高考数学专题复习——函数与导数.doc

快乐蜜蜂快乐蜜蜂 优质文档优质文档 第第 1 页页 共共 186 页页 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 目录目录 第一阶段第一阶段 函数与导数高考知识精讲函数与导数高考知识精讲 函数与导数函数与导数 第2页 第二阶段第二阶段 函数与导数基础训练与提高函数与导数基础训练与提高 第三章第三章 函数函数 第一单元第一单元 函数的概念与性质函数的概念与性质 第 11 页 第二单元第二单元 基本初等函数基本初等函数 第 36 页 第四章第四章 导数及其应用导数及其应用 第 54 页 第三阶段第三阶段 高考试题专题分类训练与积累高考试题专题分类训练与积累 三年高考试题分类解析 三年高考试题分类解析 20082008 20102010 年 年 第 67 页 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 2 页页 共共 186 页页 第一阶段第一阶段 函数与导数高考知识精讲函数与导数高考知识精讲 第一部分第一部分 高考数学函数部分知识点梳理高考数学函数部分知识点梳理 1 1 函数的定义域函数的定义域 分母不能为 0 对数的真数必须为正 偶次根式中被开方数应为非负数 零指 数幂中 底数不等于 0 负分数指数幂中 底数应大于 0 若解析式由几个部分组成 则定义域为各个部分相应集合的交集 如果涉及实际问题 还应使得实际问题有意义 2 2 函数的值域函数的值域 1 配方法 对于 可化为 二次函数型 的函数常用配方法 如求函数 4cos2sin 2 xxy 可变为2 1 cos4cos2sin 22 xxxy解决 2 基本函数法 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求 如函数 32 log 2 2 1 xxy就是利用函数uy 2 1 log 和32 2 xxu的值域来求 3 判别式法 通过对二次方程的实根的判别求值域 如求函数 22 12 2 xx x y的值域 2 133 2 133 4 分离常数法 常用来求 分式型 函数的值域 如求函数 1cos 3cos2 x x y的值域 5 利用函数的单调性求求值域 如求函数 2 1 22 24 xxxy的值域 6 图象法 如果函数的图象比较容易作出 则可根据图象直观地得出函数的值域 7 导数法 一般适用于高次多项式函数 如求函数 32 2440f xxxx 的最小值 48 3 3 x 8 对勾函数法 定义域是 x x0 值域是 当 x 0 有 有最小值是 2 当 x 0 y 0 B x y xy 1 x 0 y 0 C x y xy 2 x 0 y 0 y 0 5 现给出下列对应 1 A x 0 x 1 B R f x y ln x 2 A x x 0 B R f x y x 3 A 平面 内的三角形 B 平面 内的圆 f 三角形 该三角形的内切圆 4 A 0 B 0 1 f x y sin x 其中是从集 A 到集 B 的映射的个数 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 6 2009 年珠海一中模拟 已知函数 f x 则 x2 1 x2 1 f 2 f 1 2 7 设 f A B 是从集合 A 到 B 的映射 A B x y x R y R f x y kx y b 若 B 中元素 6 2 在映射 f 下的元素是 3 1 则 k b 的值分别为 8 2009 年东莞模拟 集合 A a b B 1 1 0 那么可建立从 A 到 B 的映射个 数是 从 B 到 A 的映射个数是 三 解答题 9 已知 f 满足 f ab f a f b 且 f 2 p f 3 q 求 f 72 的值 10 集合 M a b c N 1 0 1 映射 f M N 满足 f a f b f c 0 那么映 射 f M N 的个数是多少 参考答案参考答案 1 解析 4 中元素 c 没有象 不符合映射定义中的 集 A 中的任意一个元素在集 B 中 都有元素与之对应 5 中 与元素 a 对应的元素有两个 不符合映射定义中的 对于集 A 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 11 页页 共共 186 页页 中的任意一个元素 在集 B 中都有唯一确定的元素与之对应 而 1 2 3 中的对应都符合映 射定义 故本题正确答案为 A 答案 A 2 解析 A C D 中的对应法则都是 一对多 故它们不是函数的图象 正确答案为 B 答案 B 3 B 4 解析 因为 x y 1 所以 2x 2y 2x y 2 这就是说 集合 N 中的元素 其横坐标与 其纵坐标之积为常数 2 又显然集合 N 中横 纵坐标都是正数 故本题正确答案为 D 答案 D 5 解析 1 的对应中 对于集 A 中值 0 在集合 B 中 没有元素与之对应 故 1 的对 应不是从 A 到 B 的映射 2 的对应中 对于集 A 中的任意一个非零 x 的值 在集合 B 中 都有两个元素与之对应 不满足唯一性 故 2 的对应不是从 A 到 B 的映射 3 4 的对应都 满足映射的定义 故 3 4 的对应都是从 A 到 B 的映射 故选 B 答案 B 6 1 7 解析 依题意 3 1 6 2 则Error Error k 2 b 1 答案 k 2 b 1 8 9 8 9 解析 f ab f a f b f 72 f 8 9 f 8 f 9 f 4 2 f 3 3 f 4 f 2 2f 3 f 2 2 f 2 2f 3 3f 2 2f 3 3p 2q 