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2017高考一轮复习 空间向量一解答题（共12小题）1（2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（）求证：BF平面ACFD；（）求二面角BADF的余弦值2（2016天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值3（2016沈阳校级模拟）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AEAB，且AEBP（）设点M为棱PD中点，求证：EM平面ABCD；（）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由4（2016天津一模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）若M为PD的中点，求证：ME平面PAB；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值5（2016贵阳一模）如图，在三棱锥PABC中，PAB=PAC=ACB=90（1）求证：平面PBC平面PAC；（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由6（2015浙江）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点（）证明：A1D平面A1BC；（）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值7（2015江苏）如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC=BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长8（2014天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值9（2014新课标I）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值10（2014新课标II）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离11（2013北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA1平面ABC；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值12（2013新课标）如图，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB（）证明：BC1平面A1CD（）求二面角DA1CE的正弦值2017高考一轮复习 空间向量参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1（2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，已知平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（）求证：BF平面ACFD；（）求二面角BADF的余弦值【分析】（I）先证明BFAC，再证明BFCK，进而得到BF平面ACFD（II）方法一：先找二面角BADF的平面角，再在RtBQF中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角BADF的平面角的余弦值【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，平面BCFE平面ABC，ACB=90，AC平面BCK，BFAC又EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2，BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，BF平面ACFD（II）方法一：过点F作FQAK，连接BQ，BF平面ACFDBFAK，则AK平面BQF，BQAKBQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=在RtBQF中，BF=，FQ=可得：cosBQF=二面角BADF的平面角的余弦值为方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则BCK为等边三角形，取BC的中点，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，KO平面BAC，以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz可得：B（1，0，0），C（1，0，0），K（0，0，），A（1，3，0），=（0，3，0），=，（2，3，0）设平面ACK的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为=（x2，y2，z2），由，可得，取=由，可得，取=二面角BADF的余弦值为【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题2（2016天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EGFI，利用线面平行的判定定理证明：EG平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系Oxyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角OEFC的正弦值；（3）求出=（，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，矩形OBEF，EFOB，EF=OB，G，I是中点，GIBD，GI=BDO是正方形ABCD的中心，OB=BDEFGI，EF=GI，四边形EFIG是平行四边形，EGFI，EG平面ADF，FI平面ADF，EG平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系Oxyz，则B（0，0），C（，0，0），E（0，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）OC平面OEF，平面OEF的法向量为=（1，0，0），|cos，|=二面角OEFC的正弦值为=；（3）解：AH=HF，=（，0，）设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）a=，b=0，c=，=（，），直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos，|=【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角OEFC的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题3（2016沈阳校级模拟）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AEAB，且AEBP（）设点M为棱PD中点，求证：EM平面ABCD；（）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由【分析】（I）证明BP平面ABCD，以B为原点建立坐标系，则为平面ABCD的法向量，求出，的坐标，通过计算=0得出，从而有EM平面ABCD；（II）假设存在点N符合条件，设，求出和平面PCD的法向量的坐标，令|cos|=解出，根据的值得出结论【解答】证明：（）平面ABCD平面ABEP，平面ABCD平面ABEP=AB，BPAB，BP平面ABCD，又ABBC，直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），M（1，1，），=（1，0，），=（0，2，0）BP平面ABCD，为平面ABCD的一个法向量，=10+02+=0，又EM平面ABCD，EM平面ABCD（）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为理由如下：=（2，2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则令y=1，得=（0，1，2）假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于设=（2，2，）（01），=（2，22，）cos=9281=0，解得=1或（舍去）当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于【点评】本题考查了线面平行的判断，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题4（2016天津一模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）若M为PD的中点，求证：ME平面PAB；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值【分析】（）证明ABACEFAC推出PA底面ABCD，即可说明PAEF，然后证明EF平面PAC（）证明MFPA，然后证明MF平面PAB，EF平面PAB即可阿门平面MEF平面PAB，从而证明ME平面PAB（）