数学建模——眼科病床,国赛一等,西南交大.pdf

1 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开 的资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处 和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞 赛规则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 B 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 所属学校 请填写完整的全名 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 梁涛 日期 2009 年 9 月 14 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 3 基于排队系统的医院病床分配模拟问题 摘 要 本文研究的是关于眼科医院病床分配的评价与优化问题 主要采用了层次分析 法 MMc排队论 单目标优化 区间估计等模型 使用计算机模拟等方法 对 医院现有床位安排方案进行了评价 并通过优化模型 提出了改进方案 对于问题一 本文首先从实际情况出发 结合题目要求 在充分考虑院方和患 者双方利益的前提下 确定了床位分配方案的评价指标 其次采用层次分析法确定 各项因素权重 本文在建立层次结构时 在常规三个层次的基础上增加了子准则层 从而有效避免了单一层次分析法指标权重值偏离的现象 在此基础上 本文建立了 MMc排队模型 并通过计算机模拟的方法确定了各种评价指标的评价值 进而 确定医院现行方案的综合评价指数仅为 0 68 通过对所有评价指标进行模拟分析 本文发现平均入院等待时间为 11 9 天 并 依次确定了入院等待时间过长是制约该方案优越性的主要问题 并提出改进方案 对于问题二 本文以方案综合评价指数最大为目标函数 首先在第一问的基础 上 通过分析合理确定了星期k第i种疾病的优先等级 ik F 引入函数f 表示各种 疾病优先等级 ik F 到综合评价指数D的映射 即 ik f FD 并以其为目标函数 确 定了两种决策方式 并分别通过计算机模拟 确定了其最优解 在同问题一中方案 对比 选择最优方案 将入院等待时间缩短到了 8 2 天 综合评价指数提高至 0 75 较之原有方案改进明显 问题三 首先对不同类型疾病入院等待时间进行了统计分析 采用单个总体的 区间估计 确定了其置信度在 99 的置信区间 在已知病人就诊时间情况下 很容 易得出其入住时间区间 再利用matlab仿真计算每种疾病的平均入院等待时间 发 现所有仿真结果全部落入置信区间 可见模型精度较高 问题四 在问题二的模型上 进行修改 通过调整各种病的优先等级 使得函 数满足了周末不安排手术的题目条件 再利用模拟方法 对床位安排情况进行仿真 问题五 由于各类病人所占病床数固定 本文将整个病床安排可看成 5 个各自 独立的 i MMc 多服务台的排队模型 可由公式直接得到各类病人的系统逗留时 间 以各类病人占用病床的比例为决策变量 以平均逗留时间最短为目标函数 建 立单目标优化模型 本文最后在模型推广中 建立了静态优化模型 提出了通过改变医院设施以达 到病床合理分配的合理模型 本文采用模型合理 方法得当 提出的优先级策略不仅化简了模型求解的难度 而且保证了模型精度 尤其是在问题一中建立子准则层 问题二和问题四中提出的 优先级策略和问题五中 利用边际分析法化简排队模型 都充分表现了本文模型和 算法的合理性 本文采用 excel 进行数据处理 C matlab混合编程进行排队系统的 仿真 真实地模拟了实际的患者排队过程和病床分配策略 有较大的实用价值 关键词 模拟 排队论 层次分析法 优化建模 眼科 病床 4 一 问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象 它以这样或那样的形式出现在我们面 前 例如 患者到门诊就诊 到收费处划价 到药房取药 到注射室打针 等待住 院等 往往需要排队等待接受某种服务 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题 该医院眼科门诊每天开放 住院部共有病床 79 张 该医院眼科手术主要分四大 类 白内障 视网膜疾病 青光眼和外伤 附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况 白内障手术较简单 而且没有急症 目前该院是每周一 三做白内障手术 此 类病人的术前准备时间只需 1 2 天 做两只眼的病人比做一只眼的要多一些 大约 占到 60 如果要做双眼是周一先做一只 周三再做另一只 外伤疾病通常属于急症 病床有空时立即安排住院 住院后第二天便会安排手 术 其他眼科疾病比较复杂 有各种不同情况 但大致住院以后 2 3 天内就可以接 受手术 主要是术后的观察时间较长 这类疾病手术时间可根据需要安排 一般不 安排在周一 周三 由于急症数量较少 建模时这些眼科疾病可不考虑急症 该医院眼科手术条件比较充分 在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制 但考虑到手术医生的安排问题 通常情况下白内障手术与其他眼科手术 急症除外 不安排在同一天做 