高等数学B（C卷）答案.doc

华北电力大学 20072008学年第二学期高数B考试试卷(C) 参考答案及评分标准一、填空题（本大题共 5小题，每小题3分，总计 15 分） 1.二阶常系数齐次微分方程的通解是，则该方程为 2.，则=。 3.曲面在点(0,1,-1)处的切平面与平面的夹角为。 4.，其中为，则I= 5. 设级数收敛，且和为s，则二、单项选择题（本大题共5 小题，每小题3分，总计 15 分）6. 方程表示旋转曲面，它的旋转轴是（ B ） A. x轴； B. y轴； C. z轴； D. 直线x=y=z .7. 二元函数的极小值点是 ( D ) A. (0，1)； B. (0，-1)； C. (-1，0)； D. (1，0) .8. 将函数展开成的幂级数时的系数是（B） A. 2/3； B. -2/3； C. 1/3； D. -1/3 .9.的特解形式为( A ) A . B. C. D. 10.设是连续函数，则二次积分等于（C）。A . B. C. D. 三、微分学题（本大题共2 小题，每小题5分，总计 10分 ） 11.设具有一阶连续偏导，且由方程确定， 求。 解：方法一、方程两边微分得 -4分 -5分 方法二、方程两边关于求偏导得 解得 -2分 方程两边关于求偏导得 解得 -4分 故。 -5分 12. 求函数在点处沿方向的方向导数，其中为曲面 在点P的外法线方向。 解: 曲面在点P的外法线向量为 其方向余弦为 -2分 -4分 故 -5分四、积分题（本大题共5 小题，每小题6分，总计30分 ） 13. 计算其中D为以（1，1），（-1，1），（-1，-1）为顶 点围成的三角形区域。 解： 方法一 利用对称性。如图所示，将D 分成D1，D2两个区域， D2关于轴对称，被积函数是的奇函数， -2分 故 = -6分 方法二、 -3分 -6分14.计算，其中由与平面围成。 解：选柱坐标系，则 -3分 -6分 15.计算积分，为沿的逆时针方向从A(2，0)到 B(2，0)的弧。 解：方法一、， -2分 -5分 -6分 方法二、令， -2分 -4分 -6分 方法三、补线 故-2分 在上，故=0 -3分 在上用格林公式得 -6分 16. 计算，其中是平面被三坐标面所截在第一卦限的部分。解：在上：，故 在xoy面的投影为 由围成 -2分 故 -4分 -6分 17. 计算，其中由曲面与 围成的立体表面的外侧。 解：由高斯公式 -2分 -4分 -6分五、级数题（本大题共2 小题，每小题6分，总计 12分 ） 18判断级数的敛散性。 解：令，则 -3分 令 由比值审敛法收敛 -5分 再由比较审敛法有收敛。 -6分 19将展开成正弦级数。 解：对进行奇延拓、在进行周期延拓（可画图表示）， -2分 -5分 在时，不连续 故 -6分 六、微分方程题（本大题共2 小题，每小题6分，总计 12分 ） 20求方程的通解。 解：齐次方程的特征方程为，特征根为 齐次方程的通解为 -3分 设非齐次方程的特解为 - -4分 代入方程解得 非齐次方程的通解为 -6分 21.在过原点和点A（2，3）的简单光滑曲线上任取一点，过点作两坐 标轴的平行线，平行于x轴的线与y轴和曲线围成的面积是平行于y轴的线与x轴 和曲线围成的面积2倍，求曲线方程。 解：设曲线方程为 由已知 -2分 两边求导得 解得，即 -5分 再由则 所求曲线为 -6分 七 证明题 （本大题共1小题，6分 ） 22设在区间0, （0）上连续，而 证明：级数在区间0, 上绝对收敛。证明： 在区间0, 上