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可【解答】（本小题满分14分）（）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，BCD=135，ABC=45所以ABAC由E，F分别为BC，AD的中点，得EFAB，所以EFAC（1分）因为侧面PAB底面ABCD，且BAP=90，所以PA底面ABCD（2分）又因为EF底面ABCD，所以PAEF（3分）又因为PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC（4分）（）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MFPA，又因为MF平面PAB，PA平面PAB，所以MF平面PAB（5分）同理，得EF平面PAB又因为MFEF=F，MF平面MEF，EF平面MEF，所以平面MEF平面PAB（7分）又因为ME平面MEF，所以ME平面PAB（9分）（）解：因为PA底面ABCD，ABAC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（2，2，0），E（1，1，0），所以，（10分）设，则，所以M（2，2，22），易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）（11分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）（12分）因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以，即，（13分）所以，解得，或（舍）（14分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用5（2016贵阳一模）如图，在三棱锥PABC中，PAB=PAC=ACB=90（1）求证：平面PBC平面PAC；（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由【分析】（1）推导出PA平面ABC，从而BCPA，又BCCA，从而BC平面PAC，由此能证明平面PBC平面PAC（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，利用向量法能求出在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30【解答】证明：（1）PAB=PAC=90，PAAB，PAACABAC=A，PA平面ABC（1分）BC平面ABC，BCPA（3分）ACB=90，BCCAPACA=A，BC平面PAC（5分）BC平面PBC，平面PBC平面PAC6分解：（2）由已知及（1）所证可知，PA平面ABC，BCCA，PA=1，AB=2，BC=以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B（0，0），P（），设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则，则取x=1，得=（1，0，），（9分）设直线AC上的点D满足，则，直线BD与平面PBC所成角为30，解得，（11分）在直线AC上存在点，使得直线BD与平面PBC所成角为30（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用6（2015浙江）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点（）证明：A1D平面A1BC；（）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值【分析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1OA1D，A1DBC，利用直线平面的垂直定理判断（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量=（，0，1），|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值【解答】证明：（I）AB=AC=2，D是B1C1的中点A1DB1C1，BCB1C1，A1DBC，A1O面ABC，A1DAO，A1OAO，A1OBCBCAO=O，A1OA1D，A1DBCA1D平面A1BC解：（II）建立坐标系如图在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4O（0，0，0），B（0，0），B1（，），A1（0，0）即=（0，），=（0，0），=（，0，），设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），即得出得出=（，0，1），|=4，|=，cos，=，可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题7（2015江苏）如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABC=BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（1）AD平面PAB，=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，=（1，1，2），=（0，2，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），cos，=，平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）=（1，0，2），设=（，0，2）（01），又=（0，1，0），则=+=（，1，2），又=（0，2，2），从而cos，=，设1+2=t，t1，3，则cos2，=，当且仅当t=，即=时，|cos，|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值又BP=，BQ=BP=【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题8（2014天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点（）证明：BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据=0，可得BEDC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）根据BFAC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP的余弦值【解答】证明：（I）PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）=（0，1，1），=（2，0，0）=0，BEDC；（）=（1，2，0），=（1，0，2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角满足：sin=，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（）=（1，2，0），=（2，2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=（2，2，2）（01），故=+=（12，22，2）（01），由BFAC，得=2（12）+2（22）=0，解得=，即=（，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角FABP的平面角满足：cos=，故二面角FABP的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键9（2014新课标I）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C平面ABO，可得B1CAO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，且O为BC1和B1C的中点，又ABB1C，B1C平面ABO，AO平面ABO，B1CAO，又B10=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且O为B1C的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1=60，CBB1为正三角形，又AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，），cos，=，二面角AA1B1C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题10（2014新课标II）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，V=，AB=，PB=作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力11（2013北京）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5（）求证：AA1平面ABC；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得ABAC通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0t4），在平面BCC1B1