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS First come First serve 规则安排住院 但等待住院病人队列却越来越长 医院方面希望你们能通过 数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题 以提高对医院资源的有效利用 问题一 试分析确定合理的评价指标体系 用以评价该问题的病床安排模型的 优劣 问题二 试就该住院部当前的情况 建立合理的病床安排模型 以根据已知的 第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院 并对你们的模型利用问 题一中的指标体系作出评价 问题三 作为病人 自然希望尽早知道自己大约何时能住院 能否根据当时住 院病人及等待住院病人的统计情况 在病人门诊时即告知其大致入住时间区间 问题四 若该住院部周六 周日不安排手术 请你们重新回答问题二 医院的 5 手术时间安排是否应作出相应调整 问题五 有人从便于管理的角度提出建议 在一般情形下 医院病床安排可采 取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案 试就此方案 建立使得所有病人在 系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最短的病床比例分配模型 二 模型假设 1 患者到医院就诊相互独立 到达时间的间隔分布为 Poisson 分布 患者流是 Possion 流 2 该医院眼科手术分为四大类 白内障 视网膜疾病 青光眼 外伤 3 病床安排时不考虑手术条件的限制 4 考虑医生的安排问题 通常情况下白内障手术与其他眼科手术 急症出外 不安 排在同一天做 5 该院每周一 三做白内障手术 如果做双眼白内障是周一先做一只 周三再做另 一只 6 眼科住院部共有病床 79 张 7 外伤疾病属于急症 病床有空时立即安排住院 三 符号说明与名称解释 3 1 符号说明 外伤入院人数概率分布图 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 123 外伤入院人 数概率分布 图 患者的平均到达率 单眼白内障入院概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 12345 单眼白内障入院 概率分布图 服务器台数 即病床数目 双眼白内障入院人数概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 123456 双眼白内障入院 人数概率分布图 每个病床的平均服务率 青光眼入院人数概率分布函数 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 123456 青光眼入院 人数概率分 布函数 医院系统的服务强度 视网膜疾病入院概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 12345678 视网膜疾病 入院概率分 布图 计数周期内的患者到达的最大人数 n 确定时间段内患者到达的人数 门诊等待时间概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 147101316 门诊等 待时间 概率分 布图 患者的平均逗留时间 s L 队长 q L 队列长 n P 医院系统在n状态的概率 i 眼病编号 1 2 3 4 5i 分别表示急症 单眼白内障 双眼白内障 青光眼和视 网膜疾病 j 床位编号 6 D 综合评价指数 i ni Pc C个服务台任意时刻系统中有n个i类病患者的概率 ijk x 星期k第i床分配给第j种疾病 3 2 名词解释 1 急症等待时间 急症病人从入院到进行手术的时间 2 入院等待时间 病人从门诊到入院时间 3 术前等待时间 病人从入院到第一次手术时间 4 服务时间 患者从入院到出院时间 四 问题分析 4 1 问题一 由题意可知 问题一是评价问题 首先需确定评价因素 既要充分考虑患者利 益 主要是患者的不必要等待时间应尽量少 同时也需考虑院方的经济效益 主要 是病床的使用率应尽可能高 因此本文确定以下几种因素为评价指标 1 病床使 用率 2 急症等待时间 3 入院等待时间 4 术前等待时间 这 4 种因素在 评价体系中所占份量是不同的 同时任何一种因素在评价系统中都不能是绝对优势 需要各项指标综合的优越 由上述分析 首先需对各项因素进行量化 本文采取如下的方式量化各项指标 病床使用率 根据附表中的数据可知 医院处于高负荷运作状态 病床紧张 故可认为病床使用率为100 对于其余三项指标 本文采用比值法 用各项等待时 间与总逗留时间 包括等待入院及住院时间 做比 即 1 参评指标占用时 指标评价值 患者平均逗留时间 将评价指标数值化后 只需再对各项因素赋权值 即可得到综合评价指标 由 于问题涉及因素较多 且情况较为复杂 为科学分配权值 本文采用层次分析法确 定权值 从而确立合理的评价指标体系 并可通过该评价指标体系对该住院部当前 的情况作出评价 4 2 问题二 在住院部当前情况下 由于对不同疾病 不同时间入院的优先等级的不同选择 会决定住院部的不同病床安排 故将一周中每日不同疾病的优先等级作为决策变量 建立一个优化模型 提出优化分配方案 根据题目条件 不同疾病在不同时间入院 的优先等级不同 即不同时间 不同类型的疾病对床位的占用权存在优先级问题 因此 