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第8章晶体结构的几何理论 1 十四种空间格子 晶胞 空间格子中点的坐标 行列及面网符号 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系 晶格缺陷 主要教学内容 2 8 1十四种布拉维空间格子 3 空间格子是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形 空间格子要素结点 行列 面网 单位平行六面体 单位平行六面体是空间格子的最小组成单位 无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子 4 单位平行六面体的划分 5 单位平行六面体的划分 划分原则 所选平行六面体的对称性与整个空间格子相同 在满足 的前提下 棱与棱之间的直角最多 在满足 的前提下 体积最小 6 二维平面点阵中平行四边形的划分 四方 4mm 平面点阵 斜方 mm2 平面点阵 7 在三维空间做同样分析 可以从空间格子中划分出一个最小的重复单位 单位平行六面体 它由六个两两平行且相等的平面组成 这样划分出来的单位平行六面体 其对称性与相应空间格子相同 无数个平行并置的单位平行六面体就构成整个空间格子 8 单位平行六面体 沿Z轴 沿Y轴 Z Y X 沿X轴 9 单位平行六面体参数 c a b c b c a a b 单位平行六面体的棱长a b c和棱的交角 称为单位平行六面体参数 10 等轴晶系a b c 90 各晶系单位平行六面体的形状 立方格子 11 四方晶系 各晶系单位平行六面体的形状 四方格子 a b c 90 12 斜方晶系a b c 90 各晶系单位平行六面体的形状 斜方格子 13 单斜晶系a b c 90 90 各晶系单位平行六面体的形状 单斜格子 14 三斜晶系a b c 90 三斜格子 各晶系单位平行六面体的形状 15 六方晶系a b c 90 120 各晶系单位平行六面体的形状 六方格子 16 三方晶系a b c 90 60 109 28 16 各晶系单位平行六面体的形状 菱面体格子 17 90 时 可划分成立方原始格子 109 28 16 时 可划分成立方体心格子 60 时 可划分成立方面心格子 90 109 18 06 60 三方菱面体格子 18 单位平行六面体中的结点分布 原始格子P C心格子 底心格子 体心格子I 面心格子F A心格子 B心格子 19 综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布 空间格子共有14种 称为14种布拉维空间格子 十四种布拉维空间格子 20 21 四方 三方 六方 等轴 C P F I 与本晶系对称不符 与本晶系对称不符 与本晶系对称不符 I F 与空间格子条件不符 F P 与空间格子条件不符 22 单位平行六面体有七种形状和四种结点分布方式 空间格子仅有14种 为什么 有些格子类型与所在晶系的对称不符 有些格子类型与空间格子的条件不符 有些格子类型可以被改划为其它格子 23 三斜面心 三斜原始格子 24 单斜底心 单斜原始 单斜体心 单斜底心 25 四方底心 四方原始格子 26 晶体结构中 与单位平行六面体对应的基本单位称为晶胞 8 2晶胞 立方面心格子 NaCl晶胞 结点 相当点 质点 质点 27 28 在一个晶胞中 反映了晶体结构中对称要素和质点的种类及分布规律 对一个晶胞进行分析 就可以知道整个晶体结构中对称要素和质点分布规律 29 晶胞参数 a b c和 晶胞是能反映晶体结构特征 对称性和质点分布 的最小构造单位 无数晶胞在三维空间平行并置 就构成整个晶体结构 30 NaCl的单位晶胞如图所示 晶胞中NaCl的分子数 Na 8 1 8 6 1 2 4Cl 12 1 4 1 4Z 4 单位晶胞中分子数 Z 计算 31 空间格子中点的坐标 行列及面网符号 晶体内部结构的对称要素 主要教学内容 32 空间格子中坐标系的建立坐标轴单位平行六面体三条棱的方向 坐标原点单位平行六面体的角顶 坐标轴度量单位单位平行六面体的棱长a b c b a c X Y Z 8 3空间格子中点的坐标 行列及面网符号 33 空间格子中点的坐标x y z用单位平行六面体的棱长a b c作为坐标轴度量单位时的坐标系数 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 34 行列 晶向 符号 Crystaldirections 表示行列方向的符号 