概率论与数理统计第七章习题答案.pdf

乐山师范学院化学学院 1 第七章 参数估计部分习题答案 1 设总体 有分布律 1 0 2 p 2 1 3 其中 3 1 0 设总体 在上服从均匀分布 其中为待估参数 求的矩估计 3 22222 1 dd2 1 22 d 2 2 11 12 3 22 a b a b Exf xxxxa ab DEEx f xxaS abS 解 由 得 2 5 14581395156216141351 14901478138215361496 有一批灯泡寿命 小时 的抽取样本 试用矩估计法对这批灯泡的平均使用寿命 及寿命方差作出矩估计 乐山师范学院化学学院 2 2 22 2222 2 1 1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496 10 1476 2 1 1458 1476 2 1395 1476 2 1496 1476 2 10 6198 56 S S 解 灯泡的寿命服从正态分布 其总体的数学期望 方差为 由正态分布的矩估计知 解得 解得 12 6 1 01 n Bppp p 已知某电子设备的使用寿命 服从指数分布 其分布密度函数为 其中 现随机抽取台 测得寿命的数据 小时 如下 求 的最大似然估计 10 1 1010 10 11 10 1 10 1 2 10 1 11 ln ln1 10ln dln 10 0 0 d 1 10 1147 i ii x x ii ii ii i i ii i i L xf xee L xx x L x x x 解 似然函数为 两边取对数得 令即 解得 小时 乐山师范学院化学学院 3 10 15在某道口观察每秒内通过汽车辆数 得数据如下 汽车辆数 i 0 1 2 3 4 频数 i 92 68 28 11 1 根据以上数据求每 15 秒钟内通过该道口的汽车辆数 的 E和 D的无偏估计 22222 2 1161 0 92 1 682 283 114 1 0 805 200200 1 00 8 92 1 0 8 68 20 8 28 30 8 11 199 40 8 1 0 831 E DS 解 服从泊松分布 的无偏估计 的无偏估计 12 2 1 22 1 2 12 14 2 1 01 1 2 3 n nBppp p p p 设是取自总体 的一个样本 其中 为未知 求证 是 的无偏估计 不是 的无偏估计 是 的无偏估计 的无偏估计 是即独立 所以因为 的无偏估计 不是 所以 的无偏估计 是 即 证明 2 21 2 212121 22 1 22 1 2 1 2222 1 3 2 1 1 ppEEEEE ppE pppppEDEE 12 112212312 15 1 211311 123 334422 N 设总体 服从正态分布是从总体 中抽取的一个样本 验证下面三 个估计量 都是 的无偏估计 并求出每个估计量的方差 问哪一个最好 最小 也即最好 独立 则 解 由 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 3 16 7 16 9 16 1 4 3 4 1 2 9 5 9 1 9 4 3 1 3 2 1 21213 21212 2121121 DDDD DDDD DDDD 乐山师范学院化学学院 4 2 18 5 1250 1265 1245 1260 1275 95 111 2 N 用某仪器间接测量温度 重复测量 次 得 单位 假定重复测量所得温度 求总体温度真值 的的置信区间 根据以往长期经验 已知测量精度 当 未知时 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1250 1265 1245 1260 12751259 1 0 95 5 NUUN nn uPu n Puu nn uu nn 解 已知 取统计量则有于给定的置信概率 可求出使得 即 即 的置信概率为的置信区间为 将 2 2 2 2 2 2 2 0 05 u1 96 11 5 1249 375 1268 625 2 1 1 1 1 1 1 n ttt ntn Sn SS PtPtt Snnn SS tt nn 查表得 代入求得 的置信区间为 取统计量则有对于给定的置信概率可求出 使得即 即 的置信概率为的置信区间为 2 1 1250 1265 1245 1260 12751259 1 0 95 0 05 5 t 4 2 78 11 937 5 1244 185 1273 815 Sn 将 查表得 代入求得 的置信区间为 2 20 500 95 50 N 假定到某地旅游的一个游客的消费额 且元 今要对 该地每一个游客的平均消费额 进行估计 为了能以不小于的置信概率 确信这估计的绝对误差小于元 问至少需要随机调查多少个游客 20 025 2 2 500 10 95 0