在提出床位分配方案之前 首先需要对各种疾病目前情况下每天的优先 等级进行排序 优先等级主要考虑到以下几个方面 1 急症优先等级 在任何时候急诊的入院等级高于其他任何疾病 2 双眼白内障优先等级 由题意 双眼白内障在周一接受第一次手术 周三第 二次手术 又术前准备时间为 1 2 天 因此其在周日或周六这两天内优先 等级仅次于急症 其余时间优先等级仅高于单眼白内障 3 单眼白内障优先等级 由题意 单眼白内障手术在周一或周三 术前准备时 间为 1 2 天 则在周六或周日 优先等级次于急症和双眼白内障 高于其 7 他疾病 在周一或周二 优先级别仅次于急症 其余时间优先等级最低 4 其他眼病优先等级 由题意 取其他眼病术前准备时间均为 2 3 天 又因 为其他眼病不能和白内障处于同一天进行 故其在周六和周日优先等级最 低 在周一 周二优先等级低于单眼白内障 其余时间高于白内障 表 1 各类病人优先等级表 优先等 级 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 4 急症 急症 急症 急症 急症 急症 急症 3 单眼白 内障 单眼白 内障 其他 其他 其他 双眼白 内障 双眼白 内障 2 其他 其他 双眼白 内障 双眼白 内障 双眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 1 双眼白 内障 双眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 其他 其他 本问优化建模的目标是使得问题一中的综合评价指标值最大 显然综合评价指 标值和分配方案存在一一对应关系 而各类病人入院的优先等级决定了分配方案 即可通过函数f表示各类疾病优先等级到综合评价指标的映射关系 由于函数f没有具体表现形式 故无法用数学方法求解 只能采用计算机模拟 的方式 求解数值解 4 3 问题三 问题三要求根据数据的统计情况估算病人的入住时间区间 由于题目已知病人 前来就诊时间 只要知道入院等待时间的置信区间 便可知道入住时间的置信区间 又 根据概率与数理统计知识 要求入院等待时间的置信区间 首先要知道入 住时间服从何种分布 再根据其分布 利用区间估计确定置信区间 首先对附录中的入院等待时间进行统计分析 得出其概率分布函数 其次确定 分布类型 进而确定入院等待时间的置信区间 最终确定入住时间的置信区间 由 于不同类型患者的就诊时间 入院等待不同 因此应分病种讨论 利用区间估计求得置信区间后 可通过 外伤入院人数概率分布图 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 123 外伤入院人 数概率分布 图 仿真出平均入院等待时间 计算 仿真结果落入区间的概率 从而验证模型的精度 4 4 问题四 问题四总体思路与第二问基本一致 仍旧以每天每种病的优先级别为决策变量 以一周内对应的评价指标最大作为目标函数 但由于周六 周日不安排手术 因此 每天各种类型疾病患者入院优先级将发生变化 需重新分析各疾病入院优先级 优 先等级顺序如表 2 所示 8 表 2 周末不安排手术情况下各类病人优先等级表 优先等 级 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 4 急症 急症 急症 急症 急症 急症 急症 3 单眼白 内障 单眼白 内障 其他 双眼白 内障 双眼白 内障 双眼白 内障 双眼白 内障 2 其他 其他 双眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 1 双眼白 内障 双眼白 内障 单眼白 内障 其他 其他 其他 其他 因为每天的优先级发生变化 造成了安排模型合理性的不同 利用仿真求出其 评价指 问题二中安排模型进行比较 4 5 问题五 本问是在固定各类病人所占病床比例的情况下 确定病床分配方案 使得平均 逗留时间最短 由于各类病人所占病床数固定 故整个病床安排可看成 5 个各自独 立的 i MMc 多服务台的排队模型 可由公式直接得到各类病人的系统逗留时间 以各类病人占用病床的比例为决策变量 以平均逗留时间最短为目标函数 建立单 目标优化模型 五 模型建立 5 1 问题一 5 1 1 建立排队模型确定评价值 5 1 1 1 数据分析 整理附表的数据 首先绘制患者到医院就诊的原始时间序列图 如图一所示 从图中很难看出患者就诊规律 因此本文继续对时间序列进行了累计积分 得到累 计积分分布函数图和概率密度曲线 分别如图二 图三所示 患者就诊时间序列图 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 18 15 22 29 36 43 50 57 患者就 诊时间 序列图 到达人数概率分布图 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1357911 13 15 到达人数 概率分布 图 图二 图一 9 到达人数概率密度图 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 0 14 0 16 0 18 0 2 13579 11 13 15 到达人数 概率密度 图 由于为离散函数 故上述各图均用虚线连接 根据图三可知 患者的到达大致符合Poisson流分布 又由泊松分布函数 0 2 1 0 ttne n t tP t n n 可利用上式拟合曲线 