10 解析 f a N f b N f c N 且 f a f b f c 0 有 0 0 0 0 1 1 0 当 f a f b f c 0 时 只有一个映射 当 f a f b f c 中恰有一个为 0 而另两个分别为 1 1 时 有 C A 6 个映射 因此所求的映射的个 1 32 2 数为 1 6 7 第二节 函数的解析式与定义域 题号12345 答案 一 选择题 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 12 页页 共共 186 页页 1 函数 f x lg 3x 1 的定义域是 3x2 1 x A B 1 3 1 3 1 C D 1 3 1 3 1 3 2 已知 f 则 f x 的解析式可取为 1 x 1 x 1 x2 1 x2 A B x 1 x2 2x 1 x2 C D 2x 1 x2 x 1 x2 3 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的 行驶路程 s 看作时间 t 的函数 其图象可能是 4 设函数 f x Error Error 则 f的值为 1 f 2 A B 15 16 27 16 C D 18 8 9 5 2009 年北京卷 若函数 f x Error Error 则不等式 f x 的解集为 1 3 A 3 1 B 1 3 C 1 3 D 3 1 二 填空题 6 已知函数 f x 的定义域为 A 2 A 则 a 的取值范围是 x2 2ax a2 1 7 如果 f f x 2x 1 则一次函数 f x 8 2009 年潮州模拟 为了保证信息安全传输必须使用加密方式 有一种方式其加密 解 密原理如下 明文密文密文明文 加密 发送 解密 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 13 页页 共共 186 页页 已知加密为 y ax 2 x 为明文 y 为密文 如果明文 3 通过加密后得到密文为 6 再发送 接受方通过解密得到明文 3 若接受方接到密文为 14 则原发的明文是 三 解答题 9 如右图所示 在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P 沿着折线 BCDA 由 B 点 起点 向 A 点 终点 移动 设 P 点移动的路程为 x ABP 的面积为 y f x 1 求 ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数关系式 2 作出函数的图象 并根据图象求 y 的最大值 10 2009 年汕头模拟 已知二次函数 f x ax2 bx c a 2x 的解集为 1 3 1 若方程 f x 6a 0 有两个相等的实根 求 f x 的解析式 2 若 f x 的最大值为正数 求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 1 解析 由Error Error x 1 故选 B 1 3 答案 B 2 解析 令 t 则 x 1 x 1 x 1 t 1 t f t f x 2t t2 1 2x x2 1 答案 C 3 A 4 A 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 14 页页 共共 186 页页 5 解析 1 由 f x Error Error 3 x 0 1 3 2 由 f x Error Error Error Error 1 3 0 x 1 不等式 f x 的解集为 x 3 x 1 1 3 答案 D 6 解析 2 A 4 4a a2 1 0 即 a2 4a 3 0 解得 1 a 3 答案 1 a 2x 的解集为 1 3 x 1 和 x 3 是方程 ax2 b 2 x c 0 a 0 的两根 Error Error b 4a 2 c 3a 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 15 页页 共共 186 页页 又方程 f x 6a 0 有两个相等的实根 b2 4a c 6a 0 4 2a 1 2 4a 9a 0 5a 1 1 a 0 a 或 a 1 舍 1 5 a b c 1 5 6 5 3 5 f x x2 x 1 5 6 5 3 5 2 由 1 知 f x ax2 2 2a 1 x 3a a 2 3a x 2a 1 a 2a 1 2 a a 2 x 2a 1 a a2 4a 1 a a 0 f x 的最大值为 a2 4a 1 a f x 的最大值为正数 Error Error Error Error 解得 a 2 或 2 ab a2 即 b 1 又函数 y f x x2 2x 4 的定义域 值域都是闭区间 2 2b 所以有 f 2b 2b 即 1 2 2b 2 2 2b 4 2b 1 2 b2 3b 2 0 b 1 舍去 b 2 10 解析 1 利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R x 与其总成本 C x 之差 由题意 当 x 5 时 产品能全部售出 当 x 5 时 只能销售 500 台 所以 y Error Error 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 18 页页 共共 186 页页 Error Error 2 在 0 x 5 时 y x2 4 75x 0 5 1 2 当 x 4 75 百台 时 ymax 10 78125 万元 b 2a 当 x 5 百台 时 y 12 0 25 