函数与面积.doc

二次函数综合 能力训练1一：二次函数中的面积问题（一） 基础图形面积的计算1.如图：已知A（3，0）,B(1,0)，C（0，3）,D（1，4）求ACD的面积（请用多种方法计算）变式1：若已知A（3，0）,C（0，3）,D（m，n）且点D位于第二象限直线AC上方，请用m、n表示ACD的面积变式2：若已知A（3，0）,C（0，3）,点D在直线x=-1上，若ACD的面积为6，求点D的坐标变式3：已知A（3，0）,B(1,0)，C（0，3）（1） 求经过A、B、C三点的抛物线解析式（2） 若点P在第二象限的抛物线上，求ACP的面积的最大值（3） 若点Q在（2）中抛物线上，且ACQ的面积为6，求点Q的坐标延伸：若M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，且A、C、M、N四点组成的四边形是平行四边形，求点M的坐标二：构建等腰三角形1.(2014年辽宁阜新）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中3m0，作直线DPx轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EFx轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由2.（2014张家界）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，），以OB为直径的A经过C点，直线l垂直x轴于B点（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是A上一动点（不同于O，B），过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值考点：二次函数综合题分析：（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE、AM、AF，则AMEF，证得RtAOERTAME，求得OAE=MAE，同理证得BAF=MAF，进而求得EAF=90，然后根据射影定理即可求得（4）分三种情况分别讨论，当PQ=BQ时，作QHPB，根据直线BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，当PB=QB时，则10t=t即可求得，当PQ=PB时，作QHOB，根据勾股定理即可求得解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B、C，解得：，直线BC的解析式为；y=x（2）抛物线y=ax2+bx+c（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，），解得，抛物线的解析式为：y=x2x；x=5，y=x2x=525=，顶点坐标为（5，）；（3）mn=25；如图2，连接AE、AM、AF，则AMEF，在RTAOE与RTAME中RtAOERTAME（HL），OAE=MAE，同理可证BAF=MAF，EAF=90，在RTEAF中，根据射影定理得AM2=EMFM，AM=OB=5，ME=m，MF=n，mn=25；（4）如图3有三种情况；当PQ=BQ时，作QHPB，直线BC的斜率为，HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；HB=（10t），BQ=t，=，解得；t=，当PB=QB时，则10t=t，解得t=5，当PQ=PB时，作QHOB，则PQ=PB=10t，BQ=t，HP=t（10t），QH=t；PQ2=PH2+QH2，（10t）2=【t（10t）2+（t）2；解得t=点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3可知A（3，0），B（0，3），抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，解得：b=2，c=3，抛物线的解析式为：y=x22x+3，y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点C（1，4）；（2）直线DPx轴，点P（m，0），D（m，m+3），E（m，m22m+3），F（m22m，m22m+3），DE=（m22m+3）（m+3）=m23m，EF=m22mm=m23m，L=2DE+2EF=2（m23m）+2（m23m）=4m212m，即L=4m212m；L=4m212m=4（m+）2+9，当m=时，L有最大值；（3）存在；理由：A（3，0），B（0，3），AB=3，Q在直线x=1上，设Q（1，n），点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，当AQ=AB=3，22+n2=，n=，或n=，当BQ=AB=3，12+（3n）2=n=3+，或n=3Q（1，）；（1，