大学物理(科大)第二章 课后答案.pdf

习题二答案习题二答案 2 1 质量为16的质点在kgXOY平面内运动 受一恒力作用 力的分量为6 x fN 7 y fN 当时 0t 0 xy 1 2 x vm s 0 y v 求当2ts 时质点的位矢和 速度 解 2 8 3 16 6 sm m f a x x 2 16 7 sm m f a y y 1 2 0 1 0 1 2 0 0 8 7 2 16 7 4 5 2 8 3 2 smdtavv smdtavv yyy xxx 于是质点在 2s 时的速度 1 8 7 4 5 smjivjiv 2 mtatatv yx jijijirjijijir 8 7 4 13 4 16 7 2 1 4 8 3 2 1 22 2 1 2 1 22 0 2 2 质量为0 25的质点受力kg Fti N 的作用 0t 时该质点以2 vj m s 的速度通 过坐标原点 则该质点任意时刻的位置矢量是 A B 2 22 t ij m 2 23 2 t itj m C 43 3423 t it jm D 条件不足不能确定 答案 B 2 3 用一种钳子夹住一块质量 M 50kg 的混凝土砌块起吊 如图 示 已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数4 0 如果 1 钳子匀速上升 2 钳子以 0 2m s2的加速度上升 3 钳子在沿水平方向以 4m s 的速度行驶时 上端悬挂点突然停止运动 设悬挂点到砌块 重心之间的距离 为使砌块不从钳子口滑出 至少必须对砌块施加多大正压力 4l m 解 1 水平方向 竖直方向 21 NN Mgff 21 又 2211 NfNf N Mg NN5 612 4 02 8 950 2 21 2 水平方向 21 NN 竖直方向MaMgff 21 N agM NN625 4 02 2 08 9 50 2 21 3 物体以的速率 在半径为 l 的圆周上运动 水 平 方 向 竖 直 方 向 smv 4 21 N N l v MMgff 2 21 N l v gM 2 N2N 5 862 4 02 4 4 8 9 50 22 1 2 4 一滑轮两边分别挂着A和B两物体 它们的质量分别为 mA 20kg mB 10kg 今用力将滑轮提起 如图示 当F分别等于 1 98N 2 196N 3 392N 4 784N时 求物体A和B的加 速度以及两边绳中的张力 滑轮的质量与摩擦不计 F 解 02 BBBAAA amgmTamgmTTF 2 2 g m F ag m F a B B A A 1 9 48 9 102 98 35 78 9 202 98 98 22 smasmaNF BA 0 0 BA aa不合理 说明提不起 0 49 2 BABA aagmTgmTN F T 2 08 9 102 196 9 48 9 202 196 196 2 BA asmaNF 表示仍提不起 0 98 2 196 BABA aagmTgmTNT 3 2 8 98 9 102 392 08 9 202 392 smaa BA 表示 A不动 B以的加速度上升 2 8 9sm mTg B 196 2 392 gmTNT A 4 22 4 298 9 102 784 8 98 9 202 784 smasma BA 392 2 784 gmTgmTNT BA 取竖直向上为正方向 2 5 质量为质点在流体中作直线运动 受与速度成正比的阻力mFkv 为常数 作 用 时质点的速度为 证明 k 0t 0 v 1 t时刻的速度为 0 kt m vv e 2 由 0 到 t 的时间内经过的距离为 0 1 kt m xmvke 3 停止运动前经过的距离为 0 mvk 4 证明当tm k 时速度减至的 0 v1 e 证明 1 dt dv m kv a 分离变量 得 m kdt v dv 即 v v t m kdt v dv 0 0 m kt e v v lnln 0 t m k evv 0 2 t tt m k m k e k mv dtevvdtx 0 0 0 1 或令 t k mv x 0 3 质点停止运动时速度为零 即 t 故有 0 0 0 k mv dtevx t m k 4 当t k m 时 其速度为 e v evevv 即速度减至v k m m k 01 00 0的 e 1 2 6 质量为 m 的物体沿斜面向下滑动 当斜面的倾角为 时 物体正好匀速下滑 问 当斜 面的倾角增大到 时 物体从高为 h 处由静止滑到底部需要多少时间 解 当斜面倾角为 时 物体正好匀速下滑 x 