5 10 75 万元 所以当生产 475 台时 利润最大 3 要使企业不亏本 即要求 Error Error 或Error Error 解得 5 x 4 75 0 1 百台 或 5 x 48 百台 时 即企业年产量在 10 台到 21 5625 4800 台之间时 企业不亏本 第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 题号12345 答案 一 选择题 1 2009 年顺德一中月考 已知 f x Error Error 是 上的增函数 那么 a 的取值范围是 A 1 B 3 C D 1 3 3 5 3 2 2010 年湖北卷 若 f x x2 bln x 2 在 1 1 2 上是减函数 则 b 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 3 2010 年辽宁卷 设 f x 是连续的偶函数 且当 x 0 时 f x 是单调函数 则满足 f x f 的所有 x 之和为 x 3 x 4 A 3 B 3 C 8 D 8 4 若不等式 x2 ax 1 0 对于一切 x 成立 则 a 的取值范围是 0 1 2 A 0 B 2 C D 3 5 2 5 2009 年浙江卷 若函数 f x x2 a R 则下列结论正确的是 a x 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 19 页页 共共 186 页页 A a R f x 在 0 上是增函数 B a R f x 在 0 上是减函数 C a R f x 是偶函数 D a R f x 是奇函数 二 填空题 6 函数 y 的递减区间是 x2 2x 3 7 如果函数 f x 在 R 上为奇函数 在 1 0 上是增函数 且 f x 2 f x 则 f f 1 3 f 1 从小到大的排列是 2 3 8 2010 年湖南卷 已知函数 f x a 1 3 ax a 1 1 若 a 0 则 f x 的定义域是 2 若 f x 在区间上是减函数 则实数 a 的取值范围是 0 1 三 解答题 9 已知函数 f x 在 1 1 上有定义 当且仅当 0 x 1 时 f x 1 且 3 a 0 解得 1 a 3 又当 x 1 时 3 a x 4a 3 5a 当 x 1 时 logax 0 所以 3 5a 0 解得 a 所以 1 a0 恒成立 故 a 0 a 2 0 1 2 若 0 即 1 a 0 则应有 a 2 1 2 f 1 1 0 恒成立 故 1 a 1 1 3 2 3 f f f 1 1 3 2 3 f f f 1 1 3 2 3 答案 f f f 1 1 3 2 3 8 1 2 3 a 0 1 3 9 证明 1 由 f x f y f 令 x y 0 得 f 0 0 x y 1 xy 令 y x 得 f x f x f f 0 0 x x 1 x2 f x f x 即 f x 为奇函数 2 先证 f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 21 页页 共共 186 页页 则 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 1 x1x2 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 x2 x1 1 x2x1 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 1 由题意知 f 0 x2 x1 1 x2x1 x2 x1 1 x1x2 即 f x2 f x1 f x 在 0 1 上为减函数 又 f x 为奇函数且 f 0 0 f x 在 1 1 上为减函数 10 解析 1 f x 在 上为增函数 f x f x 2x t x2 1 2x2 2tx 2 x2 1 2 当 x 时 4x2 4tx 10 1 2 当 x 时 2x2 2tx 2 0 f x 0 f x 在 上单增 2 由题意及 1 可知 f x max f f x min f g t f f 2 t 2 1 2 t 2 1 2 t 2 2 2 2 2 1 t 1 4 2 4 t2 1 2 2 2 2 t2 1 2 g t t R 8 t2 1 2t2 5 16t2 25 令 U 则 t2 U2 1 U 1 t2 1 g t 8U 2U2 3 16U2 9 16U3 24U 16U2 9 0 16U3 24U 16U2 9 8 32U4 6U2 27 16U2 9 2 在 1 单调递增 16U3 24U 16U2 9 当 U 1 t 0 时 g t min 8 5 第五节第五节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 题号12345 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 22 页页 共共 186 页页 答案 一 选择题 1 f x g x 是定义在 R 上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 的 A 充要条件 B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件 D 既不充分也不必要的条件 2 2010 年安徽卷 若函数 f x g x 分别是 R 上的奇函数 偶函数 且满足 f x g x ex 则有 A f 2 f 3 g 0 B g 0 f 3 f 2 C f 2 g 0 f 3 D g 0 f 2 