1.5定积分的基本概念.doc

淄博七中高二数学组 编辑 董玉轩 编辑时间 2010 3 9 使用时间 2010 3 16 1 51 5 定积分的基本概念定积分的基本概念 考纲解读考纲解读 1 理解求曲边图形面积的过程 分割 近似替代 求和 取极限 感受在其过程中 渗透的思想方法 2 借助于几何直观了解定积分的基本思想 理解定积分的概念 3 理解掌握定积分的几何意义 提出问题提出问题 如图 阴影部分类似于一个梯形 但有一边是曲如图 阴影部分类似于一个梯形 但有一边是曲 线线的一段 我们把由直线的一段 我们把由直线和和 yf x 0 xa xb aby 曲线曲线所围成的图形称为曲边梯形 如何计算这个曲边所围成的图形称为曲边梯形 如何计算这个曲边 yf x 梯形的面积 认真阅读课文梯形的面积 认真阅读课文 P39 41P39 41 完成下面问题 完成下面问题 1 把区间把区间 1 3 等分等分 所得所得个小区间个小区间 每个小区间的长度为每个小区间的长度为 nn A B C D n 1 n 2 n 3 n2 1 2 把区间把区间等分后等分后 第第 个小区间是个小区间是 ba ba ni A B 1 n i n i 1 ab n i ab n i C D 1 n i a n i a 1 ab n i aab n i a 3 3 12 1 6 1 321 2222 nnnn 2222 1 321 n 例例 1 已知由直线已知由直线和曲线和曲线所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形 将区间将区间 0 3 等分等分 0 3 0 yxx 2 2 xxf n 取第取第 个小区间的右端点处的函数值为第个小区间的右端点处的函数值为第 个小矩形的高个小矩形的高 ii 1 当当时时 求曲边梯形面积求曲边梯形面积的近似值的近似值 2 当当时时 求曲边梯形面积求曲边梯形面积的近似值的近似值 10 nS20 nS 3 当当时时 求曲边梯形面积求曲边梯形面积的近似值的近似值 4 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 100 nSS 淄博七中高二数学组 编辑 董玉轩 编辑时间 2010 3 9 使用时间 2010 3 16 归纳总结 求曲边梯形面积的四个步骤归纳总结 求曲边梯形面积的四个步骤 1 1 2 2 3 3 4 变式训练 一辆汽车在笔直的公路上变速行使变式训练 一辆汽车在笔直的公路上变速行使 设汽车在时刻设汽车在时刻 的速度为的速度为 单位单位t2 2 ttv hkm 求它在求它在 单位单位 这段时间内行使的路程这段时间内行使的路程 单位单位 10 thSkm 定积分的概念 一般地 设函数定积分的概念 一般地 设函数在区间在区间上连续 用分点上连续 用分点 f x a b 0121iin axxxxxxb 将区间将区间等分成等分成个小区间 每个小区间长度为个小区间 每个小区间长度为 在每个小区间 在每个小区间 a bnx ba x n 上取一点上取一点 作和式 作和式 如果 如果 1 ii xx 1 2 i in 11 nn nii ii ba Sfxf n 无限接近于无限接近于 亦即 亦即 时 上述和式 时 上述和式无限趋近于常数无限趋近于常数 那么称该常数 那么称该常数为函为函x 0n n SSS 数数在区间在区间上的定积分 记为 上的定积分 记为 即 即 其中其中 成为被积函成为被积函 f x a b 数 数 叫做积分变量 叫做积分变量 为积分区间 为积分区间 积分上限 积分上限 积分下限 积分下限 叫做被积式 例叫做被积式 例 1 中的两个问题可用定积分写为中的两个问题可用定积分写为 淄博七中高二数学组 编辑 董玉轩 编辑时间 2010 3 9 使用时间 2010 3 16 定积分的几何意义 定积分的几何意义 如果在区间上函数连续 a b 1 当在区间上大于 0 时 表示 f x a b b a f x dx 2 当在区间上小于 0 时 表示 f x a b b a f x dx 3 当在区间上有正有负时 表示 f x a b b a f x dx 定积分的性质 定积分的性质 根据定积分的定义及几何意义 容易得到定积分的如下性质 1 为常数 b a kf x dx k 2 12 b a f xfx dx 3 其中 b a f x dx acb 4 f x 是偶函数 则 a a dxxf 5 f x 是奇函数 则 a a dxxf 巩固练习巩固练习 1 设连续函数设连续函数 则当则当时时 定积分定积分的符号的符号 0 xfba b a dxxf A 一定是正的一定是正的 B 一定是负的一定是负的 C 当当时是正的时是正的 D 以上都不对以上都不对ba 0 2 写成定积分的形式 可记为 写成定积分的形式 可记为 12 1 lim sinsinsin n n nnnn A B C D 0 sin xdx 1 0 sin xdx 0 1 sin xdx 0 sin x dx x 3 与定积分与定积分相等的是相等的是 dxx 2 3 0 sin A B 2 3 0 sin xdx 2 3 0 sin xdx C D 0 sin xdx 2 3 sin xdx 2 3 2 2 0 sinsin xdxxdx 4 在在 近似替代近似替代 中 函数中 函数在区间在区间上的近似值可以是 上的近似值可以是 xf 1 ii xx A 左端点的函数值左端点的函数值 B 右端点的函数值右端点的函数值 i xf 1 i xf 淄博七中高二数学组 编辑 董玉轩 编辑时间 2010 3 9 使用时间 2010 3 16 C 该区间内的任一函数值该区间内的任一函数值 D 以上答案均正确以上答案均正确 ii f 1 ii xx 5 已知已知 6 则则 b a dxxf 6 dxxf b a 6 已知已知 则则 18 dxxgxf b a b a dxxg10 b a dxxf 7 已知已知则则 3 2 0 dxxf dxxf 2 0 6 8 设设 则 则的值等于 的值等于 xxxf 3 2 2 dxxf A A B B C C D D 08 2 0 dxxf 2 0 2dxxf 9 下列值等于下列值等于 1 的积分是 的积分是 A B C D 1 0 xdx 1 1 0 xdx 11 0 2 dx 11 0 dx 10 由曲线 由曲线所围成的曲边梯形的面积为 所围成的曲边梯形的面积为 2 0 yxey x A A B B C C D D dyy 2 1 lndye e x 2 0 dyy 2ln 1 ln dxe x 2 1 2 11 利用定积分的几何意义求利用定积分的几何意义求 dxx 2 0 2 4 12 极限极限表示成定积分形式为表示成定积分形