第一章_集合与函数概念__复习讲义　.doc

第一章 集合与函数概念 一、集合的基本概念与运算(一)元素与集合1.集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A，B，C，D，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示元素。2.集合中元素的特征(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。(3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就是说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。拓展与提示：（1）无序性常常作为计算时验证的重要依据。（2）注意N与N*的区别。N*为正整数集，而N为非负整数集，即0N但0 N*。（3）集合的分类按元素个数按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（），只含有一个元素的集合叫做单元素集。例已知解析 解得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。解得x= -1或1(舍去)这时y=0x= -1，y=06、集合的表示方法(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集形式：(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：，其中x为元素，p(x)表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么xD可以省略，只写其元素x，如可以表示为。(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于10既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；(4)方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为：，A是无限集。 (2)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：，集合 B是有限集。(3)所求集合可表示为：，集合C是无限集。(4)因为方程x2+x+1=0的判别式的0，故无实数，所以方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空集。(二)集合的基本关系1、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B”(或“B包含A”)。数学表述法可简述为：若，则集合A是集合B的子集。(如图) 2、集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。数学表述法可描述为：对于集合A、B，若，且，则集合A、B相等。3、真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作或说：若集合，且AB，则集合A是集合B的真子集。4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：(1) 。(2) B(其中B为非空集合)(3)对于集合A，B，C，若。(4)对于集合A，B，C，若，C则C(5)对于集合A，B，若。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。(7)是不同的，前者为包含关系，后者为属于关系。（三）集合间的基本运算1、并集一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“A并B”)，即可用Venn图表示为拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“A交B”)，即。拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1) (2)；(3)；(4)；(5)。可用Venn图表示为3、全集与补集(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。(2)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作。用Venn图表示为拓展与提示：(1)A=，A，=U；（2）=，=，=U；(3) =，=。(4)下图中的分别表示为A， B ， AB ， 例 设集合，若AB=，求AB。解析 由AB=得，9A。x2=9或2x-1=9由x2=9得，x=3。当x=3时，与元素的互异性矛盾。当x=-3时，此时，由2x-1=9得x=5.当x=5时，此时，与题设矛盾。综上所述，4、集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。例如：.一般地，对任意两个有限集A，B，有card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).当时仅当AB=时，card(AB)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。例 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解析 设，那么，Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) =8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示(一)函数的概念1、定义一般地，我们说：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。2、函数的三要素(1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。(2)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。拓展与提示：(1)函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。(2)注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。3、区间设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。定义名称符号数轴表示闭区间a，b开区间(a，b)半开半闭区间半开半闭区间实数集常用区间表示为，“”读作“无穷大”。“”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”集合符号数轴表示拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。(2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。若f(x)是整式，则定义域为R；若f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；若f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域是ag(x)b的解集；若fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域是g(x)在下的值域。例1 求下列函数的定义域解析 要使有意义，则必须，即x-1且x2，故所求函数的定义域为例2 (1)已知函数f(x)的定义域是-1，3，求f(x+1)和f(x2)的 定义域(2)已知函数f(2x+3)的定义域为，求f(x-1)的定义域解析 (1)f(x)的定义域为-1，3，f(x+1)的定义域由-1x+13确定，即-2x2，f(x+1)的定义域为-2，2.f(x2)的定义域由-1x23确定，即f(x2)的定义域为(2)函数f(2x+3)的定义域为，2x+3中的x满足-1x2，12x+37.令t=2x+3，则f(t)的定义域为.又1x-17，2x8f(x-1)的定义域为4、反函数式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)中解出x得到x=g(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y是自变量x的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)的反函数，记作，一般写成.拓展与提示：(1)函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；(2)函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称。(二)函数的表示法1、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。拓展与提示：(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到x轴上的区域范围，其值域是图象投射到y轴上的区域范围。2、分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1D2Dn.拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。例 中国移动通信已于2006年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号基本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间话费(元/分钟)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40请问：“套餐”中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解析 “套餐”中第3种收费函数为3、复合函数若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n)，那么y关于x的函数y=fg(x)，x(a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域。4、映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可，且A、B必须非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应，而B中的元素却不一定在A中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。5、函数解析式的求法待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。换元法。若已知函数的解析式，可令，并由此求出x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x)，或f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。 5配凑法例 解答下列各题：(1)已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)；(2)已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)；(3)已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x(2)方法一：(配凑法)f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3， f(x)=x2-4x+3方法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1，f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，f(x)=x2-4x+3.(2)由题意设g(x)=ax2+bx+c，a0.g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点， 解得 g(x)=3x2-2x.三、函数的基本性质(一)函数的单调性1、单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，如下图(1)所示。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，如下图(2)所示。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。拓展与提示：(1)定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值代替。(2)若f(x)在区间D1，D2上都是增(减)函数，但f(x)在D1D2上不一定是增(减)函数。(3)由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。2、函数单调性的判断方法(1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10，则f(x)在(a,b)上递增；若当x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在(a,b)上递减。例 讨论函数在(-2，+)上的单调性。解析 设-2x1x2，则f(x2)-f(x1)=.=.又-2x10，即时，上式0，即f(x2)f(x1)；当1-2a0，即f(x2)f(x1)。当时，在(-2，+)上为减函数当时，在(-2，+)上为增函数3、复合函数的单调性对于复合函数y=fg(x)，若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y=fg(x)为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=fg(x)为减函数，简单地说成“同增异减”。y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=fg(x)增增减减(二)函数的最大(小)值1、定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。同样地：如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)=M.那么我们称M是函数的最小值。拓展与提示：(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。(2)一个连续不断的函数在闭区间a,b上一定有最大值和最小值。(3)求函数最值的常见方法为构造二次函数；单调性法；导数法。2、二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c，当a0时，在闭区间m,n上的最值可分如下讨论：若时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)；若时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；若时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为.例 已知，若f(x)=ax2-2x+1，在1，3上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。解析 .，.又1，3.当，f(x)min=N(a)=当，即时，f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5.当时，f(x)max=M(a)=f(1)=a-1(三)函数的奇偶性1、定义偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意