f 3 3 2009 年肇庆一中模拟 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x0 且 g 2 0 则不等式 f x g x 0 的解集是 A 2 0 2 B 2 0 0 2 C 2 2 D 2 0 2 4 2009 年天津卷 已知函数 f x Error Error 若 f 2 a2 f a 则实数 a 的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 5 2009 年全国卷 函数 f x 的定义域为 R 若 f x 1 与 f x 1 都是奇函数 则 A f x 是偶函数 B f x 是奇函数 C f x f x 2 D f x 3 是奇函数 二 填空题 6 2010 年福建卷 函数 f x x3 sin x 1 x R 若 f a 2 则 f a 的值为 7 2009 年南昌模拟 设奇函数 f x 的定义域为 5 5 若当 x 0 5 时 f x 的图象如右图所 示 则不等式 f x 0 的解是 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 23 页页 共共 186 页页 8 2009 年重庆卷 若 f x a 是奇函数 则 a 1 2x 1 三 解答题 9 已知函数 f x 和 g x 的图象关于原点对称 且 f x x2 2x 1 求函数 g x 的解析式 2 解不等式 g x f x x 1 3 若 h x g x f x 1 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 10 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对任意实数 x 恒满足 f x 2 f x 当 x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当 x 2 4 时 求 f x 的解析式 3 计算 f 0 f 1 f 2 f 2011 参考答案参考答案 1 解析 f x g x 是定义在 R 上的函数 h x f x g x 若 f x g x 均为偶函数 则 h x 为偶函数 而反之若 h x 为偶函数 则 f x g x 不一定均为偶函数 所以 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 是充分而不必要的条件 故选 B 答案 B 2 解析 用 x 代换 x 得 f x g x e x 即 f x g x e x 解得 f x g x 而 f x 单调递增且大于等于 0 g 0 1 故选 D ex e x 2 ex e x 2 答案 D 3 A 4 解析 由已知 当 x 0 时 则 x 0 f x x 2 4x 4x x2 f x 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 24 页页 共共 186 页页 当 x 0 时 x 0 f x 4 x x 2 x2 4x f x 且 f 0 0 f x 为奇函数 又当 x 0 时 f x 为增函数 f x 在 R 上为单调递增函数 由 f 2 a2 f a 得 2 a2 a 即 a2 a 2 0 解得 2 a 1 答案 C 5 解析 f x 1 与 f x 1 都是奇函数 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 函数 f x 关于点 1 0 及点 1 0 对称 函数 f x 是周期 T 2 1 1 4 的周期函数 f x 1 4 f x 1 4 f x 3 f x 3 即 f x 3 是奇函数 故选 D 答案 D 6 解析 f x 1 x3 sin x 为奇函数 又 f a 2 f a 1 1 故 f a 1 1 即 f a 0 答案 0 7 2 0 2 5 8 解析 f x a a f x f x 1 2 x 1 2x 1 2x a 2a 1 故 a 2x 1 2x 1 2x 1 a 1 1 2x 2x 1 2x 1 2 答案 1 2 9 解析 1 设函数 y f x 的图象上任一点 Q x0 y0 关于原点的对称点为 P x y 则 Error Error 即 Error Error 点 Q x0 y0 在函数 y f x 的图象上 y x2 2x 即 y x2 2x 故 g x x2 2x 2 由 g x f x x 1 可得 2x2 x 1 0 当 x 1 时 2x2 x 1 0 此时不等式无解 当 x 1 时 2x2 x 1 0 1 x 1 2 因此 原不等式的解集为 1 1 2 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 25 页页 共共 186 页页 3 h x 1 x2 2 1 x 1 当 1 时 得 h x 4x 1 在 1 1 上是增函数 符合题意 1 当 1 时 抛物线 h x 1 x2 2 1 x 1 的对称轴的方程为 x 1 1 当 1 且 1 时 h x 在 1 1 上是增函数 解得 1 且 1 时 h x 在 1 1 上是增函数 解得 1 0 1 1 综上 得 0 10 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为 4 的周期函数 2 当 x 2 0 时 x 0 2 由已知 f x 2 x x 2 2x x2 又 f x 为奇函数 f x 2x x2 f x x2 2x 当 