乘法 机动目录上页下页返回结束 63 例4 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离 解 设 为抛物面 上任一点 则P 的距离为 问题归结为 约束条件 目标函数 作拉氏函数 机动目录上页下页返回结束 到平面 64 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 故 机动目录上页下页返回结束 65 一 二重积分计算的基本方法 二 二重积分计算的基本技巧 三 重积分的应用 机动目录上页下页返回结束 第八章 二重积分的计算及应用 66 一 二重积分的累次积分法 1 选择合适的坐标系 使积分域成为由平面曲线围成的区域 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2 选择易计算的积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 图示法 列不等式法 从内到外 面 线 点 3 掌握确定积分限的方法 机动目录上页下页返回结束 67 1 计算二重积分 其中D为圆周 所围成的闭区域 提示 利用极坐标 原式 机动目录上页下页返回结束 练习 68 2 计算积分 其中D由 所围成 提示 如图所示 连续 所以 机动目录上页下页返回结束 69 2020 1 7 70 二 二重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 机动目录上页下页返回结束 71 1 证明 提示 左端积分区域如图 交换积分顺序即可证得 机动目录上页下页返回结束 练习题 72 例1计算二重积分 其中 1 D为圆域 2 D由直线 解 1 利用对称性 围成 机动目录上页下页返回结束 73 2 积分域如图 将D分为 添加辅助线 利用对称性 得 机动目录上页下页返回结束 74 例2计算二重积分 在第一象限部分 解 1 两部分 则 其中D为圆域 把与D分成 作辅助线 机动目录上页下页返回结束 75 2 提示 两部分 说明 若不用对称性 需分块积分以去掉绝对值符号 作辅助线 将D分成 机动目录上页下页返回结束 76 例3 如图所示 交换下列二次积分的顺序 解 机动目录上页下页返回结束 77 三 二重积分的应用 1 几何方面 面积 平面域 证明某些结论等 2 其它方面 机动目录上页下页返回结束 78 例4 证明 证 左端 右端 机动目录上页下页返回结束 79 级数的收敛 求和与展开 机动目录上页下页返回结束 三 幂级数和函数的求法 四 函数的幂级数和级数展开法 一 数项级数的审敛法 二 求幂级数收敛域的方法 第十章 80 在收敛域内进行 基本问题 判别敛散 求收敛域 求和函数 级数展开 时为数项级数 时为幂级数 机动目录上页下页返回结束 81 一 数项级数的审敛法 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 正项级数审敛法 必要条件 发散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收敛 发散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动目录上页下页返回结束 82 3 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法 若 且 则交错级数 收敛 概念 且余项 机动目录上页下页返回结束 83 例1若级数 均收敛 且 证明级数 收敛 证 则由题设 收敛 收敛 收敛 机动目录上页下页返回结束 84 1 判别下列级数的敛散性 提示 1 据比较判别法 原级数发散 因调和级数发散 机动目录上页下页返回结束 练习题 85 利用比值判别法 可知原级数发散 用比值法 可判断级数 因n充分大时 原级数发散 用比值判别法可知 时收敛 时 与p级数比较可知 时收敛 时发散 再由比较法可知原级数收敛 时发散 发散 收敛 机动目录上页下页返回结束 86 2 设正项级数 和 也收敛 提示 因 存在N 0 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 都收敛 证明级数 当n N时 机动目录上页下页返回结束 87 3 设级数 收敛 且 是否也收敛 说明理由 但对任意项级数却不一定收敛 问级数 提示 对正项级数 由比较判别法可知 级数 收敛 收敛 级数 发散 例如 取 机动目录上页下页返回结束 88 4 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 提示 1 P 1时 绝对收敛 0 p 1时 条件收敛 p 0时 发散 2 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 故 机动目录上页下页返回结束 89 因 单调递减 且 但 所以原级数仅条件收敛 由Leibniz判别法知级数收敛 机动目录上页下页返回结束 90 因 所以原级数绝对收敛 机动目录上页下页返回结束 91 二 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数 先求收敛半径R 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 求下列级数的敛散区间 练习 机动目录上页下页返回结束 92 解 当 因此级数在端点发散 时 时原级数收敛 故收敛区间为 机动目录上页下页返回结束 93 解 因 故收敛区间为 级数收敛 一般项 不趋于0 级数发散 机动目录上页下页返回结束 94 例2 