高等数学（B）论述题、证明题辅导（11春）.doc

高等数学（B）（1）论述题、证明题辅导（11春）一、论述题1论述中国数学家刘徽对微积分的贡献答：刘徽对微积分的贡献主要有两点：刘徽的割圆术。他应用极限思想证明了面积公式和计算圆周率的方法。他从圆内接正六边形开始，依次得正十二边形、正二十四边形，他认为，割得越细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。他得到的圆周率是3927/1250（=3.14516）。他提出的计算圆周率的科学方法奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。解决体积问题的设想。九章算术中已有了求球体积的共识，相当于（为球的直径）。刘徽指出这个公式是错误的，其原因在于错误地把球与外切圆柱的体积的比看成3:4，为了推导体积公式，刘徽在正方体内作了两个相互垂直的圆柱，并称两圆柱的公共部分为“牟和方盖”。他正确地指出，“牟和方盖”与其内切球体体积之比为4：。在算法理论和数学思想方面都给后人以极大的启发。2论述极限思想的辩证意义极限式 （A）意义：有限与无限的相互转化。从作向右看（A）式，是无限向有限转化，从右向左看（A）式，是有限中包含无限。例如，近似于精确的相互转化。对人一个具体的（A）的左边都是右边的一个近似值。例如，定积分是一种和式的极限，定积分的近似值计算就是用有限和去代体极限值，利用了近似与精确这对矛盾的转化。如果，我们从哲学上来看极限概念，（A）也有丰富的含义，首先，它表现了量变质变律，量的变化引起了质的变化。例如，有理数的序列可以有无理数的极限，正的序列可以有0的极限，还有近似转化为精确，也是量变引起的质变。其次，它表现了否定与否定之律：有限-无限-有限。最近，它反映了对立统一律没，有限与无限的对立统一没，近似与精确的对立统一，质与量的对立统一，运动与静止的对立统一。3微积分学的创立客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在不停地运动和变化着，因此，在数学中引进了变量的概念，就有可能把运动现象用数字来加以描述了。在解析几何学那里，我们已经简要地介绍了变量和函数这些基本概念，由于函数概念的产生和采用，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了。这就是微积分学的创立。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。微积分学是微分学和积分学的总称，在后面的具体内容中，我们将要对微分和积分的概念作出解释，这里先介绍一下这门学科创立的过程和它的基本思想。从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分思想在古代就已经产生了。就积分的思想来说，公元前3世纪希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微积分学的基础的极限论，早在古代就已有了比较清楚的论述。比如我国的庄周(约前369-约前286)所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国时代的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这些都是十分朴素的、也是很典型的极限概念。到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的四大因素。第一类问题是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等人都提出过许多很有建树的理论。为微积分的创立作出了贡献。17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国的牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里研究和完成了微积分学的创立工作。虽然这只是十分初步的，但是应该承认，他们各自独立地建立起微积分学的体系。他们的最大功绩是把两个貌似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题（积分学的中心问题)。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于从几何学来考虑的。牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，他在这本书里指出，变量是由点、线和面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止的集合。他把连续变量叫做流动量，用等表示。把这些流动量的导数叫做“流动率”，或者叫做流数，或叫做“速度”、“迅度”。时间是所有流动量的自变量，即，相当于莱布尼茨的，。他还使用了“瞬”这种名称。他在另一部著作曲线求积论中又重新解释了他新使用的符号。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：第一，已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(也就是微分法)；第二，已知运动的速度求给定时间内经过的路程(也就是积分法)。德国的莱布尼茨是一个博学多才的学者。1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章仅有6页纸，内容并不丰富，标题很长而且很古怪，叫做“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”。就是这样一篇说理也颇含混的文章，却有着划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学。他是历史上最大的符号学者之一。他所创设的微积分符号，远远优于牛顿符号，这对微积分有极大的影响。现在还在通用的符号如，就是当时莱布尼茨精心选用的。4微积分的基本内容（红字部分为答题要点）。研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法也叫做数学分析。本来，从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分，有时候也叫做分析数学，或者叫分析。微积分的基本概念和内容有哪些呢？前面已经说过，微积分学是微分学和积分学的总称，也就是说它包括两大部分。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。（1）微分学极限论是微积分最基本的理论。什么叫做极限呢？举例来说，对于一个函数，当自变量越来越接近的时候，如果函数值也随着越来越接近一个定数，我们就说这个是函数在点的极限。现在用数学的记号写出函数在点的极限定义：设函数在点的附近(但可能除掉点本身)有定义，又设是一个定数，如果对任意给定的，一定存在，使得当时，总有，我们就把叫做函数在点的极限，记作，或从下图可以看出，“当，也就是，图62时，总有“的几何意义。表明只要当（可能）时，曲线总在两条直线和之间，或者说曲线的图形是在矩形内。（2）积分学导数和微分统称微分法，它是反映和刻画运动非均匀变化的瞬时状况，是作用于函数的一种数学运算，这是问题的一面。另一面同运动变化的瞬时状况相逆的是运动变化的总体状况。怎样研究运动的总体状况，这就存在和微分运算的相反的一种运算。