方向 0sin 1 fmg y 方向 0cos 1 mgN 又 11 Nf 由以上几式 解得 tg 当斜面倾角增大至 时 x 方向 mafmg 2 sin y 方向 0cos 2 mgN 又 22 Nf 由以上几式 解得 cossincossingtgggga 斜面长 2 2 1 sin at h L cos sin 1 sin 2 sin 2 tgg h a h t sin sin cos2 sincoscos sinsin cos2 g h g h 2 7 把一段单位长度质量为 的绳子放在平放着的光滑圆 木上 端固定在圆木的最高点 绳子等于该圆木的 AB A1 4周长 如 图所示 圆木的半径为R 1 画出 与 之间这一小段绳子的受力图 求出绳中张力 的表达式 并证明上端的张力 T A TRg 2 写出圆木作用在 与 之间小段绳子上的法向力的表达式 对这个水平分量 求积分 对整段绳子 其结果等于 试说明这个结果的物理意义 N A T 答案 略 2 8 一根绳子 一端被水平的拉着 另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为的物体 设绳子的质量可略去不计 绳子和棒之间的摩擦系数 m 1 4 如图所示 问当物体处于静 止状态时 拉绳子的水平力是多少 F 答案 0 14 7 12mgFmg 2 9 一根长为 质量均匀的软绳 挂在一半径很小的光滑木钉上 如图示 开始时LBCb 试证当 BC 2L 3 时 绳的加速度为 a g 3 速度为 22 2 29 vgbbLLL 证明 设软绳的线密度为 yaTyg ayLgyLT y L g ga 2 当 3 2L y 时 3 g a L Lggy dt dv a 2 L Lggy dt dy dy dv 2 dy L Lggy vdv 2 L b v dy L Lggy vdv 3 2 2 0 L b v L Lgygy v 3 2 2 2 0 2 2 1 L Lgbgb L LLgLg v 2 2 23 2 3 2 2 1 3 2 9 4 2 2222 LbbLL L g v 9 2 2 22 bbLL L g v 也可以求解二阶常系数非其次微分方程来证明 或利用机械能守恒来证明 2 10 一根绳子跨过一定滑轮 一端 拴在爬绳人的身上 另一端握在爬 绳人的手中 人以自身体重的2 3的力往下拉绳 略去滑轮和绳子的质量 以及它们之间的摩擦 绳子的长度不变 求人的加速度和绳中的张力 解 人拉绳的力和绳拉人的力是一对作用力和反作用力 绳中的张力 mgT 3 2 如图 对人做受力分析 maF mamgmg 3 4 3 g a 2 11 如图 一条长为 L 的柔软链条 开始时静止地放在一光滑表面 AB 上 其一端 D 至 B 的距离为 L a 试证当 D 端滑到 B 点时 链条的速度为 sin 22 aL L g v 证明 设链条线密度为 Laxg sin x L g a sin x L g dt dv sin x L g dt dx dx dv sin xdx L g vdv sin L a v xdx L g vdv sin 0 L a v x L g v 2 sin 2 1 2 0 2 2 sin 22 aL L g v 也可利用机械能守恒来证明 2 12 如图示 用刚性细杆连结两个小球置于一光滑的半球面形碗 内当系统平衡时 细杆将 A 被压缩 B 被拉伸 C 既不被压缩也不被拉伸 D 要视两球质量决定 答案 A 2 13 一圆台可绕其轴在水平面内转动 圆台半径为R 甲 乙两物体质量分别为与 它们与台面的静摩擦系数都是 1 m 2 m 1 mm 2 现用一根长度lR 的绳子将它们连接 1 将甲放在圆心 乙放在距圆心为l处 要使物体与圆台不发生相对滑动 圆台旋转的 最大角速度是多少 2 如将甲与乙互换位置 1 的结果又将如何 3 如果两物体均不放在圆心但连线经过转轴时 又将如何 解 如图所示 1 对于m1 T 对于m0 11 f 2 T lmf 2 222 又gmNfgmNfTT 22211121 lm gmm 2 21 2 0 22 fTlmfT 2 111 gmNfgmNfTT 22211121 lm gmm 1 21 21 mm 3 若系统有向m2一边运动的趋势时 2 22222 2 11111 xlmgmTfTxmgmTfT xmmlm gmm 212 21 212 xmmlm 若系统有向m1一边运动的趋势时 2 22222 2 11111 xlmgmTfTxmgmTfT lmxmm gmm 221 21 221 lmxmm xmmlm