x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 1 1 f 2 0 f 3 1 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2004 f 2005 f 2006 f 2007 f 2010 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2011 0 0 0 第六节第六节 函数的图象函数的图象 题号12345 答案 一 选择题 1 函数 y f x 的图象与函数 g x log2x x 0 的图象关于原点对称 则 f x 的表达式为 A f x x 0 B f x log2 x x 0 1 log2x 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 26 页页 共共 186 页页 C f x log2x x 0 D f x log2 x x 0 2 函数 y e ln x x 1 的图象大致是 3 四位好朋友在一次聚会上 他们按照各自的爱好选择了形状不同 内空高度相等 杯口半径相等的圆口酒杯 如下图所示 盛满酒后他们约定 先各自饮杯中酒的一半 设剩 余酒的高度从左到右依次为 h1 h2 h3 h4 则它们的大小关系正确的是 A h2 h1 h4 B h1 h2 h3 C h3 h2 h4 D h2 h4 h1 4 函数 f x 2 log2x 的图象为 x 1 x 5 2009 年日照模拟 函数 y f x 的图象如右图所示 则函数 y log f x 的图象大致是 1 2 二 填空题 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 27 页页 共共 186 页页 6 2009 年上海嘉定一中测试 f x 是定义域为 R 的偶函数 其图象关于直线 x 2 对称 当 x 2 2 时 f x x2 1 则 x 4 2 时 f x 的表达式为 7 2010 年深圳一模 已知定义在区间 0 1 上的函数 y f x 的 图象如右图所示 对于满足 0 x1 x2x2 x1 x2f x1 x1f x2 f f x1 f x2 2 x1 x2 2 其中正确结论的序号是 把所有正确结论的序号都填上 8 定义在 R 上的函数 f x 满足 f f x 0 且函数 f为奇函数 给出下列结 x 5 2 x 5 4 论 函数 f x 的最小正周期是 5 2 函数 f x 的图象关于点对称 5 4 0 函数 f x 的图象关于直线 x 对称 5 2 函数 f x 的最大值为 f 5 2 其中正确结论的序号是 写出所有你认为正确的结论的符号 三 解答题 9 2010 年福州模拟 函数 f x 2x和 g x x3的图象的示意图如右图所示 设两函数的 图象交于点 A x1 y1 B x2 y2 且 x10 f x log2 x x0 2 4 0 9 29 930 方程 x f x g x 的两个零点 x1 1 2 x2 9 10 因此整数 a 1 b 9 3 从图象上可以看出 当 x1 x x2时 f x g x f 6 x2时 f x g x g 2010 f 2010 g 6 g 2010 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 29 页页 共共 186 页页 f 6 g 6 g 2010 0 1 时 可得 0 1 1 1 0 1 a 0 1 a 0 a 1 16 1 10 2 由题意可得 y 0 25 即得Error 或 1 4 Error 0 t 或 t 0 6 由题意至少需要经过 0 6 小时后 学生才能回到教室 1 40 答案 1 y Error 2 0 6 8 解析 总利润 L Q 40Q Q2 10Q 2000 Q 300 2 2500 1 20 1 20 故当 Q 300 时 总利润最大值为 2500 万元 答案 2500 万元 9 解析 1 因污水处理水池的长为 x 米 则宽为米 200 x 总造价 y 400 248 2 80 200 2x 2 200 x 200 x 800 16000 由题设条件Error x 324 x 解得 12 5 x 16 即函数定义域为 12 5 16 2 先研究函数 y f x 800 16000 在 12 5 16 上的单调性 对于任意的 x 324 x x1 x2 12 5 16 不妨设 x1 x2 则 f x2 f x1 800 x2 x1 324 1 x2 1 x1 800 x2 x1 12 5 x1 x2 16 1 324 x1x2 0 x1x2 162 324 1 即 1 0 324 x1x2 324 x1x2 又 x2 x1 0 f x2 f x1 0 即 f x2 f x1 故函数 y f x 在 12 5 16 上是减函数 当 x 16 时 y 取得最小值 此时 ymin 800 16000 45000 元 16 324 16 200 x 12 5 米 200 16 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 34 页页 共共 186 页页 综上 当污水处理池的长为 16 米 宽为 12 5 米时 总造价最低 最低价为 45000 元 10 解析 1 y Error Error 2 当 0 x 15 时 y 2500 x 20 x2 20 2 20 2 x 125 2 125 2 当 x 15 时 y 取得最大值 33000 元 当 15 x 30 时 y 2500 4x2 令 y 2500 4x2 0 得 x 25 当 15 x0 当 25 x 