就象我们已经熟知的一样，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，乘方的逆运算是开方等等。那么，微分的逆运算是什么呢？例如，某物体的运动规律是（是时间，是路程，是初速度，是初始的距离）。那么对求导数，就得到这个物体在任一时刻的瞬时速度，即可是在物理里往往存在有相逆的问题。就是已知物体在任一时刻的速度，当然这是一个非均匀变化问题，而要去求这个物体的运动规律。从数学上来讲，这是个与微分相反的问题，就是要去求物体的运动路程和时间的依赖关系，使它的导数。显然，这正是微分学的逆问题，也就是积分学。象这样的逆问题的求法，叫做不定积分法。如上例的求法，若已知，那么，(其中是常数，可以写成)在数学上，我们把求已知函数的任意原函数叫做的不定积分，用数学符号写成有关不定积分的计算，除去用积分基本公式外，还有换元积分法、分部积分法和其他方法、技巧等，这里也不介绍了。在实际工作中，可利用现成的积分表来计算。积分学中除去不定积分还有定积分，前者是牛顿强调一个方面，而后者是通过“微分的无限积累”去研究运动变化的总体状况。5微分方程发展简述微分方程是常微分方程与偏微分方程的总称。（1）常微分方程 在微积分中，已知而求就是解最简单的常微分方程。因此，常微分方程作为一个学科几乎和微积分同时产生，它的发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展互相促进。数学其他分支的发展如复变函数论、李群、组合拓扑等都给它的发展以深刻的影响。近半个世纪以来，计算机的发展为它的应用和理论的研究提供了强有力的工具。它的发展大体上分成如下四个阶段。第一阶段：18世纪及其以前是它的产生和初步发展阶段，质点动力学问题的研究是其主要来源之一。在这个阶段，和代数方程中人们默认根的存在，并集中力量寻求5次方程的根式解法类似，人们不仅默认解的存在，而且注意力集中于求通解，并取得一些成果。例如，莱布尼茨关于齐次方程和线性方程的通解，J.伯努利提出并解决所谓伯努里方程的特殊非线性方程，欧拉等得到的常系数线性方程的通解等。但是，能求显式通解的方程毕竟有限，因此，求通解的努力经过一段时间后便停滞下来。当时由于某些实际问题的需要，开始了用数值方法求近似解的工作。电子计算机出现以后，常微分方程的数值解法发展成一个重要分支。第二阶段：在19世纪的初期和中期，是整个数学取得许多重大突破的时期，也是常微分方程在理论上取得重要成就的时期。这些成就是微积分现代形式的奠基人、复变函数奠基人之一的柯西将常微分方程的研究由实数域扩展到复数域，并证明在方程右方是解析函数的条件下解的存在性和唯一性；由于对热传导和弦振动等实际问题的研究，出现了由斯图姆和刘维尔所开创的边值问题和特征值问题新的研究领域；同阿贝尔1824年证明五次方程无一般求根公式类似，1841年，刘维尔通过对黎卡提方程的研究，结束了一般常微分方程求通解的意图；同伽罗瓦1832年的工作相类似，1874年，S李将李群概念用于常微分方程，引入了将解变为解的连续变换群的概念，当连续变换群已知时常微分方程的积分因子可写成显式，从而解决了解的可积性问题。第三阶段：19世纪末期和20世纪初期，常微分方程的理论在三个方面取得重大进展，且都与庞加莱的工作相联系。其一，它的解析理论的研究。包括椭圆函数一般理论的建立，线性方程的理论，一阶非线性方程的理论，以及自守函数的理论等。这时期，组合拓扑和常微分方程也互相渗透，共同发展。其二，以庞加莱的工作为标志，常微分方程实域定性理论的创立。其特点是：由复域的研究又转向实域的研究，由函数的研究转到曲线的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式。这一新分支包括奇点附近积分曲线的分布、极限环、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等。其三，由于天体力学，特别是“三体问题”的需要，庞加莱等关于摄动理论的创立。第四阶段：从20世纪中期起，常微分方程继续向深、广发展，主要有如下四个方面：其一，由于工程技术等实际问题的需要而产生了一些新分支，如差分方程、泛函微分方程以及随机微分方程等。其二，虽然一般非线性问题得不到精确的解析形式的解，但由于实际问题又需要解析形式的解，于是人们退而求其近似解析形式的解。为此目的，不同的数学家创造了不同的方法，如PLK方法、WKB方法、KBM方法、多尺度法、匹配法、奇摄动法、区域分析法等。其三，由于电子计算机的产生与发展，使常微分方程产生了许多新成果，如数值求解法，数值模拟、机器推导等。其四，常微分方程的理论本身向高维、抽象化方向发展。这方面包括由普通空间常微分方程向抽象空间常微分方程的发展，由具体动力系统向抽象动力系统的发展，由实域定性理论向复域定性理论的发展，以及由二维平面上的一维积分曲线的研究向四维空间中的二维积分曲面的研究等。6数学的第二次危机（红字部分为答题要点）十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。而这次的危机是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。（1）危机的出现17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支数学分析，或称微积分。由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是s/t当t趋向于零时的值。t是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。所谓无穷小量：是指一個非零而又极接近零的量，而所谓极接近零是指這個量与零之間不容許有任何空間和距离。 无穷小量是一個既不是零又不是非零的量，那麼，无穷小量是零嗎？微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。也正因为他的逻辑上不严格，而遭到责难。（2）微积分受到攻击与贝克莱的发难十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。因此，微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，微积分薄弱的基础遭到了许多数学家和非数学家们的争论和批评。其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。贝克莱，18世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本针对微积分基础的书分析学家。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x取一个不为0的增量 x ，由 (x + x)2 x2 ，得到 2xx + (x ) 2 ，后再被 x 除，得到 2x + x ，最后突然令 x = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的鬼魂”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。（3）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”（4）危机的实质第二次数学危机的实质是什么？应该是 数学思想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。（5）危机的解决进入19世纪，数学陷入了更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能