gmm 212 21 2 14 质量 m 为的小球沿半球形碗的光滑的内面 正以角速度 在一水平面内作匀速圆周运 动 碗的半径为 R 求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度 解 在竖直方向 cosNmg N mg cos 在水平方向 sinsin 2R mN RmN 2 22 cos g Rm mg RR 则 1 cos 22 R g R g RRRh 2 15 一顶角为2 的空心光滑圆锥 底面向上倒置着 轴与地面垂直 证明 在此圆锥内表 面上绕圆锥轴作圆周运动的质点与轴的距离为 22 4n gctg r 其中是质点每秒钟绕轴旋转的圈数 n 证明 在 y 方向 sinNmg 1 在 x 方向 rmN 2 cos 2 n 2 3 由 1 2 3 得 22 4n gctg r 2 16 一辆汽车驰入曲率半径为R的弯道 弯道倾斜一角度 轮胎和路面之间的摩擦系数 为 求汽车不做倾向滑动时的最大和最小速率 解 1 受力分析如图 此时有最小速度 x 方向 R v mNN 2 cossin y 方向 mgNN sincos Rgv sincos cossin min 2 受力分析如图 此时有最大速度 x 方向 R v mNN 2 cossin y 方向 mgNN sincos Rgv sincos cossin max 2 17 某物体上有一变力 F 作用 它随时间变化的关系如 下 在 0 1s 内 F 均匀地由 0 增加到 20N 又在以后 0 2s 内 F 保持不变 再经 0 1s F 又从 20N 均匀地减少到 0 1 画出 F t 图 2 求这段时间内力的冲量及力的平均值 3 如果物体的质量为 3kg 开始速度为 1m s 与力 的方向一致 问在力刚变为 0 时 物体速度为多大 解 1 如图所示 2 sNFdtI t 620 4 02 0 2 1 0 根据定积分的定义 用计算面积的方法 N t I F15 4 0 6 3 0 mvmvI sm m mvI v 3 3 136 0 2 18 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 m s 1 当子弹在枪筒内被加速时 它所受的合力为 F a bt N a b为常数 其中t以秒为单位 1 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零 试计算子弹走完枪筒全长所需时间 2 求子弹所受的冲量 3 求子弹的质量 解 1 由题意 子弹到枪口时 有 F a bt 0 得 t b a 2 子弹所受的冲量 t btatdtbtaI 0 2 2 1 将 t b a 代入 得 b a I 2 2 3 由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m 2 19 一质量为的质点在 xoy 平面上运动 其位置矢量为j tbi tar sincos 求质点的动 量及 t 0 到2t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量 解 质点的动量为 p p mv v m asin ti i bcos tj j 将 t 0 和 t 2 分别代入上式 得 p p1 m bj j p p2 m ai i 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 I I p p p p2 p p1 m ai i bj j 2 20 作用在质量为 10kg 的物体上的力为 102 Ft iN 式中t的单位是 s 1 求 4s 后 这物体的动量和速度的变化 以及力给予物体的冲量 2 为了使这力的冲量为 200Ns 该力应在这物体上作用多久 试就一原来静止的物体和 一个具有初速度 1 6jm s 的物体 回答这两个问题 解 1 若物体原来静止 则 p p1 i i kg m s t dttdt 0 4 0 56 210 iFiF 1 沿x轴正向 1 11 11 1 56 6 5 smkg sm m ipI i p v ipI i p v 若物体原来具有 6 m s 1初速 则 tt dtmdt m mm 0 0 0 000 Fv F vpvpFv F vpvp于是 t dt 0 102 pFppppFppp 同理 v v2 v v1 I I2 I I1 这说明 只要力函数不变 作用时间相同 则不管物体有无初动量 也不管初动量有多大 那么物体获得的动量的增量 亦即冲量 就一定相同 