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二次函数图象与性质 复习课 1 诗人眼里的二次函数 数学家眼里的二次函数 同学们眼里的二次函数 难 数 图像 优美而舒张的抛物线 犹如人生的轨迹 年少时的努力攀升 力争到达人生的巅峰 但岁月无情的流逝 转而向下 2 形如 ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数 叫做二次函数 练习 1 3 0 1 0 难点回顾一 二次函数的概念 3 难点回顾二 函数图像和性质 图像与性质 二次函数的图象是 抛物线 4 2 2 2 开口向下 开口向上 y轴 直线x 0 直线x h 0 0 0 k h 0 h k 2 直线x 二次函数的常见类型及其性质 5 二次函数y ax2 bx c 当a 0时 在对称轴右侧即当x 时 y随x的增大而 在对称轴左侧即当x时 y随x的增大而 在对称轴左侧即当x 时 y随x的增大而 增大 减少 减少 增大 6 例1 1 求抛物线开口方向 对称轴和顶点M的坐标 2 设抛物线与y轴交于C点 与x轴交于A B两点 求C A B的坐标 3 x为何值时 y随的增大而减少 x为何值时 y有最大 小 值 这个最大 小 值是多少 4 x为何值时 y0 已知二次函数 7 0 1 2 0 3 0 1 0 3 2 y x 由图象可知 当x1时 y 0 当 3 x 1时 y 0 4 8 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 难点回顾三 各种形式的二次函数的关系 左加右减在括号上加下减在末梢 9 难点回顾四 二次函数图象的画法 顶点坐标 与X轴的交点坐标 与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点 x1 0 x2 0 0 c c x1 x2 O x y c c 对称轴直线x 10 1 y 2 x 2 2是由向平移个单位得到 2 y 2x2 2是由向平移个单位得到 3 y 2 x 2 2 3是由向平移个单位 再向平移个单位得到 4 y 2x2 4x 5是由向平移个单位 再向平移个单位得到 5 y 2x2向左平移2个单位 再向下平移3个单位得到函数解析式是 y 2 x 2 2 3 y 2x2 左 2 y 2x2 下 2 y 2x2 右 2 上 3 y 2x2 左 1 下 7 左加右减在括号 上加下减在末梢 11 6 由函数y 3 x 1 2 2的图象向右平移4个单位 再向上平移3个单位 得到的图象的函数解析式为 y 3 x 1 4 2 2 3 7 抛物线y ax2向左平移一个单位 再向下平移8个单位且y ax2过点 1 2 则平移后的解析式为 y 2 x 1 2 8 8 将抛物线y x2 6x 4如何移动才能得到y x2 逆向思考 由y x2 6x 4 x 3 2 5知 先向左平移3个单位 再向上平移5个单位 12 13 开口方向大小向上a 0向下a o 对称轴与y轴比较左侧ab同号右侧ab异号 与y轴交点交于上半轴c o下半轴c 0 与1比较 与 1比较 与x轴交点个数 令x 1 看纵坐标 令x 1 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 难点回顾五 a b c 符号的确定 14 1 已知y ax2 bx c的图象如图所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b2a 2a b 0 2a b 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 难点突破之牛刀小试 2 抛物线y ax2 bx c a 0 的图象经过原点和二 三 四象限 判断a b c的符号情况 a0 b0 c0 3 抛物线y ax2 bx c a 0 的图象经过原点 且它的顶点在第三象限 则a b c满足的条件是 a0 b0 c0 4 二次函数y ax2 bx c中 如果a 0 b 0 c 0 那么这个二次函数图象的顶点必在第象限 先根据题目的要求画出函数的草图 再根据图象以及性质确定结果 数形结合的思想 四 15 5 已知二次函数的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a其中正确的结论的个数是 A1个B2个C3个D4个 D x 1 1 0 y 要点 寻求思路时 要着重观察抛物线的开口方向 对称轴 顶点的位置 抛物线与x轴 y轴的交点的位置 注意运用数形结合的思想 16 x 6 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图象大致为 B 17 y a x h 2 k y ax2 bx c y a x x1 x x2 直线x h 直线x h k 直线x 难点回顾六 待定系数法求二次函数解析式 18 2020 1 8 19 2 顶点式 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 求出表达式后化为一般形式 3 交点式 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 求出表达式后化为一般形式 1 一般式 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 求抛物线解析式的三种方法 20 1 已知抛物线 ax2 bx c经过点 1 0 0 3 3 0 