拟合图图像如图四所示 从而求解参数 8 5 5 1 1 2 建立多服务台 MMc模型 由数据分析 患者总人数到达情况符合泊松分布 平均到达率为8 5 再由 各类病人占病人总数比例 可得到每类病人到达情况 同样符合泊松分布 设患者平均到达率为 各台 床位 的治疗时间满足负指数分布 且相互独立 单个病床的平均治疗率为 整个治疗机构的平均治疗率为 cnc 系统的服务 强度1 c 时才不会排成无限的队列 服务台的平均利用率 n P c为C个服务台 任意时刻系统中有n个病患者的概率 当该生灭过程达到稳定时 可得系统状态转 移图 外伤入院人数概率分布图 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 123 外伤入院人 数概率分布 图 状态 单眼白内障入院概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 12345 单眼白内障入院 概率分布图转移到状态 双眼白内障入院人数概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 123456 双眼白内障入院 人数概率分布图 当 青光眼入院人数概率分布函数 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 123456 青光眼入院 人数概率分 布函数时 状态转移概率 视网膜疾病入院概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 12345678 视网膜疾病 入院概率分 布图 当 cn 时 门诊等待时间概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 14710 13 16 门诊等 待时间 概率分 布图个服务台 图 三 图 四 10 最多有c个患者被服务 cn 个患者在等候 此时状态转移率为 n Pc 由此可得状态转移方程 1 1 11 11 01 cnPcPPc cnPnPPn PP nnn nnn 其中1 0 n n P且1 c 由递推关系可以求得系统状态概率为 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 cnP cc cnP n P ck P n cn n n c k c k 系统的运行指标为 0 2 0 111 1 P c c Pc cc k kPPcnL LL c ck k k k ckn cn q qs 其中 cknc 0 2 0 2 1 1 1 c s s c q q Lc wP c L c wP c 由上述模型可以确定入院等待时间 术前等待时间 急症等待时间和总逗留时间等 多项指标 从而确定各项指标评价值 5 1 2 利用层次法建立评价系统 5 1 2 1 建立层次结构 通常层次分析分析法建立三层即 目标层 准则层 方案层 但考虑到问题中 所涉及到的问题较为复杂 为了避免单一层次分析法出现的指标权重偏移的现象 本文采用了模糊数学集成的方法 构建四个层次 目标层 准则层 子准则层以及 方案层 故首先应当对因素进行归类 院方因素 1 1 C 患者因素 2 2 3 4 C 目标层 O 选择合理病床分配方式 准则层 1 C 方案评价的主要因素 1 C院方因素 2 C 患者因素 11 子准则层 2 C 二级因素评价 11 C病床使用率 21 C 急症等待时间 22 C入 院等待时间 23 C 术前等待时间 方案层 P 参评方案 综上 可用下图表示层次关系 5 1 2 2 确定权重 层次分析法需确定每相邻两层之间 下层对上层权重 0 W 本文采用如下方式确 定权重 1 确定构造比较矩阵 引用Saaty的 1 9 的标度法来反映指标之间的相对重要性的比较 对指标的相 对重要性之比做出判断 Saaty的 1 9 标度如附表所示 见附录 定性区分事物的能力可用 5 个重要程度的属性表示 9 个数值即为 9 个标度 根据主观评估的方式确定某层内指标进行相互比较得到矩阵 即判断矩阵 表达式 为 其中 ij a为因素 i C和 j C对上层影响度之比 且1 1 2 ii ain 由此可确定建立准则层 1 C 对目标层 O 判断矩阵 1 A 根据所查资料并结合现实情况 令 2 1 8 C C 则有 11121 21222 12 n n ij n n nnnn aaa aaa Aa aaa 12 1112 1 2122 1 1 8 81 aa A aa 同理 可得确定子准则层 2 C 对准则层 1 C 判断矩阵 2 A 2 11 1 22 21 1 21 1 A 2 采用特征根法确定同层内各指标对上层权重 本文采用方根求解判断矩阵C的特征向量 1 1 2 n n iij j wain 特征向量 12 T n Ww ww 作归一化处理 1 1 2 i in i i w win w 由此可得 1 A特征向量为 12 0 12 0 99 TT n Ww ww 则归一化后得 112 0 11 0 89 TT n Ww ww 同理 2 A 特征向量归一化后为 212 0 12 0 44 0 44 TT n Ww ww 3 计算判断矩阵的最大特征值 1 max 11 1 n ijj nn j i ii ii a w A W nwnw 其中 iAW表示AW的第i个分量 则有 1 2 maxmax 23 13 4 一致性检验 1 矩阵偏离一致性指标 max 1 n CI n 当判断矩阵具有完全一致性时 