解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 原级数 其收敛半径 注意 机动目录上页下页返回结束 95 求部分和式极限 三 幂级数和函数的求法 求和 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 直接求和 直接变换 间接求和 转化成幂级数求和 再代值 求部分和等 初等变换法 分解 套用公式 在收敛区间内 数项级数求和 机动目录上页下页返回结束 96 例3求幂级数 法1易求出级数的收敛域为 机动目录上页下页返回结束 97 法2 先求出收敛区间 则 设和函数为 机动目录上页下页返回结束 98 练习 解 1 显然x 0时上式也正确 故和函数为 而在 x 0 求下列幂级数的和函数 级数发散 机动目录上页下页返回结束 99 2 机动目录上页下页返回结束 100 显然x 0时 和为0 根据和函数的连续性 有 x 1时 级数也收敛 即得 机动目录上页下页返回结束 101 练习 解 原式 的和 求级数 机动目录上页下页返回结束 102 四 函数的幂级数和级数展开法 直接展开法 间接展开法 练习 1 将函数 展开成x的幂级数 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解 机动目录上页下页返回结束 1 函数的幂级数展开法 103 2 设 将f x 展开成 x的幂级数 的和 01考研 解 于是 并求级数 机动目录上页下页返回结束 104 机动目录上页下页返回结束 105 一阶微分方程的 机动目录上页下页返回结束 一 一阶微分方程求解 二 解微分方程应用问题 解法及应用 第九章 106 一 一阶微分方程求解 1 一阶标准类型方程求解 关键 辨别方程类型 掌握求解步骤 2 一阶非标准类型方程求解 1 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 2 积分因子法 选积分因子 解全微分方程 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 全微分方程 机动目录上页下页返回结束 107 例1 求下列方程的通解 提示 1 故为分离变量方程 通解 机动目录上页下页返回结束 108 方程两边同除以x即为齐次方程 令y ux 化为分 离变量方程 调换自变量与因变量的地位 用线性方程通解公式求解 化为 机动目录上页下页返回结束 109 方法1这是一个齐次方程 方法2化为微分形式 故这是一个全微分方程 机动目录上页下页返回结束 110 例2求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 将方程改写为 贝努里方程 分离变量方程 原方程化为 机动目录上页下页返回结束 111 令y ut 齐次方程 令t x 1 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动目录上页下页返回结束 112 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解 机动目录上页下页返回结束 113 例3 机动目录上页下页返回结束 设F x f x g x 其中函数f x g x 在 内满足以下条件 1 求F x 所满足的一阶微分方程 03考研 2 求出F x 的表达式 解 1 所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程 114 机动目录上页下页返回结束 2 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 115 练习题 1 求以 为通解的微分方程 提示 消去C得 2 求下列微分方程的通解 只考虑方法及步骤 提示 令u xy 化成可分离变量方程 提示 这是一阶线性方程 其中 机动目录上页下页返回结束 116 提示 可化为关于x的一阶线性方程 提示 为全微分方程 通解 微分倒推公式 机动目录上页下页返回结束 117 原方程化为 即 则 故原方程通解 提示 令 机动目录上页下页返回结束 118 二 解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件 关键问题是正确建立数学模型 要点 机动目录上页下页返回结束 119 思考 能否根据草图列方程 练习题 1 已知某曲线经过点 1 1 轴上的截距等于切点的横坐标 求它的方程 提示 设曲线上的动点为M x y 令X 0 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动目录上页下页返回结束 120 二阶微分方程的 机动目录上页下页返回结束 二 微分方程的应用 解法及应用 一 两类二阶微分方程的解法 第九章 121 一 两类二阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动目录上页下页返回结束 122 2 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 机动目录上页下页返回结束 123 1 求以 为通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 2 求下列微分方程的通解 提示 1 令 则方程变为 机动目录上页下页返回结束 练习题 124 特征根 齐次方程通解 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思考 若 2 中非齐次项改为 提示 原方程通解为 特解设法有何变化 机动目录上页下页返回结束 125 3