这就是动量定理 2 同上理 两种情况中的作用时间相同 即 t ttdttI 0 2 10 210 亦即t 2 10t 200 0 解得 t 10 s t 20 s 舍去 2 21 水力采煤 是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层 如图所示 设水柱直径 D 30mm 水速 v 56m s 水柱垂直射在煤层表面上 冲击煤层后的速度为零 求水柱对煤的平均冲力 解 本题注意作用力与反作用力 以水柱为研究对 象 12 ppI 12 0 mvmvdtF t 1 mvtF NvDVm 3223322 1022 256 1030 14 3 4 1 10 4 1 所以水柱对煤的平均冲力为 N 3 1022 2 2 22 一辆装煤车以的速率从煤斗下面通过 煤粉通过煤斗以每秒的速率竖直注入车厢 如 果车厢的速率保持不变 车厢与钢轨间摩擦忽略不计 求牵引力的大小 解 时 0 fN dt dm v dt mvd F 43 105 13105 2 23 一小船质量为 100kg 船头到船尾共长 3 6m 现有一质量为 50kg 的人从船尾走到船头 时 船头将移动多少距离 假定水的阻力不计 解 由动量守恒0 人人船船 vmVM 又 dtVS t 0 船船 船 人 船 船 人 船 人人 S m M dtV m M dtvs tt 00 如图 船的长度 人船 sSL m m M L S2 1 50 100 1 6 3 1 人 船 船 即船头相对岸边移动mS2 1 船 2 24 质量为20的子弹以g500m s的速度击入一木块后随木块一起以50m s的速度前进 以子弹的速度方向为x轴的正方向 在此过程中木块所受的冲量为 A B C 109N s 9N s N s D 10N s 答案 A 2 25 三艘质量相等的小船鱼贯而行 速度均 等于 v 如果从中间船上同时以速度 u 把两 个质量均为 m 的物体分别抛到前后两船上 速度 u 的方向和 v 在同一直线上 问抛掷物 体后 这三艘船的速度如何变化 解 设船质量均为 M 抛掷物体后 三船的 速度为设船在水上的阻力为零 故 在水平方向上动量守恒 当时 从中间船向前可抛出物体 m 321 vvv vu 由 1 vmMmuMv v mM muMv v 1 2 MvmumuMv vv 2 3 vmMmuMv v mM muMv v 3 2 26 一炮弹质量为 以速度飞行 其内部炸药使此炮弹分裂为两块 爆炸后由于炸药 使弹片增加的动能为 mv K E 且一块的质量为另一块质量的倍 如两者仍沿原方向飞行 试证 其速率分别为2vk K Em 2 K vkE m 证明 设一块为m1 则另一块为m2 m2 km1及m1 m2 m 于是得 1 1 12 k m m k km m 又设m1的速度为v1 m2的速度为v2 则有 22 22 2 11 2 1 2 1 2 1 mvvmvmT mv m1v1 m2v2 联立 解得 v1 k 1 v kv2 将 代入 并整理得 2 2 2 vv km T 于是有 km T vv 2 2 将其代入 式 有 m kT vv 2 1 又 题述爆炸后 两弹片仍沿原方向飞行 故只能取 km T vv m kT vv 2 2 21 证毕 2 27 一个速率为质量为的粒子与一质量为的静止靶粒子作对心弹性碰撞 要使靶 粒子获得的动能最大 k值应为 0 vmkm A 越大越好 B 越小越好 C 等于 1 D 条件不足不能确定 答案 C 2 28 一炮弹由于特殊原因在弹道的最高点处炸裂成两块 其中一块竖直上抛后落地 则另 一块着地点 A 比原来更远 B 比原来更近 C 仍和原来一样 D 条件不足不能确定 答案 D 2 29 质量为 7 2 10 23kg 速度为 6 0 107m s的粒子A 与另一个质量为其一半而静止的粒 子B相碰 假定这碰撞是弹性碰撞 碰撞后粒子A的速率为 5 10 7m s 求 粒子 B 的速率及偏转角 粒子 A 的偏转角 解 两粒子的碰撞满足动量守恒 BBAAAA vmvmvm 写成分量式 cos cos BBAAAA vmvmvm sin sin BBAA vmvm 碰撞是弹性碰撞 满足动能守恒 222 2 1 2 1 2 1 BBAAAA vmvmvm 代入 kgmA 23 102 7 kg m m A B 23 106 3 2 smvA 100 6 7 smv A 100 5 7 解得 1 2 454 smv B 1069 4 7 2022 2 30 一质量为M的中子与一质量为M的原子核作弹性碰撞 如中子的初始动能为E0 