0CI max n 愈大 CI愈大 矩阵一致性 愈差 2 随机一致性指标 RI 通常有经验给定 如附表二所示 3 一致性比率指标 CI CR RI 当0 1CR 时 认为一致性是可接受的 则可用向量 112 T n Ww ww 表示各因素对上层权重向量 经计算 1 2 00 10CRCR 满足一致性指标 又 由于院方因素仅考虑病床使用率一种情况 显然权重向量 1 2 1 TW 组合权重可由下式确定 21 1 2 221 0 11 0 11 0 39 0 39 WW W WWW 组合一致性指标比率表示为 1 2 00 1CRCRCR 因此 组合权重W可作为 目标的评价权值 5 1 2 3 建立评价指标体系 为了评价方便 本文引入评价指数D 可将其定义如下 23 11 ijij ij Dm b 其中 ij m为各项指标的权重 ij b为相应指标的评价值 其中 11 1b 2 1 1 2 3 j j t bj T 式中 j t为各种平均等待时间 m T为病人平均逗留时间 即 s Tw 5 2 问题二 由问题分析 可将本问重新描述如下 有n 79n 个床位 分配给m 5m 种疾病使用 假设分配前第i种疾病在星期k对床位占有优先级已经确定为 ik F 床 14 位分配目标是使得在该种优先级下的病床安排模型在问题一下的评价指数最高 根据问题描述 建立数学模型 由问题分析可知 本问需引入函数f表示从各 类疾病优先等级到综合评价指标的映射关系 设第i种病在星期k的优先级为 ik F 则在函数f作用下 可使其映射到评价指 数 即引入函数f 使得 ik f FD 本问优化目标为评价指数D最大 则 目标函数 max ik f FD ik F取值如下表所示 表 3 各类病优先级 ik F列表 优先等 级 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 4 急症 急症 急症 急症 急症 急症 急症 3 单眼白 内障 单眼白 内障 其他 其他 其他 双眼白 内障 双眼白 内障 2 其他 其他 双眼白 内障 双眼白 内障 双眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 1 双眼白 内障 双眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 单眼白 内障 其他 其他 本问中引入的函数无具体表达式 无法通过数学方法求解 只能通过仿真 得 出数值结果 分别对下列两种准则进行仿真 准则 1 1 急症优先 病床有空十立即安排住院 住院后第二天安排手术 2 双眼白内障选择星期六入院 单眼白内障选择星期六或星期一入院 3 星期六双眼白内障优先 准则 2 急症优先 病床有空十立即安排住院 住院后第二天安排手术 1 双眼白内障选择星期六入院 单眼白内障选择星期六或星期一入院 2 星期六双眼白内障优先 3 在 1 2 3 优先条件下 每日的床位按每类病人的队长按比例进行分配 对两种准则下仿真 取结果较好为新提出方案 5 3 问题三 5 3 1 数据分析 5 3 1 1 患者流分析 由于患者就诊时间遵循 单眼白内障入院概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 0 45 12345 单眼白内障入院 概率分布图的泊松分布 且各类患者占总患者数的百分比相 15 对固定 比例分布如图五所示 已知双眼患者占白内障患者的 60 由此可得 5 类病人的平均到达率分别为 双眼白内障入院人数概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 123456 双眼白内障入院 人数概率分布图 5 3 1 2 患者入院概率分布 用excel可得到患者入院等待时间的概率分布散点图 如图六所示 门诊等待时间概率分布图 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 0 4 147101316 门诊等 待时间 概率分 布图 将上述散点图进行拟合 如图七所示 统计给出的入院等待天数X是一个离散 变量 考虑到大量统计结果的入院等待时间是一个平均值 故将患者的入院等待天 数X视为服从正态分布 2 NX 调用matlab的cftool工具箱拟合图六 求出 参数95 0 54 12 即有入院等待的概率密度函数 2 2 2 35 1 54 12 2 41 0 2 1 xx eexf 观察数据可知 各种类型的患者的入院等待波动较小 且总体服从正态分布 因此 考虑使用正态总体的区间估计求解每种类型患者的置信区间 5 3 2 区间估计模型的建立 设总体X的分布函数 xF含有一个未知参数 属于可能取值的 范围 对于给定值 10 若由来自X的样本 n XX 1 确定的两个统计量 图 五 图六 图七 16 1n XX 和 1 n XX 对于任意 满足 又 0 1 i n n P 且1 i i ii c 则由递推关系可以求得系统状态概率为 1 1 0 0 0 0 111 1 1 11 i i ii k c ci ii k iiii ni i ii ii i n ni i ii nc iii P kc Pnc n P Pnc c c 当系统达到平衡状态时 每个患者在系统中等待时间 i q w的均值为 0 2 1 i i c qii ii q iiii L c wP c 逗留人数 i s L 1 i k c i i sii k k iii k Lc c c 平均逗留时间 