二次函数,与一元二次方程的关系.ppt

二次函数与一元二次方程的关系 1一元二次方程 5t2 40t 0的根为 2一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 当 0方程根的情况是 当 0时 方程 当 0时 方程 b2 4ac 有两个不等实数根 有两个相等实数根 没有实数根 t1 0 t2 8 3二次函数y ax2 bx c a b c是常数 且a 0 图像是一条 它与x轴的交点有几种可能的情况 抛物线 三种可能 两个交点 一个交点 没有交点 复习提问 一 探究 探究1 求二次函数图象y x2 3x 2与x轴的交点A B的坐标 解 A B在轴上 它们的纵坐标为0 令y 0 则x2 3x 2 0解得 x1 1 x2 2 A 1 0 B 2 0 你发现方程的解x1 x2与A B的坐标有什么联系 x2 3x 2 0 结论1 方程x2 3x 2 0的解就是抛物线y x2 3x 2与x轴的两个交点的横坐标 因此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 即 若一元二次方程ax2 bx c 0的两个根是x1 x2 则抛物线y ax2 bx c与轴的两个交点坐标分别是A B x1 0 x2 0 x 探究2 抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢 b2 4ac 0 O X Y b2 4ac 0 b2 4ac 0 结论2 抛物线y ax2 bx c 抛物线y ax2 bx c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况说明 1 b2 4ac 0一元二次方程ax2 bx c 0有两个不等的实数根 与x轴有两个交点 相交 抛物线y ax2 bx c 2 b2 4ac 0一元二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根 与x轴有唯一公共点 相切 顶点 抛物线y ax2 bx c 3 b2 4ac 0一元二次方程ax2 bx c 0没有实数根 与x轴没有公共点 相离 图象与x轴有两个不同的交点 x1 0 x2 0 且x1 2 方程有两个不相等的实数根x1 x2 且x1 2 图象与x轴有唯一交点 x1 0 且 方程有两个相等的实数根x1 x2 且 图象与x轴无交点 方程无实数根 0 0 0 一般地 关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根就是二次函数y ax2 bx c a 0 的值为0时自变量x的值 也就是函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的横坐标 二 基础训练 1 已知抛物线y x2 6x a的顶点在x轴上 则a 若抛物线与x轴有两个交点 则a的范围是 若抛物线与坐标轴有两个公共点 则a的范围是 3 已知抛物线y x2 px q与x轴的两个交点为 2 0 3 0 则p q 2 已知抛物线y x2 3x a 1与x轴最多只有一个交点 则a的范围是 4 判断下列各抛物线是否与x轴相交 如果相交 求出交点的坐标 1 y 6x2 2x 1 2 y 15x2 14x 8 3 y x2 4x 4 6 抛物线y ax2 bx c a 0 的图象全部在轴下方的条件是 A a 0b2 4ac 0 B a 0b2 4ac 0 C a 0b2 4ac 0 D a 0b2 4ac 0 D 2 已知二次函数的y x2 2x m的部分图象如图 则关于x的一元二次方程 x2 2x m 0的解为 3 关于x的一元二次方程x2 x n 0没有实数根 则抛物线y x2 x n的顶点在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 4 二次函数的y ax2 bx c的图象如图 c 0 函数的最小值为3 方程ax2 bx c 0的两个根为0和4 当x 0时 y 0 当0 x1 x2 2时 y1 y2其中正确的个数为 A 2B 3C 4D 5 5 已知二次函数y1 ax2 bx c a 0 与一次函数y2 kx m k 0 的图象相交于点A 2 4 B 8 2 如图所示 则能使y1 y2成立的x的取值范围是 x y O y2 y1 A B x 2或x 8 2 8 答案 1 0 函数的图象与x轴有两个交点 2 0 函数的图象与x轴有一个交点 3 0 函数的图象与x轴没有交点 三 例题推荐 1 已知二次函数y x2 kx 2 k 1 求证 不论k取何值时 这个二次函数y x2 kx 2 k与x轴有两个不同的交点 2 如果二次函数y x2 kx 2 k与轴两个交点为A B 设此抛物线与y轴的交点为C 当k为6时 求S ABC 2 已知抛物线y x2 2x m 1 1 若抛物线与x轴只有一个交点 求m的值 2 若抛物线与直线y x 2m只有一个交点 求m的值 3 已知是x1 x2方程x2 k 3 x k 4 0的两个实根 A B为抛物线y x2 k 3 x k 4与x轴的两个交点 P是y轴上异于原点的点 设 PAB PBA 问 能否相等 并说明理由 4 已知抛物线y x2 m2 8 x 2 m2 6 求证 不任m为何实数 抛物线与x轴都有两个不同的交点 四 小结 1 若一元二次方程ax2 bx c 0的两个根是x1 x2 则抛物线y a