试证明 在碰撞过程中中子动能损失的最大值为 2 0 4m MEMm 证明 由完全弹性碰撞的公式 Mm MvvMm v 2010 1 2 当时 取最小值 则0 20 v 1 v 2 1 2 10 2 1 2 1 mvmvEK 取最大值 由 2 0 22 10 2 10 2 11 2 100 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm Mm E Mm Mm mvv Mm Mm mmvEmvE 中子动能损失的最大值 2 02 00 max 4 mM mME Mm Mm EEEK 2 31 地面上竖直安放着一个劲度系数为 k 的弹簧 其顶端连接一静止的质量 M 有个质量 为 m 的物体 从距离顶端为 h 处自由落下 与 M 作完全非弹性碰撞 求证弹簧对地面的最大 压力 max 12 fMm gmgkh Mm g 证明 ghvmghmv2 2 1 2 m 与 M 作完全非弹性碰撞 v Mm m VVMmmv 当 M 静止时 Mg 当碰撞后 M 与 m 速度减为零时 弹簧再压缩 则 kx x 0max xxkf 弹簧对地面的压 力 0maxmax xxkfN 由机械能守恒 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 xxkkxgxMmVMm 化简得 0 2 1 2 2 Mm ghm mgxkx 2 1 2 1 2 22 2 22 Mm ghm kgmmg kMm ghm kgmmg k x 因 舍去负号 0 x gMm kh mgmgMgkxkxf 2 1 0max 2 32 设合力为 76Fi jN 1 当一质点从原点运动到时3416rij k 求F 所作的功 2 如果质点到处时需 0 6s 试求平均功率 r 3 如果质点的质量为 1kg 试求动能的变化 解 1 由题知 F合为恒力 A合 F F r r 7i i 6j j 3i i 4j j 16k k 21 24 45 J 2 W t A P75 6 0 45 3 由动能定理 Ek A 45 J 2 33 若用一大小不变的力将该物体从静止加速提高到同一高度 使物体最后获得的速度为 5 0m s 问提升力作功多少 平均功率为多少 又开始时和结束时的瞬时功率各为多少 答案 5025J 251 3W 0 502 5W 条件不明 似乎同题 2 34 条件不明 似乎同题 2 34 解 mamgF atv JatagmFsW2625 2 1 2 W t W P 5 262 开始时刻 0 v0 FvP 结束时 smv 0 5 WFvP525 2 34 1 以 5m s 的速度匀速提升一质量为 10kg 的物体 问在 10s 内提升力作功若干 2 又若以比前快 1 倍的速度把该物体匀速提高同样的高度 试问所作的功是否比前一种 情况大 为什么 3 在 1 2 两种情况下 它们的功率是否一样 解 1 JmgvtFsW 3 109 41058 910 2 JmgvtFsWW 3 109 41058 910 3 v s t v s t vv2 2 t t t W P t W P PP2 2 35 以铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比 在 铁锤击第一次时 能将小钉击入木板内 1cm 问击第二次时能击入多深 假定铁锤二次打击 铁钉时的速度相同 解 以木板上界面为坐标原点 向内为 y 坐标正向 如题 2 13 图 则铁钉所受阻力为 题 2 35 图 f ky 第一锤外力的功为A1 ss k kydyfdydyfA 1 0 1 2 式中 f 是铁锤作用于钉上的力 f 是木板作用于钉上的力 忽略木板与钉之间的摩擦力 在 dt 0 时 f f 设第二锤外力的功为A2 则同理 有 2 1 2 22 22 1 y k kykydyA 由题意 有 2 2 1 2 12 k mvAA 即 222 1 2 2 kk ky 所以 2 2 y 于是钉子第二次能进入的深度为 y y2 y1 2 1 0 414 cm 2 36 已知一质点 质量为 m 在其保守力场中位矢 r 位点的势能为 n p Erk r 试求质 点所受保守力的大小和方向 解 1 n r nk dr rdE rF 方向与位矢 r r 的方向相反 即指向力心 2 37 1 试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点 距月球表面的距离是多少 地球 质量 地球中心到月球中心的距离 月球质量 月球半径 kg 24 1098 