i i s s i L w 则 18 0 2 1 1 2 3 4 5 1 i c ii iii s iiii c wPi c 显然 i s w和 i s L 均为关于 i c的函数 即为 i si wc i si Lc 则可由此确定目标函数 目标函数 55 11 55 11 min ii isisi ii ii ii wcLc Y 约束条件 1 床位总数约束 5 1 79 i i c 2 取值约束 079 i c 3 整数约束 i cN 综上优化模型建立如下 55 11 55 11 5 1 min 79 079 ii isisi ii i ii ii i i i i wcLc Y c c stc cN 1 2 3 4 5 i 这是单目标正整数非线性优化问题 可以使用 LINGO 求解 也可用 C 语言编程求 解 六 模型求解与仿真 6 1 问题一 本文首先通过对 MMc模型进行仿真模拟 求解急症等待时间 入院等待时 间以及术前等待时间的平均值 将其标准 再带入评价值公式 即可的其综合评价 19 指数 6 1 1 模拟仿真 本文采用计算机模拟的方法 对医院病人就诊情况进行仿真 其算法步骤如下 1 step产生第一天就诊人数 生成各类型等待住院的病人数 安排第一天住院的各种 类型病人 统计床位占用情况 2 step设当前时间1t 设模拟结束时间为T 如果t大于T 结束程序 否则 执 行3 step 3 step模拟当天就诊病人个数和病人的类型 4 step按先到先服务 急症优先的原则安排病人住院 记录当天住院病人的入院时 间 治疗时间 出院时间 以及医院病床的床位占用情况 5 step根据病人的出院时间确定当天出院的人数 当前日期 t 加 1 返回2 step 其算法流程如图所示 初始化 t 1 t T 结束 产生第t天门诊病人数 计算第t天等待入院各种类型病人数 按照先到先服务 急症优先 的原则安排病人入院 根据病人的出院时间 确定当天离开人数 t t 1 N Y 20 6 1 2 模型结果及检验 下表是通过模拟所得各项评价指标和直接利用已知数据平均所得结果比较 表 5 模拟结果与计算结果比较 从结果比较表可以看出模拟结果与计算值十分接近 误差不足 5 可见模型精 度很高 且由于模拟数据采用周期为1000T 而题目所给数据仅为 60 天 即 60T T T 故模拟稳定性比计算值更好 因为模拟值精度很高 且稳定性较好 可用其代替真实值 进行评价值计算 又评 价值计算公式 1 2 1 2 3 j ij m t bij T 可得各项评价指标如表 6 所示 表 6 评价指标数值化列表 又由评价指数定义得 23 11 0 69 ijij ij Dm b 由计算结果可知该分配方案评价指数偏低 需要改进 6 1 3 结果分析 根据上述结果 可得到如下分析结果 1 通过数据处理和问题分析得知 影响医院病床分配方案的因素包括 病床使 用率 急症等待时间 入院等待时间和术前等待时间 且利用层次分析法 可以确定四种因素对病床分配方案的影响大小依次为 入院等待时间术前等待时间急症等待时间病床使用率 评价指标 模拟值 计算值 病床使用率 100 100 急症等待时间 1 1 入院等待时间 11 9 12 5 术前等待时间 3 1 3 0 逗留总时间 19 3 20 1 评价指标 实际值 评价值 病床使用率 100 1 急症等待时间 1 0 95 入院等待时间 11 9 0 38 术前等待时间 3 1 0 84 21 2 该种分配方案最大程度上满足了病床使用率 即最大程度上满足了院方的利 益 急症等待时间也较好满足了患者需求 3 入院等待时间占到了总逗留时间的 62 入院等待浪费了患者大量的时间 入院等待时间过长 是制约该方案优越性的主要原因 缩短入院等待时间可 以大幅提高方案优越性 6 2 问题二 通过分析 本文对问题二建立了单目标的优化问题 但由于问题本身过于抽象 很难采用常规方法进行求解 本文采用了仿真方式 由于问题一的评价指标主要由 1 病床使用率 2 急症等待时间 3 入院 等待时间 4 术前等待时间构成 可通过降低急症 入院 术前等待时间来提高 病床安排模型的合理性 现提出两个排队规则 排队规则 1 1 急症优先 病床有空十立即安排住院 住院后第二天安排手术 2 双眼白内障选择星期六入院 单眼白内障选择星期六或星期一入院 3 星期六双眼白内障优先 排队规则 2 1 急症优先 病床有空十立即安排住院 住院后第二天安排手术 2 双眼白内障选择星期六入院 单眼白内障选择星期六或星期一入院 3 星期六双眼白内障优先 4 在 1 2 3 优先条件下 每日的床位按每类病人的队长按比例进行分配 6 2 1 模型仿真 利用matlab编程对上述两个排队规则模型进行仿真 流程如下 1 step患者信息初始化 2 step设当前时间 t 1 设模拟结束时间为 T 如果 t 大于 T 结束程序 否则 执行 3 step 3 step用泊松分布生成当天就诊人数 存入数组 c 中 各类病人等待入院数组 a a c 4 step调用函数 skc 生成空床位数 5 step调用函数 glc2 生成各类病人入院数 存入数组 d 6 step安排床位 调用 fwsj 函数来安排病人的服务时间 服务时间由手术等待期 手 术时间和观察期组成 分别由 f1 f2 f3 代表 如果是单眼白内障患者 如果是星期一 f1 2 如果是星期二 f1 1 其它情况下 f1 8 当日星期数 f2 1 f3 根据统计规律取 值 其他四种情况也根据如上相同的分析方法 以此求得患者的服务时间 