求这个抛物线的解析式 2 已知抛物线的顶点坐标是 2 4 与y轴的交点为 0 3 求这个函数解析式 1 解 由题意设这个抛物线的解析式为y a x 1 x 3 抛物线经过点 0 3 3 a 0 1 0 3 a 1 这个抛物线的解析式为y x 1 x 3 即y x2 2x 3 2 解 由题意设这个函数的解析式为y a x 2 2 4 与y轴的交点为 0 3 3 a 0 2 2 4 a 所求解析式为y x 2 2 4即y x2 x 3 难点突破之庖丁解牛 1 直接求函数解析式 21 3 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 22 难点回顾七 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数y ax bx c的图像与x轴的交点为A x 0 B X 0 x x是一元二次方程ax bx c 0的两根 且x x b a xx c a抛物线的对称轴为 两交点间的距离 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 23 例1 已知抛物线y ax2 bx c与x轴正 负半轴分别交于A B两点 与y轴负半轴交于点C 若OA 4 OB 1 ACB 90 求抛物线解析式 解 点A在正半轴 点B在负半轴 由OA 4得A 4 0 由OB 1得B 1 0 又 ACB 90 OC2 OA OB 4 OC 2 点C 0 2 设抛物线y a x 4 x 1 将点C 0 2 代入得a 0 4 0 1 2 a o 5 抛物线y 0 5 x 4 x 1 即y 0 5x 1 5x 2 2 24 例2 如图 已知直线y x 3与X轴 y轴分别交于点B C 抛物线y x2 bx c经过点B C 点A是抛物线与x轴的另一个交点 1 求抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为D 求四边形ABDC的面积 1 4 1 0 1 0 解 S四边形ABDC S AOC S梯形OEDC S EBD 9 AO OC OC ED OE EB ED 25 例2 如图 已知直线y x 3与X轴 y轴分别交于点B C 抛物线y x2 bx c经过点B C 点A是抛物线与x轴的另一个交点 4 第 3 题改为在直线y x 3上是否存在点P 使S PAC S PAB 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 答案一样吗 3 若点P在直线BC上且S PAC S PAB 求P的坐标 26 P 3 0 0 3 x y o A B C Q 27 例3 海南省中考 如图1 已知二次函数图象的顶点坐标为C 1 0 直线y x m与该二次函数的图象交于A B两点 其中A点的坐标为 3 4 B点在y轴上 1 求m的值及这个二次函数的关系式 2 P为线段AB上的一个动点 点P与A B不重合 过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点 设线段PE的长为h 点P的横坐标为x 求h与x之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 3 D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点 在线段AB上是否存在一点P 使得四边形DCEP是平行四边形 若存在 请求出此时P点的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 点A 3 4 在直线y x m上 4 3 m 1分 m 1 2分 设所求二次函数的关系式为y a x 1 2 3分 点A 3 4 在二次函数y a x 1 2的图象上 4 a 3 1 2 a 1 所求二次函数的关系式为y x 1 2 即y x 2x 1 2 28 2 设P E两点的纵坐标分别为yP和yE PE h yP yE 6分 x 1 x2 2x 1 7分 x2 3x 8分 即h x2 3x 0 x 3 9分 3 存在 10分 解法1 要使四边形DCEP是平行四边形 必需有PE DC 11分 点D在直线y x 1上 点D的坐标为 1 2 x2 3x 2 即x2 3x 2 0 12分 解之 得x1 2 x2 1 不合题意 舍去 29 1 函数y ax2 ax 3x 1的图象与x轴有且只有一个交点 那么a的值和交点坐标分别为 2 写出一个开口向下 对称轴是直线x 3 且与y轴交于 0 2 的抛物线解析式 练一练 a 0 1 3 0 或a 1 1 0 或a 9 1 3 0 30 3 把抛物线y 3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 y 3x2 4 已知二次函数y a x h 2 k的图象过原点 最小值是 8 且形状与抛物线y 0 5x2 3x 5的形状相同 其解析式为 y 0 5 x 16 2 8 5 若x为任意实数 则二次函数y x2 2x 3的函数值y的取值范围是 y 2 31 6 抛物线y 2x2 4x 1是由抛物线y 2x2 bx c向左平移1个单位 再向下平移2个单位得到的 则b c 7 已知抛物线y 2x2 bx 8的顶点在x轴上 则b 8 3 8 8 已知y x2 12 k x 12 当x 1时 y随x的增大而增大 当x 1时 y随x的增大而减小 则k的值为 9 点 5 3 2 3 在同一抛物线上 则此抛物线的对称轴是 10 X 3 2 3