5 6 1074 1 m 8 1084 3 kg 22 1035 7 m 2 如果一个 1kg 的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零 那么它在 P 点的势能为 多少 解 1 设在距月球中心为r处F月引 F地引 由万有引力定律 有 G 2 r mM月 G 2rR mM 地 经整理 得 r R MM M 月地 月 2224 22 1035 71098 5 1035 7 8 1048 3 38 32 10 m 6 则 p 点处至月球表面的距离为 h r r月 38 32 1 74 10 6 3 66 107 m 2 质量为 1 kg 的物体在 p 点的引力势能为 m 1Kg 月 地 月 月 rR mM G r mM GEP 7 24 11 7 22 11 1083 3 4 38 1098 5 1067 6 1083 3 1035 7 1067 6 1 28 J 6 10 2 38 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端 挂一根劲度系数为k2的轻弹 簧B B的下端又挂一重物C C的质量为M 如图所示 求这一系统静 止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比 解 弹簧 A B 及重物 C 受力如题 2 15 图所示平衡时 有 FA FB Mg 又 FA k1 x1 FB k2 x2 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1 2 2 1 k k x x 弹性势能之比为 1 2 2 22 2 11 1 2 1 2 1 2 k k xk xk E E p p 2 39 由水平桌面 光滑铅直杆 不可伸缩的轻绳 轻弹簧 理 想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题图所示装置 弹簧的 劲度系数为k 自然长度等于水平距离BC m2与桌面间的摩擦 系数为 最初m1静止在A点 AB BC h 绳已拉直 现令 m1滑块落下 求它下落到B处时的速率 解 取 B 点为重力势能零点 弹簧原长为弹性势能零点 则由 功能原理 有 m2gh 2 1 m1 m2 v 2 m 1gh 2 1 k l 2 式中 l 为弹簧在 A 点时比原长的伸长量 则 l AC BC 2 1 h 联立上述两式 得 v 21 2 2 21 122 mm khghmm 2 40 一质量为m的质点位于 x1 y1 处 速度为v vxi vyj 质点受到一个沿x负方向的力f的作 用 求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩 解 由题知 质点的位矢为 r r x1i i y1j j 作用在质点上的力为 f f fi i 所以 质点对原点的角动量为 L0 r r mv v x1i i y1j j m vxi i vyj j x1mvy y1mvx k k 作用在质点上的力的力矩为 M0 r r f f x1i i y1j j fi i y1fk k 2 41 物体质量为 3kg t 0 时位于r 4im v i 6j m s 1 如一恒力f 5jN作用在物体上 求 3 秒后 1 物体动量的变化 2 相对z轴角动量的变化 解 1 3 0 1 155smkgdtdtjjfpjjfp 2 解 一 x x0 v0 xt 4 3 7 5 253 3 5 2 1 36 2 1 22 0 attvy y 即r r1 4i i r r2 7i i 25 5j j vx v0 x 1 113 3 5 6 0 atvv yy 即v v1 i i 6j j v v2 i i 11j j L L1 r r1 mv v1 4i i 3 i i 6j j 72k k L L2 r r2 mv v2 7i i 25 5j j 3 i i 11j j 154 5k k L L L L2 L L1 82 5k k kg m 2 s 1 解 二 dt dz M tt dtdt 00 FrMLFrML 3 0 1 3 0 2 2 5 82 4 5 5 3 5 2 1 6 4 smkgdtt dtttt kk jji kk jji 2 42 平板中央开一小孔 质量为m的小球用细线系住 细线穿过小孔后挂一质量为M1的重 物 小球作匀速圆周运动 当半径为r0时重物达到平衡 今在M1的下方再挂一质量M2为的 物体 如题 2 24 图 