7 step更新数组 a a d 8 step累计等待天数 dt dt sum a 22 9 stept t 1 返回2 step 6 2 2 模型结果 通过仿真可得出两种排队规则模型各项评价指标数据 下表是数据对比表格 表 7 各项评价指标对比表格 6 2 3 结果分析 通过计算机仿真 本文建立了一个合理的病床安排模型 即排队规则 1 6 3 问题三 6 3 1 模型的求解 本问所求解的模型过程较为简单 采用 excel 求解入院等待时间的均值和方差 带入上述公式 1 2 nt n S X 求解置信区间 结果整理如表 8 所示 表 8 不同类型患者入院等待的置信区间 序号 患者类型 置信区间 置信度 1 急症 1 1 99 2 单眼白内障 12 24 13 08 99 3 双眼白内障 10 62 14 11 99 4 青光眼 10 42 14 10 99 5 视网膜 12 18 12 9 99 根据上表可以预估 8 月 30 号以后患者的入住时间区间 所得结果如附表所示 6 3 4 模型验证 我们采用 matlab 编程模拟的方式 仿真出入院等待时间曲线 对上述置信区间 的置信度作检验 仿真流程如下 使用问题一建立的cMM 排队模型 患者的到达相互独立 病种i就诊到达满 足平均到达率为 i 的泊松分布 患者的队长没有限制 由数据处理可知 每类型患 评价指标 规则 1 规则二 病床使用率 100 100 急症等待时间 1 1 入院等待时间 8 2 10 69 术前等待时间 2 1 2 5 逗留总时间 16 3 18 1 评价指数 D 0 75 0 71 23 者的入院人数 i n 以 i n 1 作为平均入院等待率 1 step根据每种类型患者的就诊到达率 i 和平均入院等待率 i n 1 确定每种类型患 者到达的时间间隔和入院等待的时间间隔 2 step根据就诊到达时间间隔 确定每个患者的到达时刻 使用matlab内置函 数 cumsum实现累加功能 各患者的到达时刻等于时间间隔的累积和 3 step对当前患者进行初始化 首个就诊的患者不需要入院等待就可以入住 其 入住时间等于到达就诊与入院等待时间之和 4 step根据医院当前床位情况确定是否接受当前患者入院 若接受 则根据前 一患者的入院时刻确定当前患者的入院等待和入住时间 入院等待时间曲线如图八所示 将各点取平均值后即为仿真平均入院等待时间 仿真结果与区间估计所得区间结果比较 如表 9 所示 表 9 区间分布模型验证 序号 患者类型 置信区间 仿真平均入院等待时 间 1 急症 1 1 1 2 单眼白内障 12 24 13 08 12 58 3 双眼白内障 10 62 14 11 14 70 4 青光眼 10 42 14 10 11 63 5 视网膜 12 18 12 90 10 45 可见 模拟出的平均入院等待时间全部落入置信区间内 由此可见 区间估计 模型很准确 图八 24 6 4 问题四 由问题分析和模型建立可知 本题算法与问题二类似 6 4 1 算法流程 1 step患者信息初始化 2 step设当前时间 t 1 设模拟结束时间为 T 如果 t 大于 T 结束程序 否则 执行 3 step 3 step用泊松分布生成当天就诊人数 存入数组 c 中 各类病人等待入院数组 a a c 4 step调用函数 skc 生成空床位数 5 step调用函数 glc2 生成各类病人入院数 存入数组 d 6 step安排床位 调用 fwsj 函数来安排病人的服务时间 在处理白内障患者的时候 方法和第二问中算法的第六步相同 但是由于规定了周六和周日不能做手术 相应 7 step的对第二问中的算法做出调整 8 step更新数组 a a d 9 step累计等待天数 dt dt sum a t t 1 返回2 step 6 4 2 求解结果 模型求解结果如表十所示 表 10 周末是否安排手术对评价指标影响 6 4 3 结果分析 1 周末不安排手术使得在周五周六的急症病人不能及时得到手术 因此延长了急 症等待时间 评价指标 安排 不安排 病床使用率 100 100 急症等待时间 1 1 3 入院等待时间 8 2 10 8 术前等待时间 2 1 2 6 逗留总时间 16 3 18 5 评价指数 D 0 75 0 70 25 2 由于周三以后就诊的非急症病人必须要等到下周一后才能接受手术 故延长了 入院等待时间和术前等待时间 3 医院需对手术安排进行调整 以提高评价指数 6 4 4 建议 医院可调整白内障手术时间 将手术调至周三周五进行 且周三对双眼白内障 患者进行第一次手术 这样周三后就诊的病人可以有效接受治疗 6 5 问题五 6 5 1 模型化简 模型建立中虽然已经建立了以各类疾病病床分配数量为决策变量 以平均逗留 时间最短为目标函数的数学模型 但由于目标函数的表达形式极为复杂 很难求解 因此本文首先对模型进行化简 设 i c 是使目标函数取值最小点 由于 i c 仅能取整数 则 i c 满足 1 1 ii ii Y cY c Y cY c 1 2 3 4 5 i 即 55 11 55 11 1 1 sisi ii sisi ii L cL c L cL c 1 2 3 4 5 i 又由约束条件 5 1 79 i i c 变形后可得 5 1 790 i i c 其中 为修正常数 且0 则可将模型简化为 5 1 55 11 55 11 min79 1 1 0 i i sisi ii sisi ii objc L cL c stL cL c 1 2 3 4 5 i 利用C语言编程 