30 时 y 0 y 2500 x x3在区间 15 25 上单调递增 在区间 4 3 25 30 上单调递减 故当 x 25 时 y 取得最大值 其值为 2500 25 253 元 4 3 125000 3 33000 125000 3 当 x 25 时 y 取得最大值为 元 125000 3 答 该厂的日产量为 25 件时 日利润最大 第二单元 基本初等函数 第一节 一次函数与二次函数 题号12345 答案 一 选择题 1 一元二次方程 ax2 2x 1 0 a 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A a0 C a1 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 35 页页 共共 186 页页 2 2009 年武汉摸底 设 b 0 二次函数 y ax2 bx a2 1 的图象为下列之一 则 a 的 值为 A 1 B 1 C D 1 5 2 1 5 2 3 2009 年临川模拟 已知函数 f x ax2 2ax 1 a 1 若 x1f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D f x1 与 f x2 的大小不能确定 4 右图所示为二次函数 y ax2 bx c 的图象 则 OA OB 等于 A B c a c a C D 无法确定 c a 5 关于 x 的方程 2 k 0 给出下列四个命题 x2 1 x2 1 存在实数 k 使得方程恰有 2 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰有 4 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰有 5 个不同的实根 存在实数 k 使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 6 若方程 4 k 3 0 x 没有实数根 求 k 的取值范围 x2 3x 0 1 7 如果方程 x2 2ax a 1 0 的两个根中 一个比 2 大 另一个比 2 小 则实数 a 的 取值范围是 8 已知 f x x 2 g x 是一次函数且为增函数 若 f g x 4x2 20 x 25 则 g x 三 解答题 9 2009 年广州六中月考 设二次函数 f x x2 ax a 方程 f x x 0 的两根 x1和 x2满 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 36 页页 共共 186 页页 足 0 x1 x21 时方程 有 2 个不等的根 2 当 x2 1 0 t 1 时方程 有 4 个根 3 当 t 1 时 方程 有 3 个根 故当 t 0 时 代入方程 解得 k 0 此时方程 有两个不等根 t 0 或 t 1 故此时原 方程有 5 个根 当方程 有两个不等正根时 即 0 k 此时方程 有两根且均小于 1 大于 1 4 0 故相应的满足方程 t 的解有 8 个 即原方程的解有 8 个 当 k 时 方程 有两 x2 1 1 4 个相等正根 t 相应的原方程的解有 4 个 故选 B 1 2 答案 B 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 37 页页 共共 186 页页 6 k11 7 a 1 8 2x 5 9 解析 法一 1 令 g x f x x x2 a 1 x a 则由题意可得 Error Error Error Error 0 a0 时 h a 单调递增 当 0 a 3 2时 2 0 h a h 3 2 2 3 2 2 2 17 12 222 2 即 f 0 f 1 f 0 1 17 12 2 1 16 1 16 法二 1 同解法一 2 f 0 f 1 f 0 g 0 g 1 2a2 由 1 知 0 a 3 2 2 4a 1 12 170 于是 222 2a2 32a2 1 4a 1 4a 1 0 1 16 1 16 1 1622 即 2a2 0 故 f 0 f 1 f 0 1 16 1 16 法三 1 方程 f x x 0 x2 a 1 x a 0 由韦达定理得 x1 x2 1 a x1x2 a 于 是 0 x1 x2 1 Error Error Error Error 0 a 3 2 2 故所求实数 a 的取值范围是 0 3 2 2 2 依题意可设 g x x x1 x x2 则由 0 x1 x2 1 得 f 0 f 1 f 0 g 0 g 1 x1x2 1 x1 1 x2 x1 1 x1 x2 1 x2 22 故 f 0 f 1 f 0 0 且 ax bx 1 a b 0 则 a b 的大小关系是 A b a 1 B a b 1 C 1 b a D 1 a1 b1 b 0 C 0 a0 D 0 a 1 b0 a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大 则 a 的 a 2 值为 8 2009 年北京卷 已知函数 f x Error Error 若 f x 2 则 x 三 解答题 9 2009 年惠州模拟 已知 9x 10 3x 9 0 求函数 y x 1 4x 2 的最大值和最小 1 4 1 2 值 10 2009 年泰安模拟 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 当 x 1 0 时的解析式为 f x a R 1 4x a 2x 1 写出 f x 在 0 1 上的解析式 2 求 f