试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 r 为多少 解 在只挂重物M1时 小球作圆周运动的向心力为M1g 即 M1g mr0 2 0 挂上M2后 则有 M1 M2 g mr 2 重力对圆心的力矩为零 故小球对圆心的角动量守恒 即 r0mv0 r mv 22 0 2 0 rr 联立 得 0 21 1 3 3 2 1 21 0 1 0 1 0 r MM M r M MM mr gM mr gM 2 43 质量为的子弹以20g 1 400m s 的速率沿如图所示的方向击入一原来 静止的质量为980的摆球中 摆线长为 1 米 不可伸缩 质量不计 子弹 击入后摆球速度为 g A B C 1 4ms 1 8m s 1 2m s D 1 8rad s 答案 A 2 44 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆 它离太阳最近距离为时的速 率是 它离太阳最远时的速率是 这时它离太阳的 距离r mr 10 1 1075 8 12 ms 14 1 1046 5 msv 2 1008 9 v 2是多少 太阳位于椭圆的一个焦点 解 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用 所以角动量守恒 又由于 哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直 故有 r1mv1 r2mv2 m v vr r 12 2 410 2 11 2 1026 5 1008 9 1046 5 1075 8 2 45 电子质量为 9 10 31kg 在半径为 5 3 10 11m的圆周上绕氢核作匀速运动 已知电子 的角动量为 2 h 求它的角速度 解 电子角动量 mrrrmrmvL 2 90sinsin 对基态电子 2 2 h mr 得电子角速度 srad mr h 1018 4 103 5 10914 3 2 1063 6 2 16 21131 34 2 2 46 升降机内有两物体 质量分别为m1 m2 且m1 2m2 用细绳连接 跨过滑轮 绳子 不可伸长 滑轮质量及一切摩擦都忽略不计 当升降机以匀加速a g 2 上升时 求 1 m1 和m2相对升降机的加速度 2 在地面上观察m1 m2的加速度各为多少 解 分别以m1 m2为研究对象 其受力图如图 b 所示 1 设m2相对滑轮 即升降机 的加速度为a 则m2对地加速度a2 a a 因绳不可伸长 故 m1对滑轮的加速度亦为a 又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响 所以m1在水平方向 对地加速度亦为a 由牛顿定律 有 m2g T m2 a a T m1a 题 2 46 图 联立 解得 a g 方向向下 2 m2对地加速度为 a2 a a 2 g 方向向上 m1在水面方向有相对加速度 竖直方向有牵连加速度 即a绝 a相 a牵 g g gaaa 2 5 4 2 222 1 arctan a a arctan 2 1 26 6 左偏上 2 47 火箭起飞时 从尾部喷出的气体的速度为 3000m s 每秒喷出的气体质量为 600kg 若 火箭的质量为 50t 求火箭得到的加速度 解 火箭的运动是变质量系统的反冲运动 当喷出 dm 气体 其速度增加 dv uvdmdvvdmmmv m dm udv 则 2 3 36 1050 1 600 3000 1 sm dt dm m u dt dv a 2 48 一质量为的宇宙飞船绕行星作圆周运动 圆的半径为m 0 R 速率为 因火箭爆发 给飞船增加了向外的速度分量 于是它的轨迹成为椭圆 0 v 0 x vv 试证引力可写成 2 0 2 0 r Rmv F 试用 0 R 以及 0 v x v写出椭圆方程 并利用相应的计算机语言编程作图 1 证明 m 作圆周运动时 0 2 0 2 0 0 R v m R Mm G 2 000 vRMG 1 M 作椭圆运动时 2 0 2 0 2 0 r Rmv r Mm GF 2 解 0 2 1 2 1 2 1 2 0 22 0 22 0 0 0 22 0 vvmmvvvm R Mm GvvmE rrr 2 00mv RL 3 E r mM Gmv 0 2 2 1 4 由 3 4 得 0 1 2 0 2 2 E r mM G rm L 它的解是 2 11 1 232 0 2 2 2 0 MmG EL L MmG r 一般的 cos 2 1 2 11 cos