能够较为容易求解上述模型 但通过此模型只能求得局部最优解 还需对所有可行解进行模拟 选出全局最优解 此法将模型大大化简 便于编程实 现 6 5 2 结果分析 26 通过C语言编程得到各种疾病所占床位分别为 12345 7 20 18 7 27ccccc 5 种疾病分别所占用病床比例为 i i c c n 则 12345 8 9 25 3 22 8 8 9 34 2 ccccc 即急症 单眼白内障 双眼白内障 青光眼和视网膜疾病分别占用床数比例为 8 9 25 3 22 8 8 9 34 2 七 模型推广 本文是关于医院安排病床的优化模型 采用了排队模型进行优化 主要是使用 了动态优化模型 关于病床安排优化问题 还可以采用静态优化模型 静态优化 即是优化系统设计 仍旧根据排队论知识 由问题五建立模型 可 得系统状态概率的平衡方程 10 11 11 1 1 1 2 3 4 ii ii iii iininiiinii iininiiinii PP nPPnPnci cPPcPnc 又 0 1 i n n P 且1 i i ii c 则由递推关系可以求得系统状态概率为 1 1 0 0 0 0 111 1 1 11 i i ii k c ci ii k iiii ni i ii ii i n ni i ii nc iii P kc Pnc n P Pnc c c 静态最优模型 在排队系统中 患者希望服务台越多 服务效率越高 逗留时间越短越好 使自 己的损失达最小 为此医院就要增加医生和设备 而医院也不可能无限投入 为此就 需要优化设计 其目的就是使患者损失费用和医院服务成本之和达到最小 假设病床数为c 1 y为病床使用单位时间的成本费 2 y为每个患者在系统中逗留 单位时间的费用 又 总成本院方成本患者损失费用 总成本显然是以关于病床数c的函数 即可写做 Z c 目标函数 27 12 min s Z cy cy L c 其中 s L c 为队长 由排队论公式给出 0 2 1 c s c LP c 同问题 5 中的处理思路 由于c只能取整数 设 c 是使目标函数c取最小值的点 则 c 满足 1 1 Z cZ c Z cZ c 其中 12 s Z cy cy L c 化简可得到 12 1 1 ssss L cL cy yL cL c 通过计算机模拟依次算出 1 2 3 sss LLL相邻两项之差 看常数 12 y y落在哪两者 之间 从而确定最低成本 Z c 及此时床位总数 c 这是在病床安排原则不变的情况下 最优的床位设置方案 九 参考文献 1 姜启源 谢金星 数学模型 第三版 高等教育出版社 北京 2004 2 韩中庚 数学建模方法及其应用 高等教育出版社 北京 2006 3 运筹学 教材编写组 运筹学 第三版 清华大学出版社 北京 2007 4 盛骤 谢式千 潘承毅 概率论与数理统计 第三版 高等教育出版社 北 京 2005 5 苏金明 王永利 MATLAB 7 0 使用指南 电子工业出版社 北京 2005 6 田依林 杨青 突发事件应急能力评价指标体系建模研究 应用基础与工程 科学学报 第 16 卷 2 期 2008 7 韩新焕 朱萌纾 吴静 医院管理系统中排队模型的优化决策分析 数理医 药学杂志 第 1 期 2008 28 附录 问题一附录 matlab 程序 clear all lamda 8 5 e ones 1 79 t 1 时间 z 0 总人数 T 65 模拟时间 kc 0 空床位数 c 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 各类等待入院人数 d 0 0 0 0 0 各类分配床位 dt 0 等待天数 pjdt 0 平均等待天数 chuang zeros 5 79 int8 zm poissrnd lamda 当天门诊人数 z z zm 累计总人数 c glm zm 由当天门诊人数产生各类当天门诊人数 a a c 各类等待入院人数 kc 79 生成空床位数 d glc kc a 生成各类入院人数 l 1 for j 1 5 是不是每次都从1时刻开始直到tt 在每次判断床位占用 tt l d j for i l tt chuang 1 i j chuang 2 i fwsj j chuang 3 i t 初始时间都为1 qq chuang 2 i chuang 3 i chuang 4 i qq chuang 5 i 1 end l l d j end a a d dt dt sum a 累计等待天数 for t 2 T zm poissrnd lamda 当天门诊人数 z z zm 累计总人数 c glm zm 由当天门诊人数产生各类当天门诊人数 29 a a c 各类等待入院人数 kc chuang skc t chuang 生成空床位 d glc kc a 生成各类入院人数 记录每天床位安排 o 0 for j 1 5 for jj 1 d j for ii 1 79 if chuang 5 ii 0 chuang 1 ii j chuang 2 ii fwsj j chuang 3 ii t qq chuang 2 ii chuang 3 i chuang 4 ii qq chuang 5 ii 1 break end end end end 完成记录 a a d dt dt sum a 累计等待天数 end dt z pjdt dt z function kc chuang skc i chuang kc 0 for j 1 79 if i