x 在 0 1 上的最大值 参考答案参考答案 1 B 2 C 3 D 4 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 故可知 f x 在 2 0 上单调 递减 注意到要与 f x 的单调性不同 故所求的函数在 2 0 上应单调递增 而函数 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 40 页页 共共 186 页页 y x2 1 在 0 上递减 函数 y x 1 在 0 时单调递减 函数 y Error Error 在 0 上单调递增 理由如下 y 3x2 0 x 0 故函数单调递增 显然符合题意 而函数 y Error Error 有 y e x 0 x0 ex 1 x0 a 1 的图象 如下图所示 函数 y g x 的图象与 y f x 的图象关于直线 y x 对称 则函数 y g x 的解析式为 A g x 2x B g x x 1 2 C g x log x D g x log2x 1 2 2 若 x e 1 1 a ln x b 2ln x c ln3x 则 A a b c B c a b C b a c D b c1 若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x 都有 y a 2a 满足方程 logax logay c 这时 a 的取值的集合为 a a2 三 解答题 9 设函数 f x log 1 2 1 1 2x 1 证明 f x 是上的增函数 1 2 2 解不等式 f x 1 10 已知函数 f x loga x 1 g x 2loga 2x t t R 其中 x 0 15 a 0 且 a 1 1 若 1 是关于 x 的方程 f x g x 0 的一个解 求 t 的值 2 当 0 a 1 时 不等式 f x g x 恒成立 求 t 的取值范围 参考答案参考答案 1 解析 由图象知函数 f x logax a 0 a 1 过点 2 1 loga2 1 a 1 2 函数 y g x 的图象与 y f x 的图象关于直线 y x 对称 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 43 页页 共共 186 页页 函数 y g x 与 y f x 互为反函数 g x x 1 2 答案 B 2 解析 由 e 1 x 1 1 ln x 0 令 t ln x 且取 t 则 b a c 1 2 答案 C 3 解析 函数的定义域为 0 当 x 1 时 log3x 0 有 y 3log3x x 当 0 x 1 时 log3x0 且 a 1 函数 f x 2 ax 在 0 1 上是减函数 又 y loga 2 ax 在 0 1 上是减函数 a 1 f x 2 ax 0 在 0 1 上恒成立 f 1 0 2 a 0 a 2 1 a 2 答案 B 6 解析 log2 x 1 2 log2 x 1 log2 x 1 log2 即 x 1 解得 x 4 x 1 4 x 1 负值舍去 所以 x 55 答案 5 7 解析 f 3x 4xlog23 233 4log23x 233 f x 4log2x 233 f 2 f 4 f 8 f 28 8 233 4 log22 2log22 3log22 8log22 1864 144 2010 答案 2010 8 解析 由已知得 y 单调递减 所以当 x a 2a 时 y 所以 ac x ac 1 2 ac 1 Error Error Error Error 因为有且只有一个常数 c 符合题意 所以 2 loga2 3 解得 a 2 所以 a 的取值的集合为 2 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 44 页页 共共 186 页页 答案 2 9 解析 1 证明 任取 x1 x2 且 x10 1 2 1 1 2x1 1 1 2x2 所以 1 x2 0 1 所以 log 0 1 2 1 1 2x1 1 1 2x2 1 2 1 1 2x1 1 1 2x2 即 f x1 1 log 1 log log Error Error 1 x 2 1 2 1 1 2x 1 2 1 1 2x 1 2 1 2 10 解析 1 由题意得 f 1 g 1 0 即 loga2 2loga 2 t 解得 t 2 2 2 不等式 f x g x 恒成立 即 loga x 1 loga 2x t x 0 15 恒成立 1 2 它等价于 2x t x 0 15 x 1 即 t 2x x 0 15 恒成立 x 1 令 u x 0 15 则 u 1 4 x u2 1 x 1 2x 2 u2 1 u 2 2 x 1 u 1 4 17 8 当 u 1 时 2x 最大值为 1 x 1 t 1 为实数 t 的取值范围 第四节第四节 反比例函数与幂函数反比例函数与幂函数 题号12345 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 45 页页 共共 186 页页 答案 一 选择题 1 函数 y x 的单调递减区间为 2 5 A 1 B 0 C 0 D 2 若函数 f x 在 0 上为增函数 则 a 的取值范围是 a x A 0 B 0 C R D 1 1 3 函数 y 的图象大致是 1 1 x 4 将函数 y a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象的对 b x a 称中心是 1 1 那么 a b 的值是 A a 1 b 0 B a 1 