xyz 若行列经过坐标原点 把该行列上距原点最近的结点坐标x y z放在 内 xyz 即为该行列的行列符号 111 35 001 100 010 011 110 101 201 36 111 110 210 020 010 面网符号 37 晶体结构中对称要素包括两部分宏观对称要素对称轴 对称面 旋转反伸轴 对称中心微观对称要素平移轴 螺旋轴 滑移面 区别 微观对称要素包含平移操作 8 4晶体内部结构的对称要素 38 平移轴 translationalaxis 概念为晶体结构中的直线方向 沿此直线平移一定距离以后 每一个质点都与相同质点重合 整个结构亦自相重合 对称操作 平移平移轴移距使相同质点重复的最小平移距离 39 晶体结构的空间格子中 任何一个行列都是一个平移轴 移距等于行列上的结点间距 b a 空间格子中的 001 面网 移距 b 移距 a 移距 a b 2 40 能够反映晶体结构特征的三个代表性平移轴组合称为平移群 共有14种 即14种空间格子 14种空间格子又称为为14种平移群 平移群 41 概念晶体结构中的假想直线 绕此直线旋转一定角度 并沿此直线平移一定距离 t 之后 每一个质点皆与相同质点重合 整个结构亦自相重合 对称操作 绕轴旋转 沿轴平移 螺旋轴 ScrewAxes 绕轴旋转180 沿轴平移1 2T 42 nsn 轴次 n 1 2 3 4 6 n 360 s 小于n的自然数按照n和s的不同 螺旋轴共有11种 21 Two foldScrewAxes 31 32 41 42 43 61 62 63 64 65 晶体中不可能出现5次和高于6次的螺旋轴 螺旋轴的国际符号 43 使结构复原的最小平移距离 右旋操作t s n T左旋操作t n s n TT 螺旋轴方向的结点间距 螺旋轴的移距 t 右旋 32右旋和左旋的移距 左旋 44 0 s n 2 右旋螺旋轴 31 41 61 62n 2 s n 左旋螺旋轴 32 43 64 65s n 2 中性螺旋轴 21 42 63 螺旋轴的类型 45 61 62 63 64 65 21 31 32 41 42 43 螺旋轴的作图符号 46 螺旋轴及投影图示 47 48 49 42在旋转和平移时有两个点在同时动作 质点绕42旋转360 沿螺旋轴方向平移两个结点间距 42为双轨螺旋轴 50 51 62在旋转和平移时有两个点在同时动作 质点绕62旋转360 沿螺旋轴方向平移两个结点间距 62为双轨螺旋轴 52 64在旋转和平移时有两个点在同时动作 质点绕64旋转360 沿螺旋轴方向平移两个结点间距 64为双轨螺旋轴 53 63 63 63 54 NaCl晶体结构中的螺旋轴 001 面上的质点分布 55 2020 1 8 56 晶体结构中的假想平面 当对此平面反映 并沿此平面滑移一定距离之后 每一个质点皆与相同质点重合 整个结构亦自相重合 操作 对此平面反映 沿此平面滑移 滑移面 像移面 glide reflections b c n 57 滑移面的种类 58 滑移面的图示符号 59 b b 2 c n b c 2 d 100 面网的滑移面 c 2 b c 4 60 a c n d a 2 010 面网的滑移面 c 2 a c 2 a c 4 61 a b n d a b 4 001 面网的滑移面 a 2 b 2 a b 2 62 NaCl晶体结构中的滑移面 001 面网上的质点分布 a b NaCl结构 m 63 晶体结构中的对称要素 平移群 14种螺旋轴 11种滑移面 5种 64 第8章晶体结构的几何理论 65 空间群概念国际符号等效点系概念表示方法与晶体结构中质点的关系 主要教学内容 66 晶体内部结构中的对称要素 是在三维空间按格子构造规律排列 每种对称要素都有无穷多个 而且互相平行 空间群的概念晶体结构中对称要素的组合 称为空间群 8 5空间群 spacegroup 67 a b 有些对称要素相交 交点 线 也在三维空间按格子构造规律 平行 排列 也有无穷多 晶体内部结构中对称要素的组合称为空间群 空间群共有230种 68 外部结构中2 2 213 3 31 324 4 41 42 436 6 61 62 63 64 65m m a b c n d446614种空间格子 平移群 组合成32种点群 组合成230种空间群 69 点群 4 L4 空间格子类型 内部对称要素 原始格子P体心格子I 4414243 空间群P4 P41 P42 P43I4 I41 70 点群 mm2空间格子类型 P C I Fm m a b c n d2 2 21 空间群 22种 