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文档简介

常见的几个重要不等式 该幻灯片是介绍初等数学中几个重要的不等式 其中包括平均数不等式 白努力不等式和柯西不等式 最后还列出了几个著名的不等式 由不等式的性质引出新课 一步步将新授课传授给学生 一 不等式的基本性质 常见的几个重要不等式 六 小结 五 一些有用的不等式 四 柯西不等式的证明与应用 三 白努力不等式的证明与应用 二 平均数不等式的证明与应用 不等式的基本性质 两个取值为实数的函数 若u v是正数 就说 u大于v 记成u v 也说v小于u 记成v u 简而 这样的函数所组成的式子叫作不等式 形如 不等式的基本性质 1 若a b b c 则a c2 在a b ab 则a c b c4 不等式的不等号两边移项时符号反号5 若a b c d 则a c b d6 若a b cb d 不等式的基本性质 7 若a b 则当c 0时 ac bc 当c 0时 ac bc当c 0时 ac bc 14 15 9 若a b 0 0b d 8 若a b 0 c d 0 则ac bd 不等式的基本性质 完全平方公式引出的不等式 由任何数的平方不小于0 则有 结论 任意两个数的平方和不小于两个数积的两倍 平均数不等式的证明与应用 定义 几何平均数 调和平均数 算术平均数 平均数不等式的证明与应用 由于 令 假定定理1在n k k 1 时成立 当n k 1时 证明 定理1 平均数不等式的证明与应用 至此 证明了定理1对任何整数n 1都成立 所以 1 成立 中至少有两个不等 按归纳假定 2 不取 若 等号 定理1 由定理1还可以得出几个推论 即 个正整数的调和平均数不大于它们的 推论2 想一想 定理1的这两个推论应该怎么证明 平均数不等式的证明与应用 推论1 几何平均数 定理1及其推论在证明不等式和求最值等方 证明 即得证 平均数不等式的证明与应用 面有广泛的应用 例2 求周长为定值的一类四边形的面积的最 如图 则 b a a b c d 平均数不等式的证明与应用 大值 解 定理2 其中等号成立的充要条件为x 0 证明 其中等号恰在1 x 1 即x 0时成立 白努力不等式的证明与应用 设x 1 则 由刚才证明的结果 有 即1 得证 白努力不等式的证明与应用 定理2 其中等号成立的充要条件为x 0 设x 1 则 证明 证明 依定理2的1 有 于是 由上面两个不等式 即得证 白努力不等式的证明与应用 由 定理3 证明一 两边同时平方 即得柯西不等式 柯西不等式的证明与应用 证明二 设实变量x的二次函数 例4 证明三角形不等式 证明 按定理3有 两式相加得 柯西不等式的证明与应用 例5 设三角形的三边为a b c 面积为S 证明 柯西不等式的证明与应用 一些有用的不等式 例5所证的不等
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