b R C a 1 b 0 D a 0 b R 5 2009 年惠州模拟 若 0 x 1 则 x x x x 的大小关系是 3 5 2 3 3 5 2 3 A x x x x 2 3 3 5 3 5 2 3 B x x x x 3 5 2 3 2 3 3 5 C x x x x 2 3 3 5 3 5 2 3 D x x x 0 时是增函数 幂函数 y xn 当 n0 且 f x 为偶函数 p Z 所以 p 1 故 f x x2 p2 2 3 2 10 解析 f x 1 1 x 2 2 x2 4x 5 x2 4x 4 1 x 2 2 其图象可由幂函数 y x 2向左平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位得到 由下图知 该 函数在 2 是减函数 在 2 上是增函数 且其图象关于直线 x 2 对称 又 2 2f 2 2 第五节 函数与方程 题号12345 答案 一 选择题 1 函数 f x ln x 1 的零点所在的大致区间是 2 x A 0 1 B 1 2 C 2 e D 3 4 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 48 页页 共共 186 页页 2 2009 年揭阳模拟 函数 f x log2x x 2 的零点个数为 1 2 A 0 B 1 C 2 D 3 3 利用计算器 列出自变量和函数值的对应值如下表 x0 20 61 01 41 8 y 2x1 1491 5162 02 6393 482 y x20 040 361 01 963 24 x2 22 63 03 4 y 2x4 5956 0638 010 556 y x24 846 769 011 56 那么方程 2x x2的一个根位于下列区间的 A 0 6 1 0 B 1 4 1 8 C 1 8 2 2 D 2 6 3 0 4 已知奇函数 f x g x f x 0 的解集是 a2 b g x 0 的解集为 则 a2 2 b 2 a2 0 在区间 8 8 上有四个不同的根 x1 x2 x3 x4 则 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 49 页页 共共 186 页页 x1 x2 x3 x4 三 解答题 9 已知二次函数 y f1 x 的图象以原点为顶点且过点 1 1 反比例函数 y f2 x 的图象与 直线 y x 的两个交点间距离为 8 f x f1 x f2 x 1 求函数 f x 的表达式 2 证明 当 a 3 时 关于 x 的方程 f x f a 有三个实数解 10 设 f x 3ax2 2bx c 若 a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 1 a 0 且 2 1 b a 2 方程 f x 0 在 0 1 内有两个实数根 参考答案参考答案 1 B 2 解析 由 f x log2x x 2 0 得 log2x x 2 在同一坐标系内画出函数 y log2x 和 1 2 1 2 y x 2 的图象如右图 可知答案选 C 1 2 答案 C 3 C 4 解析 f x g x 0 Error Error 或 Error Error 由 知Error Error a2 x b 2 由 知Error Error Error Error x a2 综上可知 x b 2 a2 b 2 b 2 a2 答案 C 第二阶段第二阶段 函数与导数专题基础训练函数与导数专题基础训练 课时巩固课时巩固 第第 50 页页 共共 186 页页 5 C 6 解析 由题意 方程 ax2 5x b 0 的两根为 3 2 由韦达定理得Error Error 则所求 不等式为 6x2 5x 1 0 解之得 x 或 x 1 1 6 答案 xx 1 6或x 1 7 f a f m 0 0 在区间 8 8 上有四个不同 的根 x1 x2 x3 x4 不妨设 x1 x2 x3 x4由对称性知 x1 x2 12 x3 x4 4 所以 x1 x2 x3 x4 12 4 8 答案 8 9 解析 1 由已知 设 f1 x ax2 由 f1 1 1 得 a 1 f1 x x2 设 f2 x k 0 它的图象与直线 y x 的交点分别为 k x A B kkkk 由 8 得 k 8 f2 x 故 f x x2 AB 8 x 8 x 2 证明 法一 由 f x f a 得 x2 a2 8 x 8 a 高考数学专题复习高考数学专题复习 函数与导数函数与导数 第第 51 页页 共共 186 页页 即 x2 a2 8 x 8 a 在同一坐标系内作出 f2 x 和 f3 x x2 a2 的大致图象 其中 f2 x 的图象是以坐 8 x 8 a 标轴为渐近线 且位于第一 三象限的双曲线 f3 x 的图象是以为顶点 开口向下 0 a2 8 a 的抛物线 因此 f2 x 与 f3 x 的图象在第三象限有一个交点 即 f x f a 有一个负数解 又 f2 2 4 f3 2 4 a2 8 a 当 a 3 时 f3 2 f2 2 a2 8 0 8 a 当 a 3 时 在第一象限 f3 x 的图象上存在一点 2 f 2 在 f2 x 图象的上方 f2 x 与 f3 x 的图象在第一象限有两个交点 即 f x f a 有两个正数解 因此 方程 f x f a 有三个实数解 法二 由 f x f a 得 x2 a2 8 x 8 a 即 x a x a 0 得方程的一个解 x1 a 8 ax 方程 x a 0 化为 ax2 a2x 8 0 8 ax 由 a 3 a4 32a 0 得 x2 x3 a2 a4 32