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2Pmn21 Pba2 Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Abm2 Ama2 Aba2 Imm2 Iba2 Ima2Fmm2 Fdd2 71 每一种点群都对应着若干种空间群 空间群的数目远超过点群数目 共有230种 72 空间群的国际符号有两个组成部分 前一部分为格子类型 用P C I F表示 后一部分与所属对称型的国际符号基本相同 只是某个或某些方位被替换为微观对称要素 空间群的国际符号 P42 mbc 四方原始格子 属于4 mmm点群 Ima2 斜方体心格子 属于mm2点群 73 NaCl的对称要素在 001 面上的投影 空间群的投影图示 使用作图符号 把晶体结构中一个晶胞范围内的质点和对称要素分别投影到 001 面上 NaCl晶胞 74 等效点系的概念空间格子中借对称要素联系起来的一组几何点 8 6等效点系 equivalentpoint 75 点群中对称要素联系的一组晶面 同一种单形的晶面必能对称重复 单形中晶面位置 晶体内部结构对称要素组合 空间群 空间群中对称要素联系一组几何点 同一套等效点系中的点必能对称重复 等效点系中等效点位置 一种单形 一套等效点系 晶面符号 等效点坐标 晶体外形对称要素组合 点群 一种点群对应最多7种单形 一种空间群对应若干套等效点系 76 等效点系的魏考夫 Wyckoff 符号一种空间群对应若干套等效点系 在一个晶胞范围内 用a b c d e f g 对原始点位置不同的等效点系进行编号 称为等效点系的魏考夫符号 等效点位置重复点数 在一个晶胞范围内等效点的数目等效点的坐标 等效点系的表示方法 77 等效点系的表示方法举例 Pmm2在 001 面上的投影蓝色区域为1个晶胞的范围 78 位置 Wyckoff符号 a点位置 mm重复点数 1等效点的坐标 0 0 z 79 位置 Wyckoff符号 b点位置 mm重复点数 1等效点的坐标 0 1 2 z 80 位置 Wyckoff符号 c点位置 mm重复点数 1等效点的坐标 1 2 0 z 81 位置 Wyckoff符号 d点位置 mm重复点数 1等效点的坐标 1 2 1 2 z 82 位置 Wyckoff符号 e点位置 m重复点数 2等效点的坐标 x 0 z x 0 z 83 位置 Wyckoff符号 f点位置 m重复点数 2等效点的坐标 x 1 2 z x 1 2 z 84 位置 Wyckoff符号 g点位置 m重复点数 2等效点的坐标 0 y z 0 y z 85 位置 Wyckoff符号 h点位置 m重复点数 2等效点的坐标 1 2 y z 1 2 y z 86 位置 Wyckoff符号 i点位置 一般位置重复点数 4等效点的坐标 x y z x y z x y z x y z 87 Pmm2的9个不同原始点位置 特殊等效点系 等效点在某个或某些对称要素之上 一般等效点系 等效点全部在对称要素之外 88 等效点系与晶体结构 在晶体结构中 质点分布在等效点的位置上 不同的质点 不能占据同一套等效位置 同一种质点 占据一套或几套等效位置 89 晶体结构分析的主要内容 晶体结构分析是分析一个晶胞中质点的分布规律和对称特征 一般包括以下内容 晶系晶胞参数质点在晶胞中的位置和分布规律空间群的国际符号晶胞中的分子数晶胞中等效点系的数目和重复点数原子或离子的坐标原子或离子的配位数以及配位多面体的形状 90 晶系 等轴晶系晶胞参数 a 0 5628nm质点在晶胞中的位置和分布规律Cl1 占据晶胞的角顶和每一个面的中心 Na1 占据晶胞每一条棱的中点 空间群 Fm3m分子数 Z 4 NaCl的晶体结构 91 等效点系的数目和重复点数Cl1 占据1套等效位置 重复点数 4Na1 占据1套等效位置 重复点数 4 NaCl的晶体结构 92 Cl1 坐标 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 Na1 坐标 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 NaCl的晶体结构 93 CsCl的晶体结构 晶系 等轴晶系晶胞参数 a 0 5628nm质点在晶胞中的位置和分布规律Cl1 位于晶胞的角顶 Cs1 位于晶胞中心 空间群 Pm3m分子数 Z 1 94 CsCl的晶体结构 等效点系的数目和重复点数Cl1 占据1套等效位置 重复点数 1Cl